Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

2.3 Partiell integrering

Förberedande kurs i matematik 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (4 maj 2008 kl. 11.17) (redigera) (ogör)
 
Rad 9: Rad 9:
{{Info|
{{Info|
'''Innehåll:'''
'''Innehåll:'''
-
* Partiell integration
+
* Partiell integration.
}}
}}
Rad 48: Rad 48:
Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna <math>f</math> och <math>g</math>, vilket följande exempel visar.
Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna <math>f</math> och <math>g</math>, vilket följande exempel visar.
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 1'''
-
Betrakta integralen <math>\,\int x \cdot \sin x \, dx\,</math>. Om man väljer <math>f=x</math> och <math>g=\sin x</math> får man <math>F=x^2/2</math> och <math>g'=\cos x</math>, och enligt formeln för partiell integration
+
Bestäm integralen <math>\,\int x \cdot \sin x \, dx\,</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Om man väljer <math>f=x</math> och <math>g=\sin x</math> får man <math>F=x^2/2</math> och <math>g'=\cos x</math>, och enligt formeln för partiell integration
{{Fristående formel||<math>\int x \cdot \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \sin x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\int x \cdot \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \sin x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
Rad 58: Rad 63:
{{Fristående formel||<math>\int x \cdot \sin x \, dx = - x \cdot \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\int x \cdot \sin x \, dx = - x \cdot \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
'''Exempel 2'''
Bestäm integralen <math>\ \int x^2 \cdot \ln x \, dx\,</math>.
Bestäm integralen <math>\ \int x^2 \cdot \ln x \, dx\,</math>.
Rad 73: Rad 78:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
'''Exempel 3'''
Bestäm integralen <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
Bestäm integralen <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
Rad 93: Rad 98:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
'''Exempel 4'''
Bestäm integralen <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
Bestäm integralen <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn <math>e^x</math> och derivera faktorn <math>\cos x</math>
+
I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn <math>e^x</math> och derivera faktorn <math>\cos x</math>,
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cdot \cos x - \int e^x \cdot(-\sin x) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
-
{{Fristående formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \cdot \cos x - \int e^x \cdot(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn <math>\cos x</math> mot <math>\sin x</math> i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera <math>e^x</math> och derivera <math>\sin x</math>) då får vi att
Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn <math>\cos x</math> mot <math>\sin x</math> i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera <math>e^x</math> och derivera <math>\sin x</math>) då får vi att
Rad 121: Rad 124:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
'''Exempel 5'''
Beräkna integralen <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
Beräkna integralen <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
Rad 137: Rad 140:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
'''Exempel 6'''
Beräkna integralen <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.
Beräkna integralen <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.

Nuvarande version

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Partiell integration.

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå härledningen av formeln för partiell integration.
  • Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration i ett eller två steg.
  • Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration följt av en substitution (eller tvärt om).

Partiell integration

Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas partiell integration. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges. Om f och g är två deriverbara funktioner så gäller enligt produktregeln att

D(fg)=fg+fg.

Om man nu integrerar båda leden får man

fg=(fg+fg)dx=fgdx+fgdx 

eller efter ommöblering

fgdx=fg−fgdx. 

Detta ger oss formeln för partiell integration.

Partiell integration:

f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−F(x)g(x)dx. 

Detta innebär i praktiken att man integrerar en produkt av funktioner genom att kalla den ena faktorn f och den andra g, varefter man byter ut integralen fgdx   mot den förhoppningsvis enklare integralen Fgdx,   där F är en primitiv funktion till f och g är derivatan av g.


Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna f och g, vilket följande exempel visar.

Exempel 1

Bestäm integralen xsinxdx .

Om man väljer f=x och g=sinx får man F=x22 och g=cosx, och enligt formeln för partiell integration

xsinxdx=2x2sinx−2x2cosxdx. 

Den nya integralen i högerledet är i detta fall inte enklare än den ursprungliga integralen.

Om man i stället väljer f=sinx och g=x får man F=−cosx och g=1, och

xsinxdx=−xcosx−−1cosxdx=−xcosx+sinx+C. 

Exempel 2

Bestäm integralen  x2lnxdx .

Sätt f=x2 och g=lnx eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: F=x33 och g=1x. Detta ger oss alltså att

x2lnxdx=3x3lnx−3x3x1dx=3x3lnx−31x2dx=3x3lnx−313x3+C=31x3(lnx−31)+C.

Exempel 3

Bestäm integralen  x2exdx .

Sätt f=ex och g=x2, vilket ger att F=ex och g=2x, och en partiell integrering ger att

x2exdx=x2ex−2xexdx. 

Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen 2xexdx . Vi väljer i detta fall f=ex och g=2x, vilket ger att F=ex och g=2

2xexdx=2xex−2exdx=2xex−2ex+C. 

Den ursprungliga integralen blir alltså

x2exdx=x2ex−2xex+2ex+C. 

Exempel 4

Bestäm integralen  excosxdx .

I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn ex och derivera faktorn cosx,

excosxdx=excosx−ex(−sinx)dx=excosx+exsinxdx.

Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn cosx mot sinx i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera ex och derivera sinx) då får vi att

exsinxdx=exsinx−excosxdx. 

Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:

excosxdx=excosx+exsinx−excosxdx 

och samlar vi integralerna i ena ledet fås att

excosxdx=21ex(cosx+sinx)+C. 

Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.

Exempel 5

Beräkna integralen  01ex2xdx .

Integralen kan skrivas om som

01ex2xdx=012xe−xdx. 

Sätt nu f=e−x och g=2x, och partialintegrera

012xe−xdx=−2xe−x10+012e−xdx=−2xe−x10+−2e−x10=(−2e−1)−0+(−2e−1)−(−2)=−e2−e2+2=2−e4.

Exempel 6

Beräkna integralen  lnx dx .

Vi utför först en variabelsubstitution u=x  vilket ger att du=dx2x=dx2u , dvs., dx=2udu,

lnxdx=lnu2udu. 

Sedan partialintegrerar vi. Sätt f=2u och g=lnu, vilket ger att

lnu2udu=u2lnu−u2u1du=u2lnu−udu=u2lnu−2u2+C=xlnx−x2+C=xlnx−21+C.

Anm. Ett alternativt tillvägagångssätt är att skriva om den ursprungliga integranden som lnx=21lnx  och sedan partialintegrera produkten 21lnx.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte2/index.php/2.3_Partiell_integrering