2.3 Partiell integrering
Förberedande kurs i matematik 2
| Teori | Övningar |
Innehåll:
- Partiell integration.
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Förstå härledningen av formeln för partiell integration.
- Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration i ett eller två steg.
- Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration följt av en substitution (eller tvärt om).
Partiell integration
Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas partiell integration. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges. Om
 g)=f g+fg. |
Om man nu integrerar båda leden får man
g= (fg+fg)dx=fgdx+fgdx |
eller efter ommöblering
| fgdx=fg−fgdx. |
Detta ger oss formeln för partiell integration.
Partiell integration:
| f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−F(x)g(x)dx. |
Detta innebär i praktiken att man integrerar en produkt av funktioner genom att kalla den ena faktorn fgdx Fgdx,
Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna
Exempel 1
Bestäm integralen xsinxdx
Om man väljer 
2=cosx
| xsinxdx=2x2sinx−2x2cosxdx. |
Den nya integralen i högerledet är i detta fall inte enklare än den ursprungliga integralen.
Om man i stället väljer =1
| xsinxdx=−xcosx−−1cosxdx=−xcosx+sinx+C. |
Exempel 2
Bestäm integralen x2lnxdx
Sätt 3=1x
| x2lnxdx=3x3lnx−3x3x1dx=3x3lnx−31x2dx=3x3lnx−313x3+C=31x3(lnx−31)+C. |
Exempel 3
Bestäm integralen x2exdx
Sätt =2x
| x2exdx=x2ex−2xexdx. |
Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen 2xexdx =2
| 2xexdx=2xex−2exdx=2xex−2ex+C. |
Den ursprungliga integralen blir alltså
| x2exdx=x2ex−2xex+2ex+C. |
Exempel 4
Bestäm integralen excosxdx
I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn
| excosxdx=excosx−ex(−sinx)dx=excosx+exsinxdx. |
Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn
| exsinxdx=exsinx−excosxdx. |
Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:
| excosxdx=excosx+exsinx−excosxdx |
och samlar vi integralerna i ena ledet fås att
| excosxdx=21ex(cosx+sinx)+C. |
Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.
Exempel 5
Beräkna integralen 01ex2xdx
Integralen kan skrivas om som
| 01ex2xdx=012xe−xdx. |
Sätt nu
012xe−xdx= −2xe−x 10+012e−xdx=−2xe−x10+−2e−x10=(−2e−1)−0+(−2e−1)−(−2)=−e2−e2+2=2−e4. |
Exempel 6
Beräkna integralen ln
x dx
Vi utför först en variabelsubstitution x
| \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.} |
Sedan partialintegrerar vi. Sätt \displaystyle f=2u och \displaystyle g=\ln u, vilket ger att
| \displaystyle \begin{align*}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*} |
Anm. Ett alternativt tillvägagångssätt är att skriva om den ursprungliga integranden som \displaystyle \ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x och sedan partialintegrera produkten \displaystyle \tfrac{1}{2}\cdot\ln x.
