Processing Math: Done

From Förberedande kurs i matematik 1

The action you have requested is limited to users in one of the groups Sysops, approved.

You can view and copy the source of this page:

__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Vald flik|[[3.4 Logaritmekvationer|Teori]]}} {{Ej vald flik|[[3.4 Övningar|Övningar]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Innehåll:''' * Logaritmekvationer * Exponentialekvationer * Falska rötter. }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: * Lösa ekvationer som innehåller logaritm- eller exponentialuttryck och som kan reduceras till första- eller andragradsekvationer. * Hantera falska rötter och veta när de uppstår. }} == Grundekvationer == Ekvationer där logaritmer behövs eller är inblandade förekommer i många olika fall. Först ges några exempel där lösningen ges nästan direkt genom definitionen av logaritm, dvs. {{Fristående formel||<math>\begin{align*} 10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\ e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\ \end{align*}</math>}} (Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer.) <div class="exempel"> '''Exempel 1''' Lös ekvationerna <ol type="a"> <li><math>10^x = 537\quad</math> har lösningen <math>x = \lg 537</math>.</li> <li><math>10^{5x} = 537\quad</math> ger att <math>5x = \lg 537</math>, dvs. <math>x=\frac{1}{5} \lg 537</math>.</li> <li><math>\frac{3}{e^x} = 5 \quad </math> Multiplikation av båda led med <math>e^x </math> och division med 5 ger att <math>\tfrac{3}{5}=e^x </math>, vilket betyder att <math>x=\ln\tfrac{3}{5}</math>.</li> <li><math>\lg x = 3 \quad</math> Definitionen ger direkt att <math> x=10^3 = 1000</math>.</li> <li><math>\lg(2x-4) = 2 \quad</math> Från definitionen har vi att <math> 2x-4 = 10^2 = 100</math> och då följer att <math>x = 52</math>.</li> </ol> </div> <div class="exempel"> '''Exempel 2''' <ol type="a"> <li> Lös ekvationen <math>\,(\sqrt{10}\,)^x = 25</math>. <br> <br> Eftersom <math>\sqrt{10} = 10^{1/2}</math> är vänsterledet lika med <math>(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}</math> och ekvationen lyder {{Fristående formel||<math>10^{x/2} = 25\,\mbox{.}</math>}} Denna grundekvation har lösningen <math>\frac{x}{2} = \lg 25</math>, dvs. <math>x = 2 \lg 25</math>.</li> <li>Lös ekvationen <math>\,\frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}</math>. <br> <br> Multiplicera båda led med 2 och subtrahera sedan 2 från båda led {{Fristående formel||<math> 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}</math>}} Dividera båda led med 3 {{Fristående formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}} Nu ger definitionen direkt att <math>2x = e^{-1/3}</math>, vilket betyder att {{Fristående formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li> </ol> </div> I många praktiska tillämpningar rörande exponentiell tillväxt eller avtagande dyker det upp ekvationer av typen {{Fristående formel||<math>a^x = b\,\mbox{,}</math>}} där <math>a</math> och <math>b</math> är positiva tal. Dessa ekvationer löses enklast genom att ta logaritmen för båda led {{Fristående formel||<math>\lg a^x = \lg b</math>}} och använda logaritmlagen för potenser {{Fristående formel||<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}} vilket ger lösningen <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>. <div class="exempel"> '''Exempel 3''' <ol type="a"> <li>Lös ekvationen <math>\,3^x = 20</math>. <br> <br> Logaritmera båda led {{Fristående formel||<math>\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}</math>}} Vänsterledet kan skrivas som <math>\lg 3^x = x \cdot \lg 3</math> och då får vi att {{Fristående formel||<math>x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2{,}727)\,\mbox{.}</math>}}</li> <li>Lös ekvationen <math>\ 5000 \cdot 1{,}05^x = 10\,000</math>. <br> <br> Dividera båda led med 5000 {{Fristående formel||<math>1{,}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}} Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med lg och skriva om vänsterledet som <math>\lg 1{,}05^x = x\cdot\lg 1{,}05</math>, {{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \quad ({}\approx 14{,}2)\,\mbox{.}</math>}}</li> </ol> </div> <div class="exempel"> '''Exempel 4''' <ol type="a"> <li>Lös ekvationen <math>\ 2^x \cdot 3^x = 5</math>. <br> <br> Vänsterledet kan skrivas om med potenslagarna till <math>2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x</math> och ekvationen blir {{Fristående formel||<math>6^x = 5\,\mbox{.}</math>}} Denna ekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får att {{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0{,}898)\,\mbox{.}</math>}}</li> <li>Lös ekvationen <math>\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}</math>. <br> <br> Logaritmera båda led och använd logaritmlagen <math>\lg a^b = b \cdot \lg a</math> {{Fristående formel||<math>\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}</math>}} Samla <math>x</math> i ena ledet {{Fristående formel||<math>\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}</math>}} Lösningen är {{Fristående formel||<math>x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}</math>}}</li> </ol> </div> == Några mer komplicerade ekvationer == Ekvationer som innehåller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som förstagrads- eller andragradsekvationer genom att betrakta "<math>\ln x</math>" eller "<math>e^x</math>" som obekant. <div class="exempel"> '''Exempel 5''' Lös ekvationen <math>\,\frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}</math>. <br> <br> Multiplicera båda led med <math>3e^x+1</math> och <math>e^{-x}+2</math> för att få bort nämnarna {{Fristående formel||<math>6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}</math>}} Notera att eftersom <math>e^x</math> och <math>e^{-x}</math> alltid är positiva oavsett värdet på <math>x</math> så multiplicerar vi alltså ekvationen med faktorer <math>3e^x+1</math> och <math>e^{-x} +2</math> som är skilda från noll, så detta steg riskerar inte att introducera nya (falska) rötter till ekvationen. Förenkla båda led {{Fristående formel||<math>6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}</math>}} där vi använt att <math>e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1</math>. Betraktar vi nu <math>e^x</math> som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen {{Fristående formel||<math>e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}} En logaritmering ger sedan svaret {{Fristående formel||<math>x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 6''' Lös ekvationen <math>\,\frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1</math>. <br> <br> Termen <math>\ln\frac{1}{x}</math> kan skrivas som <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> och då blir ekvationen {{Fristående formel||<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}} där vi kan betrakta <math>\ln x</math> som en ny obekant. Multiplicerar vi båda led med <math>\ln x</math> (som är skild från noll när <math>x \neq 1</math>) får vi en andragradsekvation i <math>\ln x</math> {{Fristående formel||<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}} {{Fristående formel||<math> (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}</math>}} Kvadratkomplettering av vänsterledet {{Fristående formel||<math>\begin{align*} \textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1 &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\ &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\ \end{align*}</math>}} följt av rotutdragning ger att {{Fristående formel||<math> \ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}</math>}} Detta betyder att ekvationen har två lösningar {{Fristående formel||<math> x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2} \quad \mbox{och} \quad x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}} </div> == Falska rötter == När man löser ekvationer gäller det också att tänka på att argument till logaritmer måste vara positiva och att uttryck av typen <math>e^{(\ldots)}</math> bara kan anta positiva värden. Risken är annars att man får med falska rötter. <div class="exempel"> '''Exempel 7''' Lös ekvationen <math>\,\ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)</math>. <br> <br> För att ekvationen ska vara uppfylld måste argumenten <math>4x^2-2x</math> och <math>1-2x</math> vara lika, {{Fristående formel||<math>4x^2 - 2x = 1 - 2x\,,</math>|<math>(*)</math>}} och dessutom positiva. Vi löser ekvationen <math>(*)</math> genom att flytta över alla termer i ena ledet {{Fristående formel||<math>4x^2 - 1= 0</math>}} och använder rotutdragning. Detta ger att {{Fristående formel||<math> \textstyle x= -\frac{1}{2} \quad\mbox{och}\quad x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}} Vi kontrollerar nu om båda led i <math>(*)</math> är positiva * Om <math>x= -\tfrac{1}{2}</math> blir båda led lika med <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0</math>. * Om <math>x= \tfrac{1}{2}</math> blir båda led lika med <math>4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0</math>. Alltså har logaritmekvationen bara en lösning <math>x= -\frac{1}{2}</math>. </div> <div class="exempel"> '''Exempel 8''' Lös ekvationen <math>\,e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}</math>. <br> <br> Den första termen kan vi skriva som <math>e^{2x} = (e^x)^2</math>. Hela ekvationen är alltså en andragradsekvation med <math>e^x</math> som obekant {{Fristående formel||<math>(e^x)^2 - e^x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}} Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver <math>t</math> istället för <math>e^x</math>, {{Fristående formel||<math>t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}} Kvadratkomplettera vänsterledet {{Fristående formel||<math>\begin{align*} \textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\ \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\ \end{align*}</math>}} vilket ger lösningarna {{Fristående formel||<math> t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\mbox{och}\quad t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}} Eftersom <math>\sqrt3 > 1</math> så är <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> och det är bara <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom <math>e^x</math> alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att {{Fristående formel||<math> x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}} är den enda lösningen till ekvationen. </div> [[3.4 Övningar|Övningar]] <div class="inforuta" style="width:580px;"> '''Råd för inläsning''' '''Grund- och slutprov''' Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. '''Tänk på att:''' Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer. Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer. </div>

• Template:Displayed math
• Template:Info
• Template:Not selected tab
• Template:Selected tab

Return to Main Page.