4.1 Angles and circles
From Förberedande kurs i matematik 1
Tek (Talk | contribs)
(Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' *Olika vinkelmått (grader, radianer och varv) *Pythagoras sats *Avståndsformeln i planet *Cirkelns ekvation }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta...)
Next diff →
Revision as of 12:40, 20 March 2008
Innehåll:
- Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
- Pythagoras sats
- Avståndsformeln i planet
- Cirkelns ekvation
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Omvandla mellan grader, radianer och varv.
- Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
- Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
- Formulera och använda Pythagoras sats.
- Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
- Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
- Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
- Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.
Vinkelmått
Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.
- Grader. Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är
- Radianer. Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså
2 radianer eftersom cirkelns omkrets är
2 , därrr är cirkelns radie.
Ett helt varv är
=1360 2 radianer =180 radianer,1 radian =12360=180. |
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.
Exempel 1
30 =301=30180 radianer =6 radianer - 8 radianer =8(1radian)=8180=22
5
I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.
Exempel 2
- Vinklarna
−55 och665 anger samma riktning eftersom−55 +2360=665. - Vinklarna
73 och−711 anger samma riktning eftersom73 −2=−711. - Vinklarna
36 och216 anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom36 +180=216.
Avståndsformeln
Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter
| Pythagoras sats:
| 4.1 - Figur - Pythagoras sats |
Exempel 3
| I triangeln till höger är
och därför är hypotenusan
| 4.1 - Figur - Rätvinklig triangel med sidor 3, 4 och 5 |
Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.
Avståndsformeln:
Avståndet y)b)
 (x–a)2+(y–b)2. |
Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.
Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i x- och y-led mellan punkterna, dvs. 
x−ay−b
Exempel 4
- Avståndet mellan
(1 och2)(3 är1)d= (1−3)2+(2−1)2=(−2)2+12=
4+1=5. - Avståndet mellan
(−1 och0)(−2 är−5)d= (−1−(−2))2+(0−(−5))2=
12+52=1+25=26.
Cirklar
En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd b)
Avståndet b)
| 4.1 - Figur - Diameter | 4.1 - Figur - Tangent | 4.1 - Figur - Korda | 4.1 - Figur - Sekant | |||
| Diameter | Tangent | Korda | Sekant | |||
| 4.1 - Figur - Cirkelbåge | 4.1 - Figur - Periferi | 4.1 - Figur - Cirkelsektor | 4.1 - Figur - Cirkelsegment | |||
| Cirkelbåge | Periferi | Cirkelsektor | Cirkelsegment |
Exempel 5
En cirkelsektor är given i figuren till höger.
|
- På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
3 185 l.e. =65 l.e.
- Bestäm cirkelsektorns area.
Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är50 360=536och det betyder att dess area är
536 delar av cirkelns area som är536 9 a.e. =45 a.e.
En punkt y)b)
| Cirkelns ekvation:
| 4.1 - Figur - Cirkelns ekvation |
Exempel 6
| 4.1 - Figur - Ekvationen (x - 1)² + (y - 2)² = 9 |
| 4.1 - Figur - Ekvationen x² + (y - 1)² = 1 |
| 4.1 - Figur - Ekvationen (x + 1)² + (y - 3)² = 5 |
Exempel 7
- Ligger punkten
(1 på cirkeln2)(x−4)2+y2=13 ?
Stoppar vi in punktens koordinaterx=1 ochy=2 i cirkelns ekvation har vi attVL =(1−4)2+22=(−3)2+22=9+4=13=HL. Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.
4.1 - Figur - Ekvationen (x - 4)² + y² = 13 - Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i
(3 och innehåller punkten4)(1 .0)
Eftersom punkten(1 ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från0)(1 till medelpunkten0)(3 . Avståndsformeln ger att detta avstånd är4)c= (3−1)2+(4−0)2=4+16=20. Cirkelns ekvation är därför
(x−3)2+(y−4)2=20. 4.1 - Figur - Ekvationen (x - 3)² + (y - 4)² = 20
Exempel 8
Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är
Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen
för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är b)
Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).
Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller
Vänsterledet är alltså lika med
och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation
Vi avläser att medelpunkten är −2)4=2
Råd för inläsning
Grund- och slutprov
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Tänk på att:
Lästips
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia
Läs mer i Mathworld om cirkeln
Länktips
Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln (Flash)
