3.1 Roots

From Förberedande kurs i matematik 1

Kvadratrötter

right Symbolen a , kvadratroten ur a, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir a. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen x2=4 har två lösningar x=2 och x=−2, eftersom såväl 22=4 som (−2)(−2)=4. Man skulle då kunna tro att 4  kan vara vilken som helst av −2 och 2, dvs. 4=2 , men 4  betecknar bara det positiva talet 2.

Det är därför fel att påstå att 4=2  men korrekt att säga att ekvationen x2=4 har lösningarna x=2.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom a=a12  kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att

94=(94)12=912412=94.

På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal ab0:

abbaab=ab=ba=a2b

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att a och b0. Om a och b är negativa (< 0) så är inte a  och b  definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

−1=−1−1=(−1)(−1)=1=1

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att −1  inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

Högre ordningars rötter

Kubikroten ur ett tal a definieras som det tal som multiplicerat med sig självt tre gånger ger a, och betecknas 3a .

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för positiva heltal n definiera n:te roten ur ett tal a som

• om n är jämn och a0 är na  det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt n gånger blir a,
• om n är udda så är na  det tal som multiplicerat med sig självt n gånger blir a.

Roten na  kan även skrivas som a1n .

För n:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om ab0. Observera att om n är udda gäller de även för negativa a och b, dvs. för alla reella tal a och b.

nabnbaanb=nanb=nbna=nanb

Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

8=42=42=22

eftersom man då kan förenkla t.ex.

28=222=2.

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

8+2=22+2=(2+1)2=32.

Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med \displaystyle \sqrt{2} kan man exempelvis göra omskrivningen

 = \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
 = \frac{\sqrt{2}}{2}

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

   \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}
     &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
      = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]
     &= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }
      = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }
      = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }
      = \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}
 \end{align*}

Övningar