Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Eine quadratische Gleichung lösen wir, indem wir die quadratischen und linearen Glieder quadratisch ergänzen. Wir ergänzen also die linke Seite der Gleichung

\displaystyle \underline{x^{2}-4x\vphantom{()}}+3 = \underline{(x-2)^{2}-2^{2}}+3 = (x-2)^{2}-1\,\textrm{,}

Die unterstrichenen Terme sind die Terme, die wir quadratisch ergänzt haben. Die Gleichung können wir als

\displaystyle (x-2)^{2}-1 = 0

schreiben. Diese Gleichung lösen wir, indem wir 1 zu beiden Seiten addieren und die Wurzel beider Seiten berechnen.

• \displaystyle x-2=\sqrt{1}=1\,,\ , also \displaystyle x=2+1=3\,,

• \displaystyle x-2=-\sqrt{1}=-1\,,\ , also \displaystyle x=2-1=1\,\textrm{.}

Wir kontrollieren unsere Antwort, indem wir kontrollieren, ob die Wurzeln 1 und 3 die ursprüngliche Gleichung lösen.

• x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 1^{2}-4\cdot 1+3 = 1-4+3 = 0 = \text{Rechte Seite,}

• x = 3: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3^{2}-4\cdot 3+3 = 9-12+3 = 0 = \text{Rechte Seite.}

Alternativer Lösungsweg mit der p-q-Formel.