Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
3. Randstellen.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extremstellen, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die stationären Stellen erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.

\displaystyle \begin{align} f^{\,\prime}(x) &= -4x^3 + 8\cdot 3x^2 - 18\cdot 2x\\[5pt] &= -4x^3 + 24x^2 - 36x\\[5pt] &= -4x(x^2 - 6x + 9) \end{align}

Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

\displaystyle x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}

Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung

\displaystyle (x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0

und erhalten

\displaystyle (x-3)^2 = 0\,.

Diese Gleichung hat die Lösung \displaystyle x=3.

Also hat die Ableitung die Nullstellen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=3.

Da die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -4x(x-3)^2

ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren \displaystyle -4x und \displaystyle (x-3)^{2}.

\displaystyle x		\displaystyle 0		\displaystyle 3
\displaystyle -4x	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -
\displaystyle (x-3)^2	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle +

Mit den Rechenregeln \displaystyle {+}\cdot {+}={+}, \displaystyle {-}\cdot {+} = {-} und \displaystyle {-}\cdot {-}={+} für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:

\displaystyle x		\displaystyle 0		\displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x)	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle f(x)	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 0	\displaystyle \searrow	\displaystyle -27	\displaystyle \searrow

Hier sehen wir, dass es an der Stelle \displaystyle x=0 ein lokales Maximum gibt, und dass die Funktion an der Stelle \displaystyle x=3 einen Sattelpunkt hat (und daher keinen Extrempunkt).