Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir nennen die x-Koordinate des Punktes \displaystyle P \displaystyle x. Die y-Koordinate ist dann \displaystyle 1-x^{2}, da \displaystyle P auf der Kurve \displaystyle y=1-x^{2} liegt.

Die Fläche des Rechtecks ist

\displaystyle A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.

Wir wollen diese Fläche maximieren.

Wir sehen, dass \displaystyle P im ersten Quadranten liegen muss. Also \displaystyle x\ge 0 und \displaystyle y=1-x^2\ge 0. Wir wissen nun, dass \displaystyle x\le 1 ist. Also suchen wir das Maximum von \displaystyle A(x) im Bereich \displaystyle 0\le x\le 1\,.

Lokale Extremstelle der Fläche sind entweder:

1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Randstellen.

Die Funktion \displaystyle A(x) = x(1-x^2) ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Randstellen \displaystyle A(0) = A(1) = 0\, können aber lokale Extremstellen sein (offenbar lokale Minima).

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,

und wir erhalten die Gleichung \displaystyle x=\pm 1/\!\sqrt{3} für die stationären Stellen.
Nur die Lösung \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} erfüllt aber \displaystyle 0\le x\le 1.

Die zweite Ableitung \displaystyle A''(x)=-6x hat in der stationären Stelle den Wert

\displaystyle A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,

also hat die Flächenfunktion an der Stelle \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} ein lokales Maximum.

Also ist der optimale Punkt \displaystyle P

\displaystyle P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}