Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.

Da unser Integrand in der Form \displaystyle x^n ist, können wir die Regel

\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C

für jeden Term benutzen.

\displaystyle F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}

Der Wert des Integrals ist daher

\displaystyle \begin{align} \int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^2\\ &= \frac{2^3}{3} + 3\cdot\frac{2^4}{4} - \Bigl(\frac{0^3}{3} + 3\cdot\frac{0^4}{4} \Bigr)\\[5pt] &= \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 16}{4}\\[5pt] &= \frac{44}{3}\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Wir können testen ob \displaystyle F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4 eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir \displaystyle F(x) ableiten

\displaystyle \begin{align} F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt] &= x^2+3x^3\,\textrm{.} \end{align}