Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align} y &= -x^2 + 2x + 2\\[5pt] &= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt] &= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt] &= -(x-1)^2 + 3 \textrm{.} \end{align}

Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum \displaystyle y=3 bei \displaystyle x=1 ist.

Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.

Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,

wobei a und b die Schnittstellen der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von

\displaystyle 0=-x^{2}+2x+2

oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)

\displaystyle 0=-(x-1)^2+3 \textrm{,}

also

\displaystyle (x-1)^2=3\,\textrm{.}

Die Gleichung hat also die Wurzeln \displaystyle x = 1\pm \sqrt{3}\ , \displaystyle x=1-\sqrt{3} und \displaystyle x=1+\sqrt{3}\.

Die Fläche ist also

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}

Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,

So erhalten wir die Stammfunktion

\displaystyle \text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,.

Daraus folgt

\displaystyle \begin{align} \text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= (-1+3-1+3)\sqrt{3}\\[5pt] &= 4\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck

\displaystyle \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots

rechnen.