Lösung 2.1:4c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Zuerst betrachten wir den Graphen, der unser Gebiet einschließt. Die Kurven \displaystyle y=x^2/4+2 und \displaystyle y=8-x^2/8 sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat ihr Minimum \displaystyle y=2 wenn \displaystyle x=0 und die zweite das Maximum \displaystyle y=8 wenn \displaystyle x=0. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.
Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion \displaystyle y=8-x^2/8 und die untere Grenze die Funktion \displaystyle y=x^2/4+2. Bestimmen wir die Schnittstellen \displaystyle x=a und \displaystyle x=b der beiden Kurven, ist die Fläche
| \displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.} |
Die Fläche ist das Integral der Differenz zwischen den beiden Funktionen.
Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung:
\displaystyle \left\{\begin{align}
y &= 8-\tfrac{1}{8}x^2\,,\\[5pt]
y &= \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}
\end{align}\right. |
Eliminieren wir y und lösen die Gleichung für x, erhalten wir die Schnittstellen.
| \displaystyle 8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\, |
oder
| \displaystyle \tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,, |
also ist
| \displaystyle \begin{align}
\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\bigr)x^2 &= 6\,\\[5pt] \tfrac{3}{8}x^2 &= 6\,\\[5pt] x^2 &= 16\,\textrm{.} \end{align} |
Also sind die Schnittstellen \displaystyle x=-4 und \displaystyle x=4\,.
Die Fläche zwischen den Kurven ist also
| \displaystyle \begin{align}
\text{Fläche} &= \int\limits_{-4}^{4} \Bigl(\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2\Bigr)-\Bigl( \frac{1}{4}x^2+2\Bigr) \Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{4}x^2-2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\Bigl(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\Bigr)x^2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\frac{3}{8}x^2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ 6x-\frac{3}{8}\frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-4}^{4}\\[5pt] &= \Bigl[\ 6x-\frac{x^3}{8}\ \Bigr]_{-4}^{4}\\[5pt] &= 6\cdot 4 - \frac{4^3}{8} - \Bigl(6\cdot (-4) - \frac{(-4)^3}{8}\Bigr)\\[5pt] &= 24-8+24-8\\[5pt] &= 32\,\textrm{.} \end{align} |
