Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Die doppelte Ungleichung bedeutet, dass y zwischen den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=x^2 liegt.

In der Figur unten ist das Gebiet eingezeichnet.

Die Fläche des Gebietes ist

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{,}

wobei \displaystyle x=a und \displaystyle x=b die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align} y &= x+2\,,\\[5pt] y &= x^2\,\textrm{.} \end{align} \right.

Eliminieren wir \displaystyle y, erhalten wir für \displaystyle x diese Gleichung

\displaystyle x^{2}=x+2\,\textrm{.}

Hohlen wir alle x-Terme zu einer Seite erhalten wir

\displaystyle x^2-x=2\,.

Durch quadratische Ergänzung ergibt sich

\displaystyle \begin{align} \Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= 2\\[5pt] \Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten also die Wurzeln \displaystyle x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}, oder \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=2\,.

Die Fläche ist also

\displaystyle \begin{align} \text{Fläche} &= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt] &= \frac{2^2}{2} + 2\cdot 2 - \frac{2^3}{3} - \Bigl( \frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3}\Bigr)\\[5pt] &= 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{9}{2}\,\textrm{.} \end{align}