Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wäre das Integral

\displaystyle \int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\,,

würden wir die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x} machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution \displaystyle u=\sqrt{x}. Indem wir den Bruch mit dem Faktor \displaystyle 2\sqrt{x} erweitern, erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \int e^{\sqrt{x}}\,dx &= \int e^{\sqrt{x}}\cdot 2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\\[5pt] &= \left\{\begin{align} u &= \sqrt{x}\\[5pt] du &= \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)'\,dx = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int e^{u}\cdot 2u\,du\,\textrm{.} \end{align}

Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir \displaystyle 2u ableiten und \displaystyle e^{u} integrieren.

\displaystyle \begin{align} \int e^u\cdot 2u\,du &= e^u\cdot 2u - \int e^u\cdot 2\,du\\[5pt] &= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt] &= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt] &= 2(u-1)e^u + C \end{align}

Substituieren wir jetzt \displaystyle u=\sqrt{x} zurück, erhalten wir

\displaystyle \int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}

Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal und es ist nicht immer ganz offensichtlich, wie man beginnen soll.