Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Durch die Definition von \displaystyle \tan x erhalten wir

\displaystyle \int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,.

Wir sehen hier, dass der Zähler \displaystyle \sin x (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution \displaystyle u=\cos x.

\displaystyle \begin{align} \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= -\int\frac{du}{u}\\[5pt] &= -\ln |u| + C\\[5pt] &= -\ln |\cos x| + C \end{align}

Hinweis: \displaystyle -\ln \left| \cos x \right|+C ist nur eine Stammfunktion, wenn \displaystyle \cos x\ne 0.