Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.

Methode 1 (partielle Integration)

Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt

\displaystyle 1\cdot \ln x

betrachten, \displaystyle 1 integrieren und \displaystyle \ln x ableiten.

\displaystyle \begin{align} \int 1\cdot\ln x\,dx &= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt] &= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt] &= x\cdot\ln x - x + C \end{align}

Methode 2 (Substitution und partielle Integration)

Wir substituieren \displaystyle u=\ln x\,. So erhalten wir das Verhältnis

\displaystyle du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx

und da \displaystyle u = \ln x, ist \displaystyle x=e^u und dadurch erhalten wir

\displaystyle du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}

Also haben wir

\displaystyle \begin{align} \int \ln x\,dx = \left\{\begin{align} u &= \ln x\\[5pt] dx &= e^u\,du \end{align}\right\} = \int ue^u\,du\,\textrm{.} \end{align}

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration

\displaystyle \begin{align} \int u\cdot e^u\,du &= u\cdot e^u - \int 1\cdot e^u\,du\\[5pt] &= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt] &= ue^u - e^u + C\\[5pt] &= (u-1)e^u + C \end{align}

und wir erhalten

\displaystyle \begin{align} \int \ln x\,dx &= (\ln x-1)e^{\ln x} + C\\[5pt] &= (\ln x-1)x + C\,\textrm{.} \end{align}