Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir bringen \displaystyle z und \displaystyle -1-i in Polarform.

\displaystyle \begin{align} z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] -1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr) \end{align}

Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

\displaystyle r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align} r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt] 5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Die Argumente \displaystyle 5\alpha und \displaystyle 5\pi/4 können sich mit einem Vielfachen von \displaystyle 2\pi unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.

Wir erhalten also

\displaystyle \left\{\begin{align} r &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Wir sehen, dass das Argument \displaystyle \alpha nur 5 verschiedene Werte annimmt

\displaystyle \frac{\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}, \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad und \displaystyle \quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5},

da sich die Winkel dann wiederholen.

Die Wurzeln sind also

\displaystyle z = 2^{1/10}\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr)\Bigr)\,,

für \displaystyle n=0, \displaystyle 1, \displaystyle 2, \displaystyle 3 und \displaystyle 4.

Alernativer Lösungsweg: Exponentialdarstellung