Dag 1 - Versionshistorik

Vcrispin den 6 juni 2007 kl. 15.53

2007-06-06T15:53:45Z

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 15.53
Rad 3:		Rad 3:
	Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Logikdelen i Avsnitt 1.1 kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.		Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Logikdelen i Avsnitt 1.1 kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.

-	Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.	+	Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Kortfattat handlar den om att om man förutsatt att ett påstående gäller vid ett visst heltalsvärd kan visa att påståendet gäller även för nästförljande heltal, så är påståendet sant för alla heltalsvärden. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.

	När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.		När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.54

2007-06-04T13:54:01Z

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.54
Rad 15:		Rad 15:

	Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:
-	* 1.1 eller 1.3: vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller det att tillämpa induktion;	+	* 1.1 eller 1.3 [vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller det att tillämpa induktion], 1.4 , 1.6, 1.7, 1.12
-	1.4 , 1.6, 1.7, 1.12	+

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 1.5: innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$;	+	* 1.5 [innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$], 1.9, 1.10, 1.15
-	1.9, 1.10, 1.15	+

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.49

2007-06-04T13:49:37Z

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.49
Rad 15:		Rad 15:

	Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:
-	* 1.1 eller 1.3. Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.	+	* 1.1 eller 1.3: vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller det att tillämpa induktion;
	1.4 , 1.6, 1.7, 1.12		1.4 , 1.6, 1.7, 1.12

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 1.5. Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.	+	* 1.5: innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$;
	1.9, 1.10, 1.15		1.9, 1.10, 1.15

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.43

2007-06-04T13:43:23Z

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.43
Rad 15:		Rad 15:

	Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:
-	* 1.1 eller 1.3 [Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.],	+	* 1.1 eller 1.3. Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.
	1.4 , 1.6, 1.7, 1.12		1.4 , 1.6, 1.7, 1.12

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 1.5 [Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.], 1.9, 1.10, 1.15	+	* 1.5. Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.
		+	1.9, 1.10, 1.15

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.42

2007-06-04T13:42:43Z

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.42
Rad 15:		Rad 15:

	Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:
-	* 1.1 eller 1.3 [Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.], 1.4 , 1.6, 1.7, 1.12	+	* 1.1 eller 1.3 [Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.],
		+	1.4 , 1.6, 1.7, 1.12
		+
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 1.5 [Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.], 1.9, 1.10, 1.15		* 1.5 [Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.], 1.9, 1.10, 1.15

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.05

2007-06-04T13:05:26Z

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.05
Rad 2:		Rad 2:

	Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Logikdelen i Avsnitt 1.1 kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.		Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Logikdelen i Avsnitt 1.1 kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.
-

	Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.		Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 10.43

2007-06-04T10:43:04Z

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 10.43
Rad 4:		Rad 4:


-	Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Innan du börjar läsa, gäller det att repetera summabeteckningen $\sum$ från Dag 1. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.	+	Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.

	När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.		När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 08.31

2007-06-04T08:31:33Z

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 08.31
Rad 1:		Rad 1:
-	== 1.1 Notation och inledande logik ==	+	== 1 Induktion ==

-	Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Delen om logik kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.	+	Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Logikdelen i Avsnitt 1.1 kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.

-	== 2.1-2.3 Komplexa tal ==

-	För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall kunna bevisa minst två av dem för dig själv. Kanhända är beviset av Sats 2.7 för invecklat, men ansträng dig för att förstå beviset av Följdsats 2.8.	+	Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Innan du börjar läsa, gäller det att repetera summabeteckningen $\sum$ från Dag 1. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.

-	''Kommentar''. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).	+	När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.

		+	1) Induktionsantagande. Antag att "påståendet" är sant för $n=n_0$ där $n_0$ är något heltal.

-	Innan du börjar med Avsnitt 2.2, läs definitionerna i första stycket i Avsnitt 3.1, dvs texten före Exempel 3.1. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.	+	2) Induktionssteg. Visa att om "påståendet" är sant för $n$, så följer det att det är sant även för $n+1$. Detta är oftast enbart algebraiska manipulationer för att visa att vänsterledet är lika med högerledet.

		+	3) Slutsats. Då är "påståendet" sant för alla heltal $n\geq n_0$.

-	För att tillgodogöra dig innehållet i Avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta ''n'' och ''w'' med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$.
-
-	''Kommentar''. Beviset av den så kallade '''de Moivres formel''', som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$.
-
-
-	Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 första hand:
-	* 2.1, 2.2, 2.7, 2.8, 2.11, 2.12

		+	Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:
		+	* 1.1 eller 1.3 [Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.], 1.4 , 1.6, 1.7, 1.12
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.6, 2.9, 2.13 (löses som i Exempel 2.13)	+	* 1.5 [Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.], 1.9, 1.10, 1.15

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 13.43

2007-05-31T13:43:19Z

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.43
Rad 10:		Rad 10:


-	Läs första stycket i Avsnitt 3.1, innan du börjar med Avsnitt 2.2. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.	+	Innan du börjar med Avsnitt 2.2, läs definitionerna i första stycket i Avsnitt 3.1, dvs texten före Exempel 3.1. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 12.08

2007-05-31T12:08:41Z

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 12.08
Rad 3:		Rad 3:
	Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Delen om logik kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.		Läsa noga texten till och med Exempel 1.2. Delen om logik kan vara svår, men stanna inte för länge med den om allt inte blir klart.

-	== 2 Komplexa tal ==	+	== 2.1-2.3 Komplexa tal ==
		+
		+	För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall kunna bevisa minst två av dem för dig själv. Kanhända är beviset av Sats 2.7 för invecklat, men ansträng dig för att förstå beviset av Följdsats 2.8.

-	För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall förstå varför de är som de är. Detsamma gäller Satserna 2.7 och 2.8.
	''Kommentar''. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).		''Kommentar''. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).

-	Läs första stycket i Avsnitt 3.1, innan du börjar med Avsnitt 2.2, som är en övergång till allmänna polynomekvationer. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.

		+	Läs första stycket i Avsnitt 3.1, innan du börjar med Avsnitt 2.2. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.


		+	För att tillgodogöra dig innehållet i Avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta ''n'' och ''w'' med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$.

-	För att tillgodogöra dig innehållet i avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta ''n'' och ''w'' med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$.
	''Kommentar''. Beviset av den så kallade '''de Moivres formel''', som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$.		''Kommentar''. Beviset av den så kallade '''de Moivres formel''', som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$.
		+

	Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 första hand:
-	* 2.1-2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.7, 2.8, 2.11, 2.12	+	* 2.1, 2.2, 2.7, 2.8, 2.11, 2.12

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 2.4, 2.6, 2.9, 2.13 (löses som i Exempel 2.13)	+	* 2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.6, 2.9, 2.13 (löses som i Exempel 2.13)