Dag 15 - Versionshistorik

Vcrispin: /* 5.7 Rang och nollrummets dimension */

2007-06-11T10:28:04Z

5.7 Rang och nollrummets dimension

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 10.28
Rad 11:		Rad 11:


-	== 5.7 Rang och nollrummets dimension ==	+	== 5.6 Rang och nollrummets dimension ==


-	Läs och begrunda texten tom sats 5.6.3. Satsens resultat tolkas på följande sätt. Låt $A_{m\times n}$ vara en avbildningsmatris $R^n\rightarrow R^m$. Då är $rang(A)$ dimensionen av delvektorrummet i $R^m$ bestående av alla avbildade vektorer och $dimnoll(A)$ dimensionen av delrummet i $R^n$ bestående av alla vektorer som avbildas på ${\bf 0}\in R^m$. Då är $rang(A)+dimnoll(A)=n$.	+	Läs och begrunda texten tom sats 5.6.3. Satsens resultat tolkas på följande sätt. Låt $A_{m\times n}$ vara en avbildningsmatris $R^n\rightarrow R^m$. Då är $rang(A)$ dimensionen av delvektorrummet i $R^m$ bestående av alla avbildade vektorer och $dimnoll(A)$ dimensionen av delrummet i $R^n$ bestående av alla vektorer som avbildas på ${\bf 0}\in R^m$. Då är $rang(A)+dimnoll(A)=n$ (sats 5.6.3). Resultatet kallas dimensionssatsen.

	Exempel. Låt $A: R^3\rightarrow R^3$ vara projektion på ett plan genom origo. Eftersom de avbildade vektorerna bildar ett plan, som är tvådimensionellt, så måste nollrummet vara $(3-2=)1$-dimensionellt, vilket helt stämmer överens med vår geometriska bild. Det som avbildas på $\bf 0$ är linjen, som är vinkelrät mot planet, och en linje är 1-dimensionell.		Exempel. Låt $A: R^3\rightarrow R^3$ vara projektion på ett plan genom origo. Eftersom de avbildade vektorerna bildar ett plan, som är tvådimensionellt, så måste nollrummet vara $(3-2=)1$-dimensionellt, vilket helt stämmer överens med vår geometriska bild. Det som avbildas på $\bf 0$ är linjen, som är vinkelrät mot planet, och en linje är 1-dimensionell.

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 17.06

2007-06-09T17:06:30Z

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 17.06
Rad 22:		Rad 22:

	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 5.6.2ad [ [[svar till 5.6.2ad]] ], 5.6.3ad, 5.5.5	+	* 5.6.2ac [ [[svar till 5.6.2ac]] ], 5.6.3ad, 5.5.5
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 5.6.9, 5.6.11		* 5.6.9, 5.6.11

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 16.35

2007-06-09T16:35:38Z

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 16.35
Rad 6:		Rad 6:

	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 5.5.3abcd, 5.5.5abc, 5.5.6bcd [ [[svar till 5.5.6]] ]	+	* 5.5.3abcd, 5.5.5abc, 5.5.6bcd [ [[svar till 5.5.6bcd]] ]
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 5.5.9, 5.5.11		* 5.5.9, 5.5.11

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 16.27

2007-06-09T16:27:31Z

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 16.27
Rad 22:		Rad 22:

	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 5.6.2ad [ [[svar till 5.6.2]] ], 5.6.3ad, 5.5.5	+	* 5.6.2ad [ [[svar till 5.6.2ad]] ], 5.6.3ad, 5.5.5
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 5.6.9, 5.6.11		* 5.6.9, 5.6.11

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 16.12

2007-06-09T16:12:32Z

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 16.12
Rad 16:		Rad 16:
	Läs och begrunda texten tom sats 5.6.3. Satsens resultat tolkas på följande sätt. Låt $A_{m\times n}$ vara en avbildningsmatris $R^n\rightarrow R^m$. Då är $rang(A)$ dimensionen av delvektorrummet i $R^m$ bestående av alla avbildade vektorer och $dimnoll(A)$ dimensionen av delrummet i $R^n$ bestående av alla vektorer som avbildas på ${\bf 0}\in R^m$. Då är $rang(A)+dimnoll(A)=n$.		Läs och begrunda texten tom sats 5.6.3. Satsens resultat tolkas på följande sätt. Låt $A_{m\times n}$ vara en avbildningsmatris $R^n\rightarrow R^m$. Då är $rang(A)$ dimensionen av delvektorrummet i $R^m$ bestående av alla avbildade vektorer och $dimnoll(A)$ dimensionen av delrummet i $R^n$ bestående av alla vektorer som avbildas på ${\bf 0}\in R^m$. Då är $rang(A)+dimnoll(A)=n$.

-	Exempel. Låt $A: R^3\rightarrow R^3$ vara projektion på ett plan genom origo. Eftersom de avbildade vektorerna bildar ett plan, som är tvådimensionellt, så måste nollrummet vara $(3-2=)1$-dimensionellt, vilket helt stämmer med vår geometriska bild. Det som avbildas på $\bf 0$ är linjen, som är vinkelrät mot planet, och en linje är 1-dimensionell.	+	Exempel. Låt $A: R^3\rightarrow R^3$ vara projektion på ett plan genom origo. Eftersom de avbildade vektorerna bildar ett plan, som är tvådimensionellt, så måste nollrummet vara $(3-2=)1$-dimensionellt, vilket helt stämmer överens med vår geometriska bild. Det som avbildas på $\bf 0$ är linjen, som är vinkelrät mot planet, och en linje är 1-dimensionell.

	Vidare följer ett antal resultat om ekvivalenta egenskaper hos linjära ekvationssystem. Sats 5.6.9 är en sammanfattning av ekvivalenta påståenden som gäller för ett linjär ekvationssystem, som vi har samlat på oss sedan moment 2 (och sats 1.5.3, vill jag minnas).		Vidare följer ett antal resultat om ekvivalenta egenskaper hos linjära ekvationssystem. Sats 5.6.9 är en sammanfattning av ekvivalenta påståenden som gäller för ett linjär ekvationssystem, som vi har samlat på oss sedan moment 2 (och sats 1.5.3, vill jag minnas).

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 16.10

2007-06-09T16:10:55Z

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 16.10
Rad 2:		Rad 2:


-	En matris kan tolkas på flera sätt: ett skrivsätt för linjära ekvationssystem, beskrivning av en linjär avbildning mellan vektorrum, beskrivning av ett koordinatbyte mm. Vi kan även se en matris av storlek $m\times n$ som ett skrivsätt för en mängd vektorer i ett vektorrum genom att betrakta rader som vektorer ($m$ vektorer i $R^n$) eller kolumner som vektorer ($n$ vektorer i $R^m$). I det första fallet får man ett delrum till $R^n$. Skulle radvektorerna råka vara linjärt oberoende är delrummet $m$-dimensionellt.	+	En matris kan tolkas på flera sätt: ett skrivsätt för linjära ekvationssystem, beskrivning av en linjär avbildning mellan vektorrum, beskrivning av ett koordinatbyte mm. Vi kan även se en matris av storlek $m\times n$ som ett skrivsätt för en mängd vektorer i ett vektorrum genom att betrakta rader som vektorer ($m$ vektorer i $R^n$) eller kolumner som vektorer ($n$ vektorer i $R^m$). I det första fallet får man ett delrum till $R^n$. Skulle radvektorerna råka vara linjärt oberoende är delrummet $m$-dimensionellt. Det och mycket annat trevligt kommer man fram till, och därmed ytterligare egenskaper hos linjära ekvationssystem, linjära avbildningar etc. Nollrumet till en matris $A$ kan man definiera som lösningsrummet till ekvationssystemet $A\bf x=0$, såsom i definitionen i början av avsnittet, men också som delrummet av de vektorer som avbildas på nollvektorn, om man betraktar $A$ som en avbildningsmatris. Avsnittet blir ganska lättläst, om man har tillgodogjort sig tidigare material på ett mer konceptuellt sätt, snarare än behärskar rena räknetefärdigheten. I annat fall, kan det hända att innehållet lätt ses som träning på nya onödiga räknetekniker.


	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7	+	* 5.5.3abcd, 5.5.5abc, 5.5.6bcd [ [[svar till 5.5.6]] ]
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19	+	* 5.5.9, 5.5.11
-	[[Svar till 5.3.2, 5.3.4, 5.3.6]]	+


-	== 5.6 Linjärt oberoende ==	+	== 5.7 Rang och nollrummets dimension ==


-	En och samma vektor $\bf v$ i, säg, $R^3$ kan skrivas som linjär kombination av tre linjärt oberoende vektorer på ett unikt sätt. Om man däremot väljer fyra vektorer i $R^3$, kommer $\bf v$ att kunna skrivas som linjär kombination av dessa fyra på ett oändligt antal sätt. För att ha en unik representation, inför man en bas. En bas för ett vektorrum $V$ är alltså en uppsättning av linjärt oberoende vektorer, basvektorer, som genererar ("span" eller "generate" på engelska) $V$; det sistnämnda innebär att varje vektor ${\bf v}\in V$ kan på ett unikt sätt skrivas som en linjär kombination av basvektorerna. Läs nu definitionen, sats 5.4.1 och gärna dess bevis. Gå igenom alla exemplen, exempel 8 är dock överkurs. Sats 5.4.2 följer enkelt från egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Läs vidare tom exempel 10, texten efter det kan du läsa översiktligt.	+	Läs och begrunda texten tom sats 5.6.3. Satsens resultat tolkas på följande sätt. Låt $A_{m\times n}$ vara en avbildningsmatris $R^n\rightarrow R^m$. Då är $rang(A)$ dimensionen av delvektorrummet i $R^m$ bestående av alla avbildade vektorer och $dimnoll(A)$ dimensionen av delrummet i $R^n$ bestående av alla vektorer som avbildas på ${\bf 0}\in R^m$. Då är $rang(A)+dimnoll(A)=n$.
		+
		+	Exempel. Låt $A: R^3\rightarrow R^3$ vara projektion på ett plan genom origo. Eftersom de avbildade vektorerna bildar ett plan, som är tvådimensionellt, så måste nollrummet vara $(3-2=)1$-dimensionellt, vilket helt stämmer med vår geometriska bild. Det som avbildas på $\bf 0$ är linjen, som är vinkelrät mot planet, och en linje är 1-dimensionell.
		+
		+	Vidare följer ett antal resultat om ekvivalenta egenskaper hos linjära ekvationssystem. Sats 5.6.9 är en sammanfattning av ekvivalenta påståenden som gäller för ett linjär ekvationssystem, som vi har samlat på oss sedan moment 2 (och sats 1.5.3, vill jag minnas).


	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 5.4.1, 5.4.3, 5.4.11	+	* 5.6.2ad [ [[svar till 5.6.2]] ], 5.6.3ad, 5.5.5
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 5.4.13, 5.4.17, 5.3.21	+	* 5.6.9, 5.6.11

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 15.26

2007-06-09T15:26:48Z

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 15.26
Rad 1:		Rad 1:
-	== 5.5 Linjärt oberoende ==	+	== 5.5 Rad-, kolumn- och nollrum ==
-		+


		+	En matris kan tolkas på flera sätt: ett skrivsätt för linjära ekvationssystem, beskrivning av en linjär avbildning mellan vektorrum, beskrivning av ett koordinatbyte mm. Vi kan även se en matris av storlek $m\times n$ som ett skrivsätt för en mängd vektorer i ett vektorrum genom att betrakta rader som vektorer ($m$ vektorer i $R^n$) eller kolumner som vektorer ($n$ vektorer i $R^m$). I det första fallet får man ett delrum till $R^n$. Skulle radvektorerna råka vara linjärt oberoende är delrummet $m$-dimensionellt.

Vcrispin: Ny sida: == 5.5 Linjärt oberoende == Gör följande övningar i första hand: * 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7 Har du tid över kan du göra även: * 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19 [[S...

2007-06-09T14:27:54Z

Ny sida: == 5.5 Linjärt oberoende == Gör följande övningar i första hand: * 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7 Har du tid över kan du göra även: * 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19 [[S...

Ny sida

== 5.5 Linjärt oberoende ==

Gör följande övningar i första hand:
* 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7
Har du tid över kan du göra även:
* 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19
[[Svar till 5.3.2, 5.3.4, 5.3.6]]

== 5.6 Linjärt oberoende ==

En och samma vektor $\bf v$ i, säg, $R^3$ kan skrivas som linjär kombination av tre linjärt oberoende vektorer på ett unikt sätt. Om man däremot väljer fyra vektorer i $R^3$, kommer $\bf v$ att kunna skrivas som linjär kombination av dessa fyra på ett oändligt antal sätt. För att ha en unik representation, inför man en bas. En bas för ett vektorrum $V$ är alltså en uppsättning av linjärt oberoende vektorer, basvektorer, som genererar ("span" eller "generate" på engelska) $V$; det sistnämnda innebär att varje vektor ${\bf v}\in V$ kan på ett unikt sätt skrivas som en linjär kombination av basvektorerna. Läs nu definitionen, sats 5.4.1 och gärna dess bevis. Gå igenom alla exemplen, exempel 8 är dock överkurs. Sats 5.4.2 följer enkelt från egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Läs vidare tom exempel 10, texten efter det kan du läsa översiktligt.

Gör följande övningar i första hand:
* 5.4.1, 5.4.3, 5.4.11
Har du tid över kan du göra även:
* 5.4.13, 5.4.17, 5.3.21