http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?action=history&feed=atom&title=Dag_17 2026-05-21T20:17:20Z Versionshistorik för denna sida på wikin MediaWiki 1.9.3 http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=480&oldid=prev 2007-06-10T09:43:37Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.43</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td></tr> <tr><td colspan="2">&nbsp;</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert$.</td><td colspan="2">&nbsp;</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td colspan="2">&nbsp;</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert$ och vår ON-bas är komplett!</td></tr> <tr><td colspan="2">&nbsp;</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td colspan="2">&nbsp;</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Du kan hoppa över texten efter exempel 7.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningar i första hand:</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningar i första hand:</td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">* 6.3.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* 6.3.<span style="color: red; font-weight: bold;">1-4, 6.3.9, 6.1.17a [ [[svar till de jämna övningarna i 6.3]] ]</span></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Har du tid över kan du göra även:</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Har du tid över kan du göra även:</td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">* 6.3.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* 6.3.<span style="color: red; font-weight: bold;">13, 6.1.17b, 6.1.19</span></td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=479&oldid=prev 2007-06-10T09:38:10Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.38</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }<span style="color: red; font-weight: bold;">$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert</span>$.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=478&oldid=prev 2007-06-10T09:33:43Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.33</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. <span style="color: red; font-weight: bold;">(Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) </span>Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$.</td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=477&oldid=prev 2007-06-10T09:32:23Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.32</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel <span style="color: red; font-weight: bold;">i 2 dimensioner</span>. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert<span style="color: red; font-weight: bold;">$. Nu är vi klara.</span></td></tr> <tr><td colspan="2">&nbsp;</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">&#160;</td></tr> <tr><td colspan="2">&nbsp;</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }</span>$.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=476&oldid=prev 2007-06-10T09:25:32Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.25</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2=<span style="color: red; font-weight: bold;">\frac{ </span>{\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} <span style="color: red; font-weight: bold;"> }{</span>\vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert<span style="color: red; font-weight: bold;">}</span>$</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} <span style="color: red; font-weight: bold;">/ </span>\vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$<span style="color: red; font-weight: bold;">.</span></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=475&oldid=prev 2007-06-10T09:24:34Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.24</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. <span style="color: red; font-weight: bold;">Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2=\frac{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} }{\vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert}$</span></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=474&oldid=prev 2007-06-10T09:21:36Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.21</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf e}_1, {\bf e}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i <span style="color: red; font-weight: bold;">projetionsformeln </span>är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $<span style="color: red; font-weight: bold;">\{ </span>{\bf e}_1, {\bf e}_2<span style="color: red; font-weight: bold;">\}</span>$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }<span style="color: red; font-weight: bold;">=</span>({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i <span style="color: red; font-weight: bold;">projektionsformeln </span>är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad<span style="color: red; font-weight: bold;">. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra</span>. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=473&oldid=prev 2007-06-10T09:17:57Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.17</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">v</span>}<span style="color: red; font-weight: bold;">_1</span>, {\bf v}<span style="color: red; font-weight: bold;">_2</span>$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}_1, {\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">v</span>}<span style="color: red; font-weight: bold;">_1</span>$ och låta ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}_1=\frac{ {\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">v</span>}<span style="color: red; font-weight: bold;">_1 </span>}{\vert\vert{\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">v</span>}<span style="color: red; font-weight: bold;">_1</span>\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}<span style="color: red; font-weight: bold;">_2</span>$ på ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}_1$ och får $({\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}_1\cdot {\bf v}<span style="color: red; font-weight: bold;">_2</span>) {\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}_1$. Observera att nämnaren i projetionsformeln är 1 ty ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}_1$ är normerad.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">e</span>}_1, {\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">e</span>}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}$ och låta ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">e</span>}_1=\frac{ {\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>} }{\vert\vert{\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">u</span>}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">e</span>}_1$ och får $<span style="color: red; font-weight: bold;">{\bf v}_{ {\bf e}_1 }</span>({\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">e</span>}_1\cdot {\bf v}) {\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">e</span>}_1$. Observera att nämnaren i projetionsformeln är 1 ty ${\bf <span style="color: red; font-weight: bold;">e</span>}_1$ är normerad.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=472&oldid=prev 2007-06-10T09:16:04Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.16</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 2:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 2:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen <span style="color: red; font-weight: bold;">(se exempel 7)</span>.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{ {\bf v}<span style="color: red; font-weight: bold;">_1 </span>}{\vert\vert{\bf v}<span style="color: red; font-weight: bold;">_1</span>\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$ <span style="color: red; font-weight: bold;">och får $({\bf u}_1\cdot {\bf v}_2) {\bf u}_1$. Observera att nämnaren i projetionsformeln är 1 ty ${\bf u}_1$ är normerad.</span></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Vcrispin http://wiki.math.se/wikis/5b4046_0701/index.php?title=Dag_17&diff=471&oldid=prev 2007-06-10T09:13:40Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.13</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Vcrispin