Svar till 7.1.23 - Versionshistorik

Annator den 8 juni 2007 kl. 13.35

2007-06-08T13:35:22Z

← Äldre version		Versionen från 8 juni 2007 kl. 13.35
Rad 3:		Rad 3:
	$\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$.		$\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$.

-	Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.	+	Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^T$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.
		+
		+	7.1.23b) Visa att $A$ och $A^T$ inte (nödvändigvis) har samma egenrum.
		+
		+	Konstruera ett exempel på en matris $A$ och en vektor $x$ sådan att $x$ äre egenvektor till $A$ men inte till $A^T$. Man kan till exempel ta $A= \left( \begin{array}{c\|c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ och $x= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$

Annator den 8 juni 2007 kl. 13.32

2007-06-08T13:32:07Z

← Äldre version		Versionen från 8 juni 2007 kl. 13.32
Rad 1:		Rad 1:
	7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden.		7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden.

-	$\lambda$ egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda är egnvärde till $A^T$.	+	$\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$.

	Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.		Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.

Annator: Ny sida: 7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden. $\lambda$ egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lamb...

2007-06-08T13:31:48Z

Ny sida: 7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden. $\lambda$ egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lamb...

Ny sida

7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden.

$\lambda$ egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda är egnvärde till $A^T$.

Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^t$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.