Dag 10 - Versionshistorik

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 17.58

Vcrispin — Sat, 09 Jun 2007 17:58:06 GMT

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 17.58
Rad 37:		Rad 37:

	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:
-		+	* 3.5.1abc, 3.5.3a, 3.5.4ab, 3.5.5ab, 3.5.6a, 3.5.8a, 3.5.9abc, 3.5.10a, 3.5.11b (Som vanligt finns vissa svar i boken och andra [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap3a.pdf här].)
-	* 3.5.1abc, 3.5.3a, 3.5.4ab, 3.5.5ab, 3.5.6a, 3.5.8a, 3.5.9abc, 3.5.10a, 3.5.11b (Som vanligt finns vissa svar i boken och andra [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap3a.pdf här].)	+
-		+
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-		+	* 3.5.20, 3.5.22, 3.5.24, 3.5.29 och 3.5.33
-	* 3.5.20, 3.5.22, 3.5.24, 3.5.29 och 3.5.33	+

Vcrispin: /* 3.5 Linjer och plan i rummet */

Vcrispin — Wed, 06 Jun 2007 17:28:15 GMT

3.5 Linjer och plan i rummet

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 17.28
Rad 32:		Rad 32:
	Punkterna på en linje i rummet kan bekrivas på parameterform (se den blå rutan på sidan 159). Genom att sätta in olika värden på parametern $t$ får man ut olika punkter på linjen. Läs noga det som står ovanför den blå rutan på sidan 159 så att du kan förklara vilken linje parameterekvationen beskriver och varför.		Punkterna på en linje i rummet kan bekrivas på parameterform (se den blå rutan på sidan 159). Genom att sätta in olika värden på parametern $t$ får man ut olika punkter på linjen. Läs noga det som står ovanför den blå rutan på sidan 159 så att du kan förklara vilken linje parameterekvationen beskriver och varför.

-	Med hjälp av ovanstående beskrivningar av plan och linjer kan man lösa en rad olika geometriska problem: Hitta skärningen mellan en linje och ett plan, hitta skärningen mellan två plan (Hur kan den se ut?), beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. Det sistnämnda kan man gör amed formeln i sats 3.5.2, (Den så kallade avståndsformeln.), men mer lärorikt är att försöka tänka ut härledningen själv då man ställs inför ett problem av typen exempel 8 på sidan 161. Givetvis kan man välja att memorera formeln istället om man vill.	+	Med hjälp av ovanstående beskrivningar av plan och linjer kan man lösa en rad olika geometriska problem: Hitta skärningen mellan en linje och ett plan, hitta skärningen mellan två plan (Hur kan den se ut?), beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. Det sistnämnda kan man göra med formeln i sats 3.5.2, (Den så kallade avståndsformeln.), men mer lärorikt är att försöka tänka ut härledningen själv då man ställs inför ett problem av typen exempel 8 på sidan 161. Givetvis kan man välja att memorera formeln istället om man vill.

	Det här avsnittet har gett vår problemlösningsförmåga en riktig skjuts, så det blir många övningar på listan:		Det här avsnittet har gett vår problemlösningsförmåga en riktig skjuts, så det blir många övningar på listan:

Vcrispin den 6 juni 2007 kl. 17.25

Vcrispin — Wed, 06 Jun 2007 17:25:51 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 17.25
Rad 1:		Rad 1:
-
	== 3.4 Vektorprodukt ==		== 3.4 Vektorprodukt ==


-	Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $u$ och $v$ kan beräkna deras skalärprodukt $u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $u \times v$. Just på grund av att $u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $u$ och $v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $u$ och $v$.	+	Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $\bf u$ och $\bf v$ kan beräkna deras skalärprodukt $\bf u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $\bf u \times v$. Just på grund av att $\bf u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $\bf u$ och $\bf v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $\bf u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $\bf u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $\bf u$ och $\bf v$.

-	Nästa sats, 3.4.2, visar ett en del vanliga räkneregler gäller. Lägg särskilt märke till att $u \times v = - v \times u$. Detta kallas antikommutativitet, men är i motsats till vad namnet antyder, en egenskap som ligger mycket nära kommutativitet. Viktigt är också att vektorprodukten av en vektor med sig själv blir nollvektorn, samt att associativitet inte finns med i satsen. Vi måste alltså skilja på $(u \times v) \times w$ och $u \times (v \times w)$, så parenteserna är viktiga att sätta ut. (Som du kanske minns var det inte så för matrismultiplikation. Där går det exempelvis bra att skriva $ABC$ istället för $A(BC)$.	+	Nästa sats, 3.4.2, visar ett en del vanliga räkneregler gäller. Lägg särskilt märke till att $\bf u \times v = - v \times u$. Detta kallas antikommutativitet, men är i motsats till vad namnet antyder, en egenskap som ligger mycket nära kommutativitet. Viktigt är också att vektorprodukten av en vektor med sig själv blir nollvektorn, samt att associativitet inte finns med i satsen. Vi måste alltså skilja på $\bf (u \times v) \times w$ och $\bf u \times (v \times w)$, så parenteserna är viktiga att sätta ut. (Som du kanske minns var det inte så för matrismultiplikation. Där går det exempelvis bra att skriva $ABC$ istället för $A(BC)$.

	Resten av avsnittet innehåller en rad intressanta och viktiga egenskaper som jag ger en kort listning av här, men överlåter åt dig att läsa närmare om i läroboken.		Resten av avsnittet innehåller en rad intressanta och viktiga egenskaper som jag ger en kort listning av här, men överlåter åt dig att läsa närmare om i läroboken.

-	I den blå rutan på sidan 147 visas hur vektorprodukten kan uttryckas som en determinant. Detta är ofta användbart i både praktiska och teoretiska sammanhang. Av detta följer också att den så kallade skalära trippelprodukten, $u \cdot (v \times w)$ är lika med determinanaten av matrisen med $u, v$ och $w$ som rader. (se sid 149.)	+	I den blå rutan på sidan 147 visas hur vektorprodukten kan uttryckas som en determinant. Detta är ofta användbart i både praktiska och teoretiska sammanhang. Av detta följer också att den så kallade skalära trippelprodukten, $\bf u \cdot (v \times w)$ är lika med determinanaten av matrisen med $\bf u, v$ och $\bf w$ som rader. (se sid 149.)

-	Längden av $u \times v$ är arean av den parallellogram som har vektorerna $u$ och $v$ som sidor.	+	Längden av $\bf u \times v$ är arean av den parallellogram som har vektorerna $\bf u$ och $\bf v$ som sidor.

	Sats 3.4.4 om hur areor av parallellogram och parallellepipeder kan beräknas med hjälp av determinanter är viktig. Försök förstå beviset och lägg även märke till att en konsekvens är sats 3.4.5 som vi kommer återkomma till många gånger framöver.		Sats 3.4.4 om hur areor av parallellogram och parallellepipeder kan beräknas med hjälp av determinanter är viktig. Försök förstå beviset och lägg även märke till att en konsekvens är sats 3.4.5 som vi kommer återkomma till många gånger framöver.

-	Från vår definition är det inte självklart att vi skulle få samma vektor $u \times v$ om vi bytte koordinatsystem. Läs med på sidan 152.	+	Från vår definition är det inte självklart att vi skulle få samma vektor $\bf u \times v$ om vi bytte koordinatsystem. Läs med på sidan 152.


	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:
-		+	* 3.4.2, 3.4.4, 3.4.10 (Svar [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap3a.pdf här].)
-	* 3.4.2, 3.4.4, 3.4.10 (Svar [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap3a.pdf här].)	+
-		+
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-		+	* 3.4.12 ([[Lösning till övning 3.4.12]].) (Men fall inte för frestelsen att se på lösningen innan du har en egen!)
-	* 3.4.12 ([[Lösning till övning 3.4.12]].) (Men fall inte för frestelsen att se på lösningen innan du har en egen!)	+
-		+

Annator den 6 juni 2007 kl. 12.44

Annator — Wed, 06 Jun 2007 12:44:43 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 12.44
Rad 1:		Rad 1:
-	3.4 Vektorprodukt	+
		+	== 3.4 Vektorprodukt ==
		+

	Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $u$ och $v$ kan beräkna deras skalärprodukt $u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $u \times v$. Just på grund av att $u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $u$ och $v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $u$ och $v$.		Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $u$ och $v$ kan beräkna deras skalärprodukt $u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $u \times v$. Just på grund av att $u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $u$ och $v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $u$ och $v$.
Rad 25:		Rad 27:


-	3.5 Linjer och plan i rummet	+
		+	== 3.5 Linjer och plan i rummet ==
		+

	Detta avsnitt är inte så komplicerat teoretiskt sett, men fullt av saker som är viktiga att förstå för att kunna lösa grundläggande geometriska problem. Några huvudpunkter i avsnittet är:		Detta avsnitt är inte så komplicerat teoretiskt sett, men fullt av saker som är viktiga att förstå för att kunna lösa grundläggande geometriska problem. Några huvudpunkter i avsnittet är:

Annator den 6 juni 2007 kl. 12.42

Annator — Wed, 06 Jun 2007 12:42:07 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 12.42
Rad 34:		Rad 34:

	Med hjälp av ovanstående beskrivningar av plan och linjer kan man lösa en rad olika geometriska problem: Hitta skärningen mellan en linje och ett plan, hitta skärningen mellan två plan (Hur kan den se ut?), beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. Det sistnämnda kan man gör amed formeln i sats 3.5.2, (Den så kallade avståndsformeln.), men mer lärorikt är att försöka tänka ut härledningen själv då man ställs inför ett problem av typen exempel 8 på sidan 161. Givetvis kan man välja att memorera formeln istället om man vill.		Med hjälp av ovanstående beskrivningar av plan och linjer kan man lösa en rad olika geometriska problem: Hitta skärningen mellan en linje och ett plan, hitta skärningen mellan två plan (Hur kan den se ut?), beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. Det sistnämnda kan man gör amed formeln i sats 3.5.2, (Den så kallade avståndsformeln.), men mer lärorikt är att försöka tänka ut härledningen själv då man ställs inför ett problem av typen exempel 8 på sidan 161. Givetvis kan man välja att memorera formeln istället om man vill.
		+
		+	Det här avsnittet har gett vår problemlösningsförmåga en riktig skjuts, så det blir många övningar på listan:
		+
		+	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:
		+
		+	* 3.5.1abc, 3.5.3a, 3.5.4ab, 3.5.5ab, 3.5.6a, 3.5.8a, 3.5.9abc, 3.5.10a, 3.5.11b (Som vanligt finns vissa svar i boken och andra [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap3a.pdf här].)
		+
		+	Har du tid över kan du göra även:
		+
		+	* 3.5.20, 3.5.22, 3.5.24, 3.5.29 och 3.5.33

Annator den 6 juni 2007 kl. 12.36

Annator — Wed, 06 Jun 2007 12:36:30 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 12.36
Rad 23:		Rad 23:

	* 3.4.12 ([[Lösning till övning 3.4.12]].) (Men fall inte för frestelsen att se på lösningen innan du har en egen!)		* 3.4.12 ([[Lösning till övning 3.4.12]].) (Men fall inte för frestelsen att se på lösningen innan du har en egen!)
		+
		+
		+	3.5 Linjer och plan i rummet
		+
		+	Detta avsnitt är inte så komplicerat teoretiskt sett, men fullt av saker som är viktiga att förstå för att kunna lösa grundläggande geometriska problem. Några huvudpunkter i avsnittet är:
		+
		+	Varje plan i rummet kan beskrivas som de punkter $(x,y,z)$ som uppfyller $ax+by+cz=d$ för några konstanter $a,b,c,d$. Dessutom kan planets normalvektor "läsas av" från ekvationen då den är $n=(a,b,c)$. Exempelvis utgör de punkter $(x,y,z)$ som uppfyller $5x-y+2z=3$ ett plan med normalvektor $(5,-1,2)$. Det är mycket viktigt att du lyckas följa resonemanget på sidorna 156-157 som visar varför det är på detta sätt.
		+
		+	Punkterna på en linje i rummet kan bekrivas på parameterform (se den blå rutan på sidan 159). Genom att sätta in olika värden på parametern $t$ får man ut olika punkter på linjen. Läs noga det som står ovanför den blå rutan på sidan 159 så att du kan förklara vilken linje parameterekvationen beskriver och varför.
		+
		+	Med hjälp av ovanstående beskrivningar av plan och linjer kan man lösa en rad olika geometriska problem: Hitta skärningen mellan en linje och ett plan, hitta skärningen mellan två plan (Hur kan den se ut?), beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. Det sistnämnda kan man gör amed formeln i sats 3.5.2, (Den så kallade avståndsformeln.), men mer lärorikt är att försöka tänka ut härledningen själv då man ställs inför ett problem av typen exempel 8 på sidan 161. Givetvis kan man välja att memorera formeln istället om man vill.

Annator den 6 juni 2007 kl. 12.10

Annator — Wed, 06 Jun 2007 12:10:57 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 12.10
Rad 22:		Rad 22:
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:

-	* 3.4.12 ([[Lösning till övning 3.4.12]]. (Men fall inte för frestelsen att se på lösningen innan du har en egen!)	+	* 3.4.12 ([[Lösning till övning 3.4.12]].) (Men fall inte för frestelsen att se på lösningen innan du har en egen!)

Annator den 6 juni 2007 kl. 11.28

Annator — Wed, 06 Jun 2007 11:28:51 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 11.28
Rad 18:		Rad 18:
	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:

-	* 3.4.2, 3.4.4, 3.4.10 (Svar	+	* 3.4.2, 3.4.4, 3.4.10 (Svar [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap3a.pdf här].)

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:

-	* 3.4.12	+	* 3.4.12 ([[Lösning till övning 3.4.12]]. (Men fall inte för frestelsen att se på lösningen innan du har en egen!)

Annator den 6 juni 2007 kl. 11.26

Annator — Wed, 06 Jun 2007 11:26:41 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 11.26
Rad 14:		Rad 14:

	Från vår definition är det inte självklart att vi skulle få samma vektor $u \times v$ om vi bytte koordinatsystem. Läs med på sidan 152.		Från vår definition är det inte självklart att vi skulle få samma vektor $u \times v$ om vi bytte koordinatsystem. Läs med på sidan 152.
		+
		+
		+	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:
		+
		+	* 3.4.2, 3.4.4, 3.4.10 (Svar
		+
		+	Har du tid över kan du göra även:
		+
		+	* 3.4.12

Annator den 6 juni 2007 kl. 11.22

Annator — Wed, 06 Jun 2007 11:22:31 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 11.22
Rad 4:		Rad 4:

	Nästa sats, 3.4.2, visar ett en del vanliga räkneregler gäller. Lägg särskilt märke till att $u \times v = - v \times u$. Detta kallas antikommutativitet, men är i motsats till vad namnet antyder, en egenskap som ligger mycket nära kommutativitet. Viktigt är också att vektorprodukten av en vektor med sig själv blir nollvektorn, samt att associativitet inte finns med i satsen. Vi måste alltså skilja på $(u \times v) \times w$ och $u \times (v \times w)$, så parenteserna är viktiga att sätta ut. (Som du kanske minns var det inte så för matrismultiplikation. Där går det exempelvis bra att skriva $ABC$ istället för $A(BC)$.		Nästa sats, 3.4.2, visar ett en del vanliga räkneregler gäller. Lägg särskilt märke till att $u \times v = - v \times u$. Detta kallas antikommutativitet, men är i motsats till vad namnet antyder, en egenskap som ligger mycket nära kommutativitet. Viktigt är också att vektorprodukten av en vektor med sig själv blir nollvektorn, samt att associativitet inte finns med i satsen. Vi måste alltså skilja på $(u \times v) \times w$ och $u \times (v \times w)$, så parenteserna är viktiga att sätta ut. (Som du kanske minns var det inte så för matrismultiplikation. Där går det exempelvis bra att skriva $ABC$ istället för $A(BC)$.
		+
		+	Resten av avsnittet innehåller en rad intressanta och viktiga egenskaper som jag ger en kort listning av här, men överlåter åt dig att läsa närmare om i läroboken.
		+
		+	I den blå rutan på sidan 147 visas hur vektorprodukten kan uttryckas som en determinant. Detta är ofta användbart i både praktiska och teoretiska sammanhang. Av detta följer också att den så kallade skalära trippelprodukten, $u \cdot (v \times w)$ är lika med determinanaten av matrisen med $u, v$ och $w$ som rader. (se sid 149.)
		+
		+	Längden av $u \times v$ är arean av den parallellogram som har vektorerna $u$ och $v$ som sidor.
		+
		+	Sats 3.4.4 om hur areor av parallellogram och parallellepipeder kan beräknas med hjälp av determinanter är viktig. Försök förstå beviset och lägg även märke till att en konsekvens är sats 3.4.5 som vi kommer återkomma till många gånger framöver.
		+
		+	Från vår definition är det inte självklart att vi skulle få samma vektor $u \times v$ om vi bytte koordinatsystem. Läs med på sidan 152.