Dag 16 - Versionshistorik

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 08.49

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 08:49:08 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 08.49
Rad 2:		Rad 2:


-	Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sats 3.3.2. Man kan istället utgå från egenskaperna och hitta på andra operationer, som till ett par vektorer i ett reellt vektorrum (inte nödvändigtvis $R^n$) tilldelar ett reellt tal. En sådan operation kallas ''inre produkt''. Ett reellt vektorrum tillsammans med en inre produkt kallas (föga förvånande) ett reellt ''inreproduktrum''. Som du minns kan man definiera längden av en vektor, liksom vinkeln och avståndet mellan två vektorer i $R^2$ och $R^3$ med hjälp av skalärprodukt. På samma sätt definieras normen (eller absolutbeloppet) av en vektor, $\vert\vert{\bf v}\vert\vert$ respektive vinkeln och avståndet mellan två vektorer i ett allmänt vektorrum. En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Läs nu noga tom exempel 8. De två nästföljande exemplen är mycket intressanta, men du kan hoppa över dessa, dock inte sats 6.1.1 och exempel 11.	+	Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sats 3.3.2. Man kan istället utgå från egenskaperna och hitta på andra operationer, som till ett par vektorer i ett reellt vektorrum (inte nödvändigtvis $R^n$) tilldelar ett reellt tal. En sådan operation kallas ''inre produkt''. Ett reellt vektorrum tillsammans med en inre produkt kallas (föga förvånande) ett reellt ''inreproduktrum''. Som du minns kan man definiera längden av en vektor, liksom vinkeln och avståndet mellan två vektorer i $R^2$ och $R^3$ med hjälp av skalärprodukt. På samma sätt definieras normen (eller absolutbeloppet) av en vektor, $\vert\vert {\bf v}\vert\vert$ respektive vinkeln och avståndet mellan två vektorer i ett allmänt vektorrum. Läs nu noga tom exempel 8. De två nästföljande exemplen är mycket intressanta, men du kan hoppa över dessa, dock inte sats 6.1.1 och exempel 11.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 08.47

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 08:47:17 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 08.47
Rad 2:		Rad 2:


-	Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sats 3.3.2. Man kan istället utgå från egenskaperna och hitta på andra operationer, som till ett par vektorer i ett reellt vektorrum (inte nödvändigtvis $R^n$) tilldelar ett reellt tal. En sådan operation kallas ''inre produkt''. Ett reellt vektorrum tillsammans med en inre produkt kallas (föga förvånande) ett reellt ''inreproduktrum''. Som du minns kan man definiera längden av en vektor, liksom vinkeln och avståndet mellan två vektorer i $R^2$ och $R^3$ med hjälp av skalärprodukt. På samma sätt definieras normen eller absolutbeloppet av en vektor, $\vert\vert\bf u\vert\vert$ respektive vinkeln och avståndet mellan två vektorer i ett allmänt vektorrum. Läs nu noga tom exempel 8. De två nästföljande exemplen är mycket intressanta, men du kan hoppa över dessa, dock inte sats 6.1.1 och exempel 11.	+	Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sats 3.3.2. Man kan istället utgå från egenskaperna och hitta på andra operationer, som till ett par vektorer i ett reellt vektorrum (inte nödvändigtvis $R^n$) tilldelar ett reellt tal. En sådan operation kallas ''inre produkt''. Ett reellt vektorrum tillsammans med en inre produkt kallas (föga förvånande) ett reellt ''inreproduktrum''. Som du minns kan man definiera längden av en vektor, liksom vinkeln och avståndet mellan två vektorer i $R^2$ och $R^3$ med hjälp av skalärprodukt. På samma sätt definieras normen (eller absolutbeloppet) av en vektor, $\vert\vert{\bf v}\vert\vert$ respektive vinkeln och avståndet mellan två vektorer i ett allmänt vektorrum. En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Läs nu noga tom exempel 8. De två nästföljande exemplen är mycket intressanta, men du kan hoppa över dessa, dock inte sats 6.1.1 och exempel 11.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 08.43

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 08:43:38 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 08.43
Rad 16:		Rad 16:
	Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Motsvarigheten till rät vinkel i $R^2$ och $R^3$ heter "ortogonal" vinkel i allmänna vektorrum.		Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Motsvarigheten till rät vinkel i $R^2$ och $R^3$ heter "ortogonal" vinkel i allmänna vektorrum.

-	Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i naturen, och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att finna nya objekt att arbeta med. Den teori som man bygger upp kan man sedan tillämpa på nya saker i naturen. Ett bra uttryck, som jag har läst, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare". (Mikael Passare, professor i matematik)	+	Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematik: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i naturen, och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att finna nya objekt att arbeta med. Den teori som man bygger upp kan man sedan tillämpa på nya saker i naturen. "I matematik gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare". (Mikael Passare, professor i matematik)

	Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet. Läs nu noga tom sats 6.2.5, men du får läsa översiktligt resten av avsnittet.		Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet. Läs nu noga tom sats 6.2.5, men du får läsa översiktligt resten av avsnittet.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 08.43

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 08:43:10 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 08.43
Rad 16:		Rad 16:
	Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Motsvarigheten till rät vinkel i $R^2$ och $R^3$ heter "ortogonal" vinkel i allmänna vektorrum.		Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Motsvarigheten till rät vinkel i $R^2$ och $R^3$ heter "ortogonal" vinkel i allmänna vektorrum.

-	Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i "naturen", och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att hitta på nya objekt att arbeta med. Den teori som man har byggt kan man sedan tillämpa på nya saker i "naturen". Ett bra uttryck, som jag har läst någonstans, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare."	+	Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i naturen, och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att finna nya objekt att arbeta med. Den teori som man bygger upp kan man sedan tillämpa på nya saker i naturen. Ett bra uttryck, som jag har läst, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare". (Mikael Passare, professor i matematik)

	Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet. Läs nu noga tom sats 6.2.5, men du får läsa översiktligt resten av avsnittet.		Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet. Läs nu noga tom sats 6.2.5, men du får läsa översiktligt resten av avsnittet.

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 18.23

Vcrispin — Sat, 09 Jun 2007 18:23:41 GMT

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 18.23
Rad 22:		Rad 22:

	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 6.2.1abcd, 6.2.2 [ svar till 6.2.2 ], 6.2.3, 6.2.7	+	* 6.2.1abcd, 6.2.2 [ [[svar till 6.2.2]] ], 6.2.3, 6.2.7
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 6.2.9, 6.2.15		* 6.2.9, 6.2.15

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 18.21

Vcrispin — Sat, 09 Jun 2007 18:21:08 GMT

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 18.21
Rad 18:		Rad 18:
	Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i "naturen", och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att hitta på nya objekt att arbeta med. Den teori som man har byggt kan man sedan tillämpa på nya saker i "naturen". Ett bra uttryck, som jag har läst någonstans, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare."		Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i "naturen", och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att hitta på nya objekt att arbeta med. Den teori som man har byggt kan man sedan tillämpa på nya saker i "naturen". Ett bra uttryck, som jag har läst någonstans, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare."

-	Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet.	+	Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet. Läs nu noga tom sats 6.2.5, men du får läsa översiktligt resten av avsnittet.
		+
		+
		+	Gör följande övningar i första hand:
		+	* 6.2.1abcd, 6.2.2 [ svar till 6.2.2 ], 6.2.3, 6.2.7
		+	Har du tid över kan du göra även:
		+	* 6.2.9, 6.2.15

Vcrispin den 9 juni 2007 kl. 18.16

Vcrispin — Sat, 09 Jun 2007 18:16:38 GMT

← Äldre version		Versionen från 9 juni 2007 kl. 18.16
Rad 14:		Rad 14:


-	Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i "naturen", och utgår sedan ifrån egenskaperna enbart för att hitta på nya objekt att arbeta med. Den teori som man har byggt kan man sedan tillämpa på nya saker i "naturen". Ett bra uttryck, som jag har läst någonstans, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare."	+	Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Motsvarigheten till rät vinkel i $R^2$ och $R^3$ heter "ortogonal" vinkel i allmänna vektorrum.
		+
		+	Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i "naturen", och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att hitta på nya objekt att arbeta med. Den teori som man har byggt kan man sedan tillämpa på nya saker i "naturen". Ett bra uttryck, som jag har läst någonstans, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare."
		+
		+	Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet.

Vcrispin: Ny sida: == 6.1 Inreproduktrum == Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sat...

Vcrispin — Sat, 09 Jun 2007 18:13:39 GMT

Ny sida: == 6.1 Inreproduktrum == Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sat...

Ny sida

== 6.1 Inreproduktrum ==

Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sats 3.3.2. Man kan istället utgå från egenskaperna och hitta på andra operationer, som till ett par vektorer i ett reellt vektorrum (inte nödvändigtvis $R^n$) tilldelar ett reellt tal. En sådan operation kallas ''inre produkt''. Ett reellt vektorrum tillsammans med en inre produkt kallas (föga förvånande) ett reellt ''inreproduktrum''. Som du minns kan man definiera längden av en vektor, liksom vinkeln och avståndet mellan två vektorer i $R^2$ och $R^3$ med hjälp av skalärprodukt. På samma sätt definieras normen eller absolutbeloppet av en vektor, $\vert\vert\bf u\vert\vert$ respektive vinkeln och avståndet mellan två vektorer i ett allmänt vektorrum. Läs nu noga tom exempel 8. De två nästföljande exemplen är mycket intressanta, men du kan hoppa över dessa, dock inte sats 6.1.1 och exempel 11.

Gör följande övningar i första hand:
* 6.1.3, 6.1.9
Har du tid över kan du göra även:
* 6.1.5, 6.1.7, 6.1.23

== 6.2 Vinklar och ortogonalitet ==

Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematiken: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i "naturen", och utgår sedan ifrån egenskaperna enbart för att hitta på nya objekt att arbeta med. Den teori som man har byggt kan man sedan tillämpa på nya saker i "naturen". Ett bra uttryck, som jag har läst någonstans, är: "I matematiken gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare."