Dag 17 - Versionshistorik

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.43

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:43:37 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.43
Rad 3:		Rad 3:

	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).		En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).
		+

	Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.		Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.

-	Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert$.

		+	Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert$ och vår ON-bas är komplett!
		+
		+	Du kan hoppa över texten efter exempel 7.


	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 6.3.	+	* 6.3.1-4, 6.3.9, 6.1.17a [ [[svar till de jämna övningarna i 6.3]] ]
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 6.3.	+	* 6.3.13, 6.1.17b, 6.1.19

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.38

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:38:10 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.38
Rad 6:		Rad 6:
	Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.		Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.

-	Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$.	+	Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert$.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.33

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:33:43 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.33
Rad 4:		Rad 4:
	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).		En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

-	Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.	+	Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.

	Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$.		Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.32

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:32:23 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.32
Rad 4:		Rad 4:
	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).		En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

-	Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$.	+	Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.
		+
		+	Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.25

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:25:32 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.25
Rad 4:		Rad 4:
	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).		En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

-	Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2=\frac{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} }{\vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert}$	+	Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.24

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:24:34 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.24
Rad 4:		Rad 4:
	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).		En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

-	Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra.	+	Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2=\frac{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} }{\vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert}$

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.21

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:21:36 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.21
Rad 4:		Rad 4:
	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).		En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

-	Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf e}_1, {\bf e}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projetionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad.	+	Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.17

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:17:57 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.17
Rad 4:		Rad 4:
	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).		En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

-	Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{ {\bf v}_1 }{\vert\vert{\bf v}_1\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$ och får $({\bf u}_1\cdot {\bf v}_2) {\bf u}_1$. Observera att nämnaren i projetionsformeln är 1 ty ${\bf u}_1$ är normerad.	+	Exempel. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf e}_1, {\bf e}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. Observera att nämnaren i projetionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.16

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:16:04 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.16
Rad 2:		Rad 2:


-	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen.	+	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

-	Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$	+	Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{ {\bf v}_1 }{\vert\vert{\bf v}_1\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$ och får $({\bf u}_1\cdot {\bf v}_2) {\bf u}_1$. Observera att nämnaren i projetionsformeln är 1 ty ${\bf u}_1$ är normerad.

Vcrispin den 10 juni 2007 kl. 09.13

Vcrispin — Sun, 10 Jun 2007 09:13:40 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 juni 2007 kl. 09.13
Rad 4:		Rad 4:
	En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen.		En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen.

-	Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{{\bf v}}{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$	+	Exempel. Låt två vektorer ${\bf v}_1, {\bf v}_2$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas ${\bf u}_1, {\bf u}_2$ för detta plan genom att först normera ${\bf v}_1$ och låta ${\bf u}_1=\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}_2$ på ${\bf u}_1$