Dag 18 - Versionshistorik

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.58

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:58:02 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.58
Rad 32:		Rad 32:

	Läs igenom hela avsnittet och hoppa inte över något.		Läs igenom hela avsnittet och hoppa inte över något.
		+

	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
Rad 42:		Rad 43:


-	Tack vare förra avsnittet kan vi nu betrakta en särskild klass av matriser, nämligen de som är inverterbara, som basbytesmatriser mellan	+	Tack vare förra avsnittet kan vi nu betrakta en särskild klass av matriser, nämligen de som är inverterbara, som basbytesmatriser. Basbyteesmatriser mellan ON-baser är särskild intressanta, eftersom det är trevligt och bekvämt att arbeta med ON-baser, och uppfyller en rad egenskaper. Om detta handlar det aktuella avsnittet.


	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 6.6.1, 6.6.3, 6.6.8	+	* 6.6.1, 6.6.3, 6.6.8 [ [[svar till 6.6.8]] ]
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 6.6.13, 6.6.15		* 6.6.13, 6.6.15

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.50

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:50:17 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.50
Rad 28:		Rad 28:

	Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara $A= \left( \begin{array}{c\|c} a & c \\ b & d \end{array} \right)$ för att det ska stämma multiplikationsmässigt.		Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara $A= \left( \begin{array}{c\|c} a & c \\ b & d \end{array} \right)$ för att det ska stämma multiplikationsmässigt.
		+
		+	En viktig egenskap som följer är att basbytesmatriser är inverterbara. Det är klart, att växla mellan olika koordinat"namn" på en och samma vektor motsvaras av multiplikation med en basbytesmatris. Om man byter koordinater från bas $u'$ till bas $u$ med hjälp av multiplikation med matris $P$, så måste bytet från bas $u$ till bas $u'$ motsvaras av multiplikation med matris $P^{-1}$.

	Läs igenom hela avsnittet och hoppa inte över något.		Läs igenom hela avsnittet och hoppa inte över något.
Rad 38:		Rad 40:

	== 6.6 Ortogonala matriser ==		== 6.6 Ortogonala matriser ==
		+
		+
		+	Tack vare förra avsnittet kan vi nu betrakta en särskild klass av matriser, nämligen de som är inverterbara, som basbytesmatriser mellan

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.40

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:40:12 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.40
Rad 32:		Rad 32:

	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 6.5.1, 6.5.3, 6.5.4, 6.5.5	+	* 6.5.1, 6.5.3, 6.5.4 [[svar till 6.5.4]], 6.5.5
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 6.5.10	+	* 6.5.7, 6.5.9

-	[[Svar till de jämna uppgifterna i 6.5 ovan.]]

	== 6.6 Ortogonala matriser ==		== 6.6 Ortogonala matriser ==

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.36

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:36:57 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.36
Rad 29:		Rad 29:
	Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara $A= \left( \begin{array}{c\|c} a & c \\ b & d \end{array} \right)$ för att det ska stämma multiplikationsmässigt.		Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara $A= \left( \begin{array}{c\|c} a & c \\ b & d \end{array} \right)$ för att det ska stämma multiplikationsmässigt.

		+	Läs igenom hela avsnittet och hoppa inte över något.

	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 6.5.1, 6.5.3, 6.5.4	+	* 6.5.1, 6.5.3, 6.5.4, 6.5.5
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 6.5.10, 6.5.11	+	* 6.5.10
-		+

		+	[[Svar till de jämna uppgifterna i 6.5 ovan.]]

	== 6.6 Ortogonala matriser ==		== 6.6 Ortogonala matriser ==

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.30

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:30:29 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.30
Rad 27:		Rad 27:
	Antag nu att man vet vad vaktorerna i nya basen $u'$ har för koordinater i gamla basen $u$. Antag vidare att man känner till koordinaterna för en vektor $\bf v$ i nya basen. Om man skriver koordinaterna som en kolonnvektor, vore det väldigt behändigt att ha en matris, en basbytesmatris ("transition" på engelska), att multiplicera med från vänster med denna kolonnvektor och få koordinaterna för $\bf v$ i gamla basen $u$. Detta handlar avsnittet om.		Antag nu att man vet vad vaktorerna i nya basen $u'$ har för koordinater i gamla basen $u$. Antag vidare att man känner till koordinaterna för en vektor $\bf v$ i nya basen. Om man skriver koordinaterna som en kolonnvektor, vore det väldigt behändigt att ha en matris, en basbytesmatris ("transition" på engelska), att multiplicera med från vänster med denna kolonnvektor och få koordinaterna för $\bf v$ i gamla basen $u$. Detta handlar avsnittet om.

-	Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara \begin{displaymath} \left(\begin{array}{rrr} a & c\\ b & d end{array}\right) .\end{displaymath}.	+	Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara $A= \left( \begin{array}{c\|c} a & c \\ b & d \end{array} \right)$ för att det ska stämma multiplikationsmässigt.

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.28

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:28:28 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.28
Rad 6:		Rad 6:
	Algoritmen är enkel:		Algoritmen är enkel:
	(1) Kontrollera om $A\bf x=b$ har en exakt lösning		(1) Kontrollera om $A\bf x=b$ har en exakt lösning
-	(2) Om inte, bilda normalekvationen $A^T A{\bf x}=A^Tb$	+	(2) Om inte, bilda normalekvationen $A^T A{\bf x}=A^T{\bf b}$
	(3) Lösningen till normalekvationen ger den approximativa lösningen till ursprungssystemet $A\bf x=b$.		(3) Lösningen till normalekvationen ger den approximativa lösningen till ursprungssystemet $A\bf x=b$.

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.26

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:26:24 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.26
Rad 27:		Rad 27:
	Antag nu att man vet vad vaktorerna i nya basen $u'$ har för koordinater i gamla basen $u$. Antag vidare att man känner till koordinaterna för en vektor $\bf v$ i nya basen. Om man skriver koordinaterna som en kolonnvektor, vore det väldigt behändigt att ha en matris, en basbytesmatris ("transition" på engelska), att multiplicera med från vänster med denna kolonnvektor och få koordinaterna för $\bf v$ i gamla basen $u$. Detta handlar avsnittet om.		Antag nu att man vet vad vaktorerna i nya basen $u'$ har för koordinater i gamla basen $u$. Antag vidare att man känner till koordinaterna för en vektor $\bf v$ i nya basen. Om man skriver koordinaterna som en kolonnvektor, vore det väldigt behändigt att ha en matris, en basbytesmatris ("transition" på engelska), att multiplicera med från vänster med denna kolonnvektor och få koordinaterna för $\bf v$ i gamla basen $u$. Detta handlar avsnittet om.

-	Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara \begin{displaymath}	+	Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara \begin{displaymath} \left(\begin{array}{rrr} a & c\\ b & d end{array}\right) .\end{displaymath}.
-	\left(\begin{array}{rrr}	+
-	a & c\\	+
-	b & d\end{array}\right) .\end{displaymath}.	+

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.25

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:25:49 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.25
Rad 22:		Rad 22:

	Exempel 1. Låt ${\bf u}_1=(1,0), {\bf u}_2=(0,1)$ vara en bas för $R^2$. Låt vidare ${\bf u'}_1=(1,2), {\bf u'}_2=(0,2)$ vara en ny bas för $R^2$. Om en vektor $\bf v$ har koordinaterna ${\bf v}=(1,1)_u$ i $e$-basen, kommer dess koordinater att vara $(1, -\frac{1}{2})_{u'}$ i den nya basen. Övertyga dig själv om detta genom att beräkna och rita. Observera att $\bf v$:s norm i $u$-basen är $\sqrt 2$, men den är $\frac{3}{2}$ i $u'$-basen.		Exempel 1. Låt ${\bf u}_1=(1,0), {\bf u}_2=(0,1)$ vara en bas för $R^2$. Låt vidare ${\bf u'}_1=(1,2), {\bf u'}_2=(0,2)$ vara en ny bas för $R^2$. Om en vektor $\bf v$ har koordinaterna ${\bf v}=(1,1)_u$ i $e$-basen, kommer dess koordinater att vara $(1, -\frac{1}{2})_{u'}$ i den nya basen. Övertyga dig själv om detta genom att beräkna och rita. Observera att $\bf v$:s norm i $u$-basen är $\sqrt 2$, men den är $\frac{3}{2}$ i $u'$-basen.
-

	Exempel 2. Låt $u$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf u'}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf u'}_2=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_u=(1,0)_{u'}$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $u$- eller $u'$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.		Exempel 2. Låt $u$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf u'}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf u'}_2=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_u=(1,0)_{u'}$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $u$- eller $u'$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.
		+
		+	Antag nu att man vet vad vaktorerna i nya basen $u'$ har för koordinater i gamla basen $u$. Antag vidare att man känner till koordinaterna för en vektor $\bf v$ i nya basen. Om man skriver koordinaterna som en kolonnvektor, vore det väldigt behändigt att ha en matris, en basbytesmatris ("transition" på engelska), att multiplicera med från vänster med denna kolonnvektor och få koordinaterna för $\bf v$ i gamla basen $u$. Detta handlar avsnittet om.
		+
		+	Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara \begin{displaymath}
		+	\left(\begin{array}{rrr}
		+	a & c\\
		+	b & d\end{array}\right) .\end{displaymath}.

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 09.15

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 09:15:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 09.15
Rad 21:		Rad 21:


-	Exempel 1. Låt ${\bf e}_1=(1,0), {\bf e}_2=(0,1)$ vara en bas för $R^2$. Låt vidare ${\bf f}_1=(1,2), {\bf f}_2=(0,2)$ vara en ny bas för $R^2$. Om en vektor $\bf v$ har koordinaterna ${\bf v}=(1,1)_e$ i $e$-basen, kommer dess koordinater att vara $(1, -\frac{1}{2})_f$ i den nya basen. Övertyga dig själv om detta genom att beräkna och rita. Observera att $\bf v$:s norm i $e$-basen är $\sqrt 2$, men den är $\frac{3}{2}$ i $f$-basen.	+	Exempel 1. Låt ${\bf u}_1=(1,0), {\bf u}_2=(0,1)$ vara en bas för $R^2$. Låt vidare ${\bf u'}_1=(1,2), {\bf u'}_2=(0,2)$ vara en ny bas för $R^2$. Om en vektor $\bf v$ har koordinaterna ${\bf v}=(1,1)_u$ i $e$-basen, kommer dess koordinater att vara $(1, -\frac{1}{2})_{u'}$ i den nya basen. Övertyga dig själv om detta genom att beräkna och rita. Observera att $\bf v$:s norm i $u$-basen är $\sqrt 2$, men den är $\frac{3}{2}$ i $u'$-basen.


-	Exempel 2. Låt $e$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf g}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf g}_2=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_e=(1,0)_g$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $e$- eller $g$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.	+	Exempel 2. Låt $u$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf u'}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf u'}_2=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_u=(1,0)_{u'}$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $u$- eller $u'$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.
-		+
-	Låt oss anta att vi har en bas $e$ och bildar en ny bas $f$, vars vektorer är ${\bf f}_1=a{\bf e}_1+b{\bf e}_2=(a,b)_e$ och ${\bf f}_2=c{\bf e}_1+d{\bf e}_2=(c,d)_e$. För en vektor $\bf v$ får vi då följande relation mellan koordinaterna $(x,y)_f=x{\bf f}_1+y{\bf f}_2=x$	+

Vcrispin den 11 juni 2007 kl. 08.50

Vcrispin — Mon, 11 Jun 2007 08:50:59 GMT

← Äldre version		Versionen från 11 juni 2007 kl. 08.50
Rad 26:		Rad 26:
	Exempel 2. Låt $e$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf g}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf g}_2=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_e=(1,0)_g$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $e$- eller $g$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.		Exempel 2. Låt $e$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf g}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf g}_2=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_e=(1,0)_g$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $e$- eller $g$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.

-	Låt oss anta att vi har en bas $e$ och bildar en ny bas $f$, vars vektorer är ${\bf f}_1=a{\bf e}_1+b{\bf e}_2=(a,b)_e, {\bf f}_2=c{\bf e}_1+d{\bf e}_2=(c,d)_e$.	+	Låt oss anta att vi har en bas $e$ och bildar en ny bas $f$, vars vektorer är ${\bf f}_1=a{\bf e}_1+b{\bf e}_2=(a,b)_e$ och ${\bf f}_2=c{\bf e}_1+d{\bf e}_2=(c,d)_e$. För en vektor $\bf v$ får vi då följande relation mellan koordinaterna $(x,y)_f=x{\bf f}_1+y{\bf f}_2=x$