Dag 2 - Versionshistorik

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.55

Vcrispin — Mon, 04 Jun 2007 13:55:54 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.55
Rad 4:		Rad 4:

	''Kommentar''. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).		''Kommentar''. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).
-

	Innan du börjar med Avsnitt 2.2, läs definitionerna i första stycket i Avsnitt 3.1, dvs texten före Exempel 3.1. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.		Innan du börjar med Avsnitt 2.2, läs definitionerna i första stycket i Avsnitt 3.1, dvs texten före Exempel 3.1. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.
-

	För att tillgodogöra dig innehållet i Avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta ''n'' och ''w'' med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$.		För att tillgodogöra dig innehållet i Avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta ''n'' och ''w'' med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$.
Rad 18:		Rad 16:

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.6, 2.9, 2.13 (löses som i Exempel 2.13)	+	* 2.3 [se Exempel 2.6 för att lösa den sista], 2.6, 2.9, 2.13 [löses som i Exempel 2.13]

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 08.32

Vcrispin — Mon, 04 Jun 2007 08:32:31 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 08.32
Rad 1:		Rad 1:
-	== 3.1-3.2 Polynom och algebraiska ekvationer ==	+	== 2 Komplexa tal ==

-	Läs noga framtill Exempel 3.4. Här definieras viktiga begrepp och egenskaper. I Exempel 3.4 divideras polynomet $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-14x+4$ med polynomet $g(x)=x^2+3$. Det är viktigt att först skriva upp polynomen $f(x)$, som skall divideras, och $g(x)$, som man dividerar med, så att termernas gradtal sjunker från vänster till höger. (Tänk på hur du skriver ett vanligt heltal från vänster till höger: siffrornas värde sjunker från vänster till höger, eftersom exempelvis hundratalssiffran har högre värde än tiotalssiffran osv.) Vidare ska man successivt göra sig av högstagradstermerna i $f(x)$, som ska divideras, genom att multiplicera $g(x)$ med lämpligt polynom.	+	För att på ett korrekt sätt förstå alla definitioner och exempel behöver du notationerna från Avsnitt 1.1. Om du redan är bekant med de komplexa talen, kan du börja läsa från Definition 2.5. Räknelagarna som följer efter Exempel 2.6 skall inte memoreras, men du skall kunna bevisa minst två av dem för dig själv. Kanhända är beviset av Sats 2.7 för invecklat, men ansträng dig för att förstå beviset av Följdsats 2.8.

-	I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, som blir början på svaret, kvoten. Produkten blir $x^4+3x^2$, som subtraheras från $f(x)$. Resultatet blir ett tredjegradspolynom, nämligen $-5x^3+x^2-14x+4$. Här måste man multiplicera $g(x)$ med $-5x$ för att göra sig av med högstagradstermen $-5x^3$ osv.	+	''Kommentar''. En synonym i matematisk litteratur för ordet "följdsats" är "korollarium" ("corollary" på engelska).

-	Har du tid och lust, läs gärna igenom beviset av Sats 3.5. Gå igenom Exempel 3.6 noga, eftersom du kommer att arbeta på det sättet i övningar. Lös ekvationen även genom att dividera $x^3-5x^2-x+5$ med $x-1$. Sats 3.7 och Följdsats 3.8 är viktiga byggstenar för arbete med polynom, men du behöver inte läsa igenom bevisen.

-	Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.	+	Innan du börjar med Avsnitt 2.2, läs definitionerna i första stycket i Avsnitt 3.1, dvs texten före Exempel 3.1. Du är van vid att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter och med alla typer av rötter, inklusive de komplexa, medelst kvadratkomplettering eller den så kallade ''pq-formeln''. Formeln fungerar dock inte för komplexa koefficienter, då uttrycket "roten ur ett komplext tal" inte gäller som svar och måste skrivas om till ett (annat) komplext tal. Lösningen blir att man först kvadratkompletterar för att bli av med den linjära termen, dvs termen av grad ett, och därefter löser ekvationen $z^2=w$, där $w=a+ib$ är ett givet komplext tal. Den senare löses såsom visas i Exempel 2.9.

-	Sats 3.10, ej bevis, - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter - med tillhörande Exempel 3.11.

-	Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].	+	För att tillgodogöra dig innehållet i Avsnitt 2.3 behöver du repetera de trigonometriska begreppen och formlerna från gymnasiet, speciellt definitionen av $\cos\theta$ och $\sin\theta$ via enhetscirkeln. Exempel 2.13 kan vara litet väl abstrakt, men du kan ersätta ''n'' och ''w'' med valfria tal, exempelvis $n=3$ och $w=-\frac{1}{\sqrt 2} + i\frac{1}{\sqrt 2}$.

-	Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.	+	''Kommentar''. Beviset av den så kallade '''de Moivres formel''', som lyder: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$, använder ekvationerna (20) och (21): $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \{(21)\} = (e^{i\theta})^n = \{(20)\} = e^{in\theta} = \{(21)\} = \cos n\theta +i\sin n\theta$.


-	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:	+	Gör följande övningar i Avsnitt 2.4 första hand:
-	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.], 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12, 3.14	+	* 2.1, 2.2, 2.7, 2.8, 2.11, 2.12

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 3.9, 3.15, 3.27	+	* 2.3 (se Exempel 2.6 för att lösa den sista), 2.6, 2.9, 2.13 (löses som i Exempel 2.13)

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 15.35

Vcrispin — Thu, 31 May 2007 15:35:44 GMT

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 15.35
Rad 20:		Rad 20:

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 3.9, 3.15	+	* 3.9, 3.15, 3.27

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 15.32

Vcrispin — Thu, 31 May 2007 15:32:56 GMT

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 15.32
Rad 9:		Rad 9:
	Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.		Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.

-	Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11.	+	Sats 3.10, ej bevis, - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter - med tillhörande Exempel 3.11.

	Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].		Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].

-	Sats 3.16 (ej bevis) med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.	+	Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 14.30

Vcrispin — Thu, 31 May 2007 14:30:15 GMT

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.30
Rad 17:		Rad 17:

	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
-	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.], 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12. 3.14,	+	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.], 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12, 3.14

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 3.9, 3.15		* 3.9, 3.15

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 14.29

Vcrispin — Thu, 31 May 2007 14:29:49 GMT

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.29
Rad 17:		Rad 17:

	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
-	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.],	+	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.], 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12. 3.14,
-	3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12. 3.14,	+

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 3.9, 3.15		* 3.9, 3.15

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 14.29

Vcrispin — Thu, 31 May 2007 14:29:29 GMT

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.29
Rad 9:		Rad 9:
	Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.		Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.

-	Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med [[reella]] koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11.	+	Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11.

	Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].		Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 14.28

Vcrispin — Thu, 31 May 2007 14:28:20 GMT

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.28
Rad 17:		Rad 17:

	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
-	* 3.1, 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12. 3.14,	+	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.],
		+	3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12. 3.14,

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.], 3.9	+	* 3.9, 3.15

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 14.27

Vcrispin — Thu, 31 May 2007 14:27:17 GMT

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.27
Rad 9:		Rad 9:
	Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.		Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.

-	Med andra ska du läsa följande:	+	Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med [[reella]] koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11.
-	Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med [[reella]] koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11;	+
-	Definition 3.12 (till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2);	+	Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].
-	Sats 3.16 (ej bevis) med tillhörande Exempel 3.17.	+
		+	Sats 3.16 (ej bevis) med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.


	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
-	* 3.3-3.5, 3.7-3.10, 3.16	+	* 3.1, 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12. 3.14,

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 3.1 ''Ledning''. Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.	+	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.], 3.9
-	3.15	+

Vcrispin den 31 maj 2007 kl. 14.10

Vcrispin — Thu, 31 May 2007 14:10:16 GMT

← Äldre version		Versionen från 31 maj 2007 kl. 14.10
Rad 9:		Rad 9:
	Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.		Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.

-	Med andra ska du läsa följande: Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med [[reella]] koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11, Definition 3.12 (till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2.	+	Med andra ska du läsa följande:
		+	Sats 3.10 (ej bevis) - observera att satsen gäller för polynom med [[reella]] koefficienter, med tillhörande Exempel 3.11;
		+	Definition 3.12 (till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2);
		+	Sats 3.16 (ej bevis) med tillhörande Exempel 3.17.