Dag 23 - Versionshistorik

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 18.33

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 18:33:25 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 18.33
Rad 12:		Rad 12:

	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7. 9.5.9ab	+	* 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7, 9.5.9ab
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 9.5.3e, 9.5.11		* 9.5.3e, 9.5.11

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 18.31

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 18:31:32 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 18.31
Rad 40:		Rad 40:


-		+	Allt som gjordes i förra avsnittet kan generaliseras till en andragradsekvation i tre variabler: man tar hand om den kvadratiska formen med hjälp av diagonalisering, byter till nya variabler och får en ekvation med enbart kvadrater samt eventuellt en linjär term. Den nya ekvationen blir då någon av formerna i rutan efter exempel 2. Försök inte att lära dig namnen på de sex typerna av ytor, utan studera dem genom att sätta en variabel i taget till att vara lika med noll och på det sättet bilda dig en uppfattning om hur ytan bör se ut.


	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 9.7.1	+	* 9.7.1, 9.7.3
-	Har du tid över kan du göra även:	+	Har du tid över kan du göra:
-	* 9.7.5, 9.7.7, 9.7.9	+	* 9.7.7(två valfria), 9.7.9

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 18.11

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 18:11:09 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 18.11
Rad 26:		Rad 26:
	Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.		Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.

-	Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips $\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{l^2}=1$, en hyperbel $\pm\frac{x^2}{k^2}\mp\frac{y^2}{l^2}=1$ eller en parabel $x^2=ky$/$y^2=kx$. Läs texten mellan exempel 4 och exempel 5.	+	Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips $\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{l^2}=1$, en hyperbel $\pm\frac{x^2}{k^2}\mp\frac{y^2}{l^2}=1$ eller en parabel $x^2=ky$ ($y^2=kx$). Dessa kurvor kallas kägelsnitt. Läs texten mellan exempel 4 och exempel 5.
-		+

		+	Får man en ekvation i två variabler som innehåller en kvadratisk form och linjära termer, tar man först hand om den kvadratiska formen och tillämpar sedan det koordinatbyte, som man får från diagonaliseringsprocessen, på de linjära termerna. Sedan är det bara att kontrollera vilken av de tre kägelsnitten man har fått. Ekvationen för kurvan, som innehåller bara kvadrater och eventuellt en linjär term, kallas kurvans ekvation på huvudaxelform. Läs nu noga from exempel 2 och lös övningarna.


	Gör följande övningar i första hand:		Gör följande övningar i första hand:
-	* 9.6.1	+	* 9.6.1abd, 9.6.3, 9.6.5, 9.6.7ade
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 9.6.9, 9.6.11		* 9.6.9, 9.6.11
Rad 38:		Rad 38:

	== 9.7 Kvadratiska ytor ==		== 9.7 Kvadratiska ytor ==
		+
		+
		+

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 17.54

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 17:54:58 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 17.54
Rad 26:		Rad 26:
	Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.		Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.

-	Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips, en hyperbel eller en parabel. Läs texten efter exempel 4.	+	Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips $\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{l^2}=1$, en hyperbel $\pm\frac{x^2}{k^2}\mp\frac{y^2}{l^2}=1$ eller en parabel $x^2=ky$/$y^2=kx$. Läs texten mellan exempel 4 och exempel 5.
		+

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 17.50

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 17:50:27 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 17.50
Rad 26:		Rad 26:
	Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.		Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.

-		+	Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips, en hyperbel eller en parabel. Läs texten efter exempel 4.

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 17.38

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 17:38:43 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 17.38
Rad 20:		Rad 20:


-	I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av rena kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler, om man byte till lämpligt koordinatsystem.	+	I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler, om man byte till lämpligt koordinatsystem. Att enbart ha kvadrattermer utan blandade andragradstermer i en kvadratisk form är bra för att avgöra vilken av de tre typerna av kurvor, som en andragradsekvation representerar.
		+
		+	Exempel. Genom algebraiska manipulationer kan vi få följande kedja av likheter: $2xy=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}-\frac{x^2-2xy+y^2}{2}=\big(\frac{x+y}{\sqrt 2}\big)^2-\big(\frac{x-y}{\sqrt 2}\big)^2$. Genom att införa nya variabler $x'=\frac{x+y}{\sqrt 2}$ och $y'=\frac{x-y}{\sqrt 2}$ får vi därför $2xy=(x')^2-(y')^2$.
		+
		+	Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.
		+
		+

-	Exempel. Genom algebraiska manipulationer kan vi få följande kedja av likheter: $2xy=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}-\frac{x^2-2xy+y^2}{2}=(\frac{x+y}{\sqrt 2})^2-(\frac{x-y}{\sqrt 2})^2$. Genom att införa nya variabler $x'=\frac{x+y}{\sqrt 2}$ och $y'=\frac{x-y}{\sqrt 2}$ får vi $2xy=(x')^2+(y')^2$.

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 16.50

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 16:50:40 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 16.50
Rad 20:		Rad 20:


-	I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av rena kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler.	+	I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av rena kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler, om man byte till lämpligt koordinatsystem.
		+
		+	Exempel. Genom algebraiska manipulationer kan vi få följande kedja av likheter: $2xy=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}-\frac{x^2-2xy+y^2}{2}=(\frac{x+y}{\sqrt 2})^2-(\frac{x-y}{\sqrt 2})^2$. Genom att införa nya variabler $x'=\frac{x+y}{\sqrt 2}$ och $y'=\frac{x-y}{\sqrt 2}$ får vi $2xy=(x')^2+(y')^2$.

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 16.44

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 16:44:30 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 16.44
Rad 18:		Rad 18:

	== 9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt ==		== 9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt ==
		+
		+
		+	I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av rena kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler.

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 16.09

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 16:09:12 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 16.09
Rad 8:		Rad 8:
	Exempel 2: $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$.		Exempel 2: $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$.

-	Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktiligt.	+	Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktligt.

Vcrispin den 13 juni 2007 kl. 15.54

Vcrispin — Wed, 13 Jun 2007 15:54:45 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 15.54
Rad 2:		Rad 2:


-	En kvadratisk form är helt enkelt en summa av termer av grad 2. Exempel 1. $x^2+2xy+y^2$ eller $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$. Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktiligt.	+	En kvadratisk form är helt enkelt en summa av termer av grad 2.
		+
		+	Exempel 1: $x^2+2xy+y^2$.
		+
		+	Exempel 2: $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$.
		+
		+	Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktiligt.