Dag 3 - Versionshistorik

Vcrispin den 6 juni 2007 kl. 15.56

Vcrispin — Wed, 06 Jun 2007 15:56:00 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 15.56
Rad 13:		Rad 13:
	Definition 3.12. Exempel: nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ har multiplicitet 2.		Definition 3.12. Exempel: nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ har multiplicitet 2.

-	Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.	+	Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att ''om'' en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.

Vcrispin den 6 juni 2007 kl. 15.55

Vcrispin — Wed, 06 Jun 2007 15:55:21 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 15.55
Rad 11:		Rad 11:
	Sats 3.10, ej bevis, - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter - med tillhörande Exempel 3.11.		Sats 3.10, ej bevis, - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter - med tillhörande Exempel 3.11.

-	Definition 3.12.Exempel: nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ har multiplicitet 2.	+	Definition 3.12. Exempel: nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ har multiplicitet 2.

	Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.		Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.

Vcrispin den 6 juni 2007 kl. 15.54

Vcrispin — Wed, 06 Jun 2007 15:54:47 GMT

← Äldre version		Versionen från 6 juni 2007 kl. 15.54
Rad 5:		Rad 5:
	I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, som blir början på svaret, kvoten. Produkten blir $x^4+3x^2$, som subtraheras från $f(x)$. Resultatet blir ett tredjegradspolynom, nämligen $-5x^3+x^2-14x+4$. Här måste man multiplicera $g(x)$ med $-5x$ för att göra sig av med högstagradstermen $-5x^3$ osv.		I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, som blir början på svaret, kvoten. Produkten blir $x^4+3x^2$, som subtraheras från $f(x)$. Resultatet blir ett tredjegradspolynom, nämligen $-5x^3+x^2-14x+4$. Här måste man multiplicera $g(x)$ med $-5x$ för att göra sig av med högstagradstermen $-5x^3$ osv.

-	Har du tid och lust, läs gärna igenom beviset av Sats 3.5. Gå igenom Exempel 3.6 noga, eftersom du kommer att arbeta på det sättet i övningar. Lös ekvationen även genom att dividera $x^3-5x^2-x+5$ med $x-1$. Sats 3.7 och Följdsats 3.8 är viktiga byggstenar för arbete med polynom, men du behöver inte läsa igenom bevisen.	+	Har du tid och lust, läs igenom beviset av Sats 3.5. Gå igenom Exempel 3.6 noga, eftersom du kommer att arbeta på det sättet i övningar. Lös ekvationen även genom att dividera $x^3-5x^2-x+5$ med $x-1$. Sats 3.7 och Följdsats 3.8 är viktiga byggstenar för arbete med polynom, men du behöver inte läsa igenom bevisen.

	Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.		Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.58

Vcrispin — Mon, 04 Jun 2007 13:58:01 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.58
Rad 11:		Rad 11:
	Sats 3.10, ej bevis, - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter - med tillhörande Exempel 3.11.		Sats 3.10, ej bevis, - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter - med tillhörande Exempel 3.11.

-	Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].	+	Definition 3.12.Exempel: nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ har multiplicitet 2.

	Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.		Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.
Rad 17:		Rad 17:

	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
-	* 3.1: här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer; exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$; 3.4, 3.7 (Sats 3.10), 3.8, 3.10: här ska du använda Följdsats 3.8, du vet hur högerledet ser ut; 3.11 (enkel tillämpning av Sats 3.10), 3.12, 3.14	+	* 3.1 [här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer; exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$], 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [här ska du använda Följdsats 3.8, du vet ju hur högerledet ser ut], 3.11 [enkel tillämpning av Sats 3.10], 3.12, 3.14

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 3.9, 3.15, 3.27		* 3.9, 3.15, 3.27

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.52

Vcrispin — Mon, 04 Jun 2007 13:52:59 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.52
Rad 17:		Rad 17:

	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
-	* 3.1: här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer; exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$;	+	* 3.1: här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer; exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$; 3.4, 3.7 (Sats 3.10), 3.8, 3.10: här ska du använda Följdsats 3.8, du vet hur högerledet ser ut; 3.11 (enkel tillämpning av Sats 3.10), 3.12, 3.14
-	3.4, 3.7 (Sats 3.10), 3.8,	+
-	3.10: här ska du använda Följdsats 3.8, du vet hur högerledet ser ut;	+
-	3.11 (enkel tillämpning av Sats 3.10), 3.12, 3.14	+

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 3.9, 3.15, 3.27		* 3.9, 3.15, 3.27

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.51

Vcrispin — Mon, 04 Jun 2007 13:51:51 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.51
Rad 18:		Rad 18:
	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
	* 3.1: här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer; exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$;		* 3.1: här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer; exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$;
-	3.4, 3.7 (Sats 3.10), 3.8,	+	3.4, 3.7 (Sats 3.10), 3.8,
-	3.10: här ska du använda Följdsats 3.8, du vet hur högerledet ser ut;	+	3.10: här ska du använda Följdsats 3.8, du vet hur högerledet ser ut;
-	3.11 (enkel tillämpning av Sats 3.10), 3.12, 3.14	+	3.11 (enkel tillämpning av Sats 3.10), 3.12, 3.14

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 3.9, 3.15, 3.27		* 3.9, 3.15, 3.27

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 13.51

Vcrispin — Mon, 04 Jun 2007 13:51:19 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 13.51
Rad 17:		Rad 17:

	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:		Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
-	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.], 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12, 3.14	+	* 3.1: här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer; exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$;
		+	3.4, 3.7 (Sats 3.10), 3.8,
		+	3.10: här ska du använda Följdsats 3.8, du vet hur högerledet ser ut;
		+	3.11 (enkel tillämpning av Sats 3.10), 3.12, 3.14

	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
	* 3.9, 3.15, 3.27		* 3.9, 3.15, 3.27

Vcrispin den 4 juni 2007 kl. 08.33

Vcrispin — Mon, 04 Jun 2007 08:33:02 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 juni 2007 kl. 08.33
Rad 1:		Rad 1:
-	== 1.2 Induktion ==	+	== 3.1-3.2 Polynom och algebraiska ekvationer ==

-	Induktion är ett väldigt kraftfullt bevisverktyg. Innan du börjar läsa, gäller det att repetera summabeteckningen $\sum$ från Dag 1. Du måste ha klart för dig vad bokstäverna $k$ och $n$ står för i första formeln: $k$ är index som varierar från 1 till och med något heltal $n$. Utveckla formeln i exempelt som gås igenom i texten före Lemma 1.5 för litet olika heltal $n$.	+	Läs noga framtill Exempel 3.4. Här definieras viktiga begrepp och egenskaper. I Exempel 3.4 divideras polynomet $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-14x+4$ med polynomet $g(x)=x^2+3$. Det är viktigt att först skriva upp polynomen $f(x)$, som skall divideras, och $g(x)$, som man dividerar med, så att termernas gradtal sjunker från vänster till höger. (Tänk på hur du skriver ett vanligt heltal från vänster till höger: siffrornas värde sjunker från vänster till höger, eftersom exempelvis hundratalssiffran har högre värde än tiotalssiffran osv.) Vidare ska man successivt göra sig av högstagradstermerna i $f(x)$, som ska divideras, genom att multiplicera $g(x)$ med lämpligt polynom.

-	När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.	+	I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, som blir början på svaret, kvoten. Produkten blir $x^4+3x^2$, som subtraheras från $f(x)$. Resultatet blir ett tredjegradspolynom, nämligen $-5x^3+x^2-14x+4$. Här måste man multiplicera $g(x)$ med $-5x$ för att göra sig av med högstagradstermen $-5x^3$ osv.

-	1) Induktionsantagande. Antag att "påståendet" är sant för $n=n_0$ där $n_0$ är något heltal.	+	Har du tid och lust, läs gärna igenom beviset av Sats 3.5. Gå igenom Exempel 3.6 noga, eftersom du kommer att arbeta på det sättet i övningar. Lös ekvationen även genom att dividera $x^3-5x^2-x+5$ med $x-1$. Sats 3.7 och Följdsats 3.8 är viktiga byggstenar för arbete med polynom, men du behöver inte läsa igenom bevisen.

-	2) Induktionssteg. Visa att om "påståendet" är sant för $n$, så följer det att det är sant även för $n+1$. Detta är oftast enbart algebraiska manipulationer för att visa att vänsterledet är lika med högerledet.	+	Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.

-	3) Slutsats. Då är "påståendet" sant för alla heltal $n\geq n_0$.	+	Sats 3.10, ej bevis, - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter - med tillhörande Exempel 3.11.

		+	Definition 3.12 [till exempel har nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ multiplicitet 2].

		+	Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att OM en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.
		+
		+
		+	Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
		+	* 3.1 [Här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer. Exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$.], 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [Här ska du använda Följdsats 3.8: du vet hur högerledet ser ut.], 3.11 [Enkel tillämpning av Sats 3.10.], 3.12, 3.14

-	Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:
-	* 1.1 eller 1.3 [Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.], 1.4 , 1.6, 1.7, 1.12
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	* 1.5 [Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.], 1.9, 1.10, 1.15	+	* 3.9, 3.15, 3.27

Vcrispin den 1 juni 2007 kl. 12.15

Vcrispin — Fri, 01 Jun 2007 12:15:30 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 12.15
Rad 13:		Rad 13:


-	Gör följande övningar i Avsnitt . i första hand:	+	Gör följande övningar i Avsnitt 1.3 i första hand:
-	*	+	* 1.1 eller 1.3 [Vissa av er har sett ett annat bevis av respektive välkänd formel, men här gäller att tillämpa induktion.], 1.4 , 1.6, 1.7, 1.12
	Har du tid över kan du göra även:		Har du tid över kan du göra även:
-	*	+	* 1.5 [Innan du sätter igång med att bevisa andra formeln i 1.5, skriv upp vad uttrycket blir för litet olika värden på $n$.], 1.9, 1.10, 1.15

Vcrispin den 1 juni 2007 kl. 11.46

Vcrispin — Fri, 01 Jun 2007 11:46:16 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 11.46
Rad 5:		Rad 5:
	När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.		När du utför ett induktionsbevis, var noga med formaliteten. Det kan därför vara bra att alltid skriva följande ramsa.

-	1) Antag att "påståendet" är sant för $n=n_0$ där $n_0$ är något heltal. [Induktionsantagande.]	+	1) Induktionsantagande. Antag att "påståendet" är sant för $n=n_0$ där $n_0$ är något heltal.
-	2) Visa att om "påståendet" är sant för $n$, så följer det att det är sant även för $n+1$. [Induktionssteg, som oftast enbart består av algebraiska manipulationer för att visa att vänsterledet är lika med högerledet.]	+
		+	2) Induktionssteg. Visa att om "påståendet" är sant för $n$, så följer det att det är sant även för $n+1$. Detta är oftast enbart algebraiska manipulationer för att visa att vänsterledet är lika med högerledet.
		+
		+	3) Slutsats. Då är "påståendet" sant för alla heltal $n\geq n_0$.
		+