Linjär algebra - Nya sidor [sv]

Exempellösningar

2007-07-25T11:52:20Z

Sammanfattning:

[[Huvudsida|Tillbaka till huvudsidan.]]

'''Som mentor/lärare så blir man ibland tvungen att lösa tal i kursboken, då flitiga elever frågar på dessa. Dessa lösningar är ju synd och skam att sitta och gömma, så här hamnar de.'''

==Uppgift 8.2.7b==

Finn en bas till ''kernel'' (nollrummet) till avbildningen från $\mathbb{R^4}\rightarrow \mathbb{R^3}$, som ges av $(x_1,x_2,x_3,x_4) \rightarrow (4x_1+x_2-2x_3-3x_4,2x_1+x_2+x_3-4x_4,6x_1-9x_3+9x_4)$.

==Lösning==

Vi ställer upp matrisen för avbildningen;

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 & -4 \\ 6 & 0 & -9 & 9 \\ \end{pmatrix}$

Vi vill finna en bas för det vektorrum av vektorer $\mathbf{x}$ som uppfyller $A\mathbf{x} = 0$.

Vi löser då ekvationssystemet, och då "högerledet" är 0, så utesluts detta för enkelhets skull.

'''Gausselimination ger då '''

$\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 & -4 \\ 6 & 0 & -9 & 9 \\ \end{pmatrix}$
$\quad \Rightarrow \quad$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Låt oss då kalla $x_3=t$. Detta ger oss då att $\mathbf{x} = (3t/2,-4t,t,0)$. (Här är det dags att kontrollera att alla dessa vektorer verkligen avbildas på $\mathbf{0}$).

Rummet som avbildas på $\mathbf{0}$ är altså endimensionellt och spänns upp av $(3,-8,2,0)$ till exempel.

Lank kursplanering

2007-07-10T10:12:21Z

Sammanfattning: Ny sida: ==Kursplanering== Kursplaneringen återfinns i samma plattform som diagnoserna, klicka på länken '''Kursplanering & diagnoser''' i Student Lounge. Under varje dag finns en kryssruta fö...

==Kursplanering==

Kursplaneringen återfinns i samma plattform som diagnoserna, klicka på länken '''Kursplanering & diagnoser''' i Student Lounge.

Under varje dag finns en kryssruta för att ange om du anser dig klar med dagens beting. Dina noteringar här styr påminnelsemeddelanden och den gröna skalan i Student Lounge.

Lärandemål för moment 5

2007-06-11T10:46:37Z

Sammanfattning:

* Diagonalisering:
** definiera och använda definitionen till att framförallt räkna ut egenvärden till en matris
** definiera och använda definitionen till att framförallt hitta egenvektorer till en matris
** känna till stegen när man kan avgöra om en matris är diagonaliserbar
* Linjära avbildningar:
** känna till (matriser för) några grundläggande linjära avbildningar
** ange nollrummet och värderummet för en given linjär avbildning
** avgöra när en linjär avbildning är inverterbar och ange dess invers
** givet matrisen för en linjär avbildning i en bas, hitta avbildningsmatrisen i en ny bas
* Kvadratiska former:
** känna till de tre kägelsnitten
** omvandla ett andragradsuttryck i två eller tre variabler till huvudaxelform

Lärandemål för moment 4

2007-06-11T10:32:02Z

Sammanfattning:

* Avgöra om en uppsättning av vektorer är linjärt beoroende samt om de utgör en bas för ett givet vektorrum
* Kolonnrum och radum av en matris:
** räkna ut minimal generatormängd för nollrumet och värderummet av en matris
** använda dimensionssatsen för att bestämma dimension för nollrummet eller värderummet av en matris
* Inre produkt:
** känna till egenskaperna hos en inre produkt
** avgöra om en operation mellan två vektorer ger upphov till en inre produkt
** känna till icke-triviala, dvs andra än skalärprodukten i $R^n$, exempel på inre produkt
* Baser:
** avgöra om en given bas är ortonormal
** använda Gram-Schmidt-processen för att hitta en ON-bas för giver (del)rum i $R^n$
** hitta basbytesmatriser för två givna baser och använda dessa för koordinatbyte
** räkna med ortogonala matriser
* Använda minstakvadratmetoden för att hitta approximativ lösning till ett givet linjärt ekvationssystem

Svar till 6.6.8

2007-06-11T10:09:35Z

Sammanfattning: Ny sida: Svar: $(-1,2,5)_u=(\frac{1}{\sqrt 2}, \frac{3}{\sqrt 2}, 5)_{u'}$ och $(1,6,-3)_{u'}=(\frac{-5}{\sqrt 2}, \frac{7}{\sqrt 2}, -3)_{u'}$.

Svar: $(-1,2,5)_u=(\frac{1}{\sqrt 2}, \frac{3}{\sqrt 2}, 5)_{u'}$ och $(1,6,-3)_{u'}=(\frac{-5}{\sqrt 2}, \frac{7}{\sqrt 2}, -3)_{u'}$.

Lösning av uppgift 8.3.16

2007-06-11T09:42:01Z

Sammanfattning: Ny sida: 8.3.16 Bevisa att om $V$ och $W$ är ändligdimensionella vektorrum med $dim W < dim V$ så finns ingen injektiv linjär avbildning $T: V \rightarrow W$. Enligt dimensionssatsen är $dim V...

8.3.16 Bevisa att om $V$ och $W$ är ändligdimensionella vektorrum med $dim W < dim V$ så finns ingen injektiv linjär avbildning $T: V \rightarrow W$.

Enligt dimensionssatsen är $dim V$ summan av dimensionerna av $T$'s nollrum och värderum. Värderummet är delrum till $W$ och har därför högst dimension $dim W$. Nollrumet har dimension noll då $T$ är injektiv. Detta ger $dim V \leq dim W$, vilket motsäger antagandet $dim W < dim V$.

Svar till 6.5.4

2007-06-11T09:40:38Z

Sammanfattning: Ny sida: Svar: (-1, 1, -1, 3).

Svar: (-1, 1, -1, 3).

Svar på övningar i avsnitt 8.1

2007-06-11T07:38:13Z

Sammanfattning:

8.1.1 Visa att $T(x_1,x_2)=(x_1+2x_2,3x_1-x_2)$ är linjär.

Låt $u=(x_1,x_2)$ och $v=(y_1,y_2)$. Då $T(u+v)=T(x_1+y_1,x_2+y_2)=(x_1+y_1+2(x_2+y_2),3(x_1+y_1)-(x_2+y_2))=(x_1+y_1+2x_2+2y_2,3x_1+3y_1-x_2-y_2))$ och $T(u)+T(v)=(x_1+2x_2,3x_1-x_2)+(y_1+2y_2,3y_1-y_2)=(x_1+y_1+2x_2+2y_2,3x_1+3y_1-x_2-y_2))$ vilket visar första egenskapen i definitionen av linjäritet.

Vi har också att $T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\alpha x_2)=(\alpha x_1+2 \alpha x_2,3 \alpha x_1-\alpha x_2)=\alpha(x_1+2x_2,3x_1-x_2)= \alpha T(u)$, vilket visar den andra egenskapen.

8.1.2 Görs på precis samma sätt som 8.1.1.

8.1.4 Detta är en direkt konsekvens av egenskaperna c och d hos vektorprodukten i sats 3.4.2.

8.1.16 $(-10,-7,6)$.

Dag 23

2007-06-11T07:04:07Z

Sammanfattning:

== 9.5 Kvadratiska former ==

En kvadratisk form är helt enkelt en summa av termer av grad 2.

Exempel 1: $x^2+2xy+y^2$.

Exempel 2: $2xz+\pi yw-\sqrt 2 xw$.

Det intressanta är att varje kvadratisk form kan skriva på matrisform ${\bf x}^TA{\bf x}$, där ${\bf x}^T$ är en radvektor vars element är de förekommande variablerna och $A$ är en symmetrisk matris. Som det har visats i avsnitt 7.3 är alla symmetriska matriser diagonaliserbara. Detta ska vi arbeta med i de två nästföljande avsnitten. Här ska man mest träna på skriva kvadratiska former på matrisform samt avgöra typen av en kvadratisk form: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit. Sats 9.5.1 läses översiktligt.

Gör följande övningar i första hand:
* 9.5.1, 9.5.3acd, 9.5.7, 9.5.9ab
Har du tid över kan du göra även:
* 9.5.3e, 9.5.11

== 9.6 Diagonalisering av kvadratiska former, kägelsnitt ==

I detta avsnitt studerar vi det högst intressanta faktum att varje kvadratisk form kan skrivas om till summor av kvadrater, dvs utan termer som är produkter av två olika variabler, om man byte till lämpligt koordinatsystem. Att enbart ha kvadrattermer utan blandade andragradstermer i en kvadratisk form är bra för att avgöra vilken av de tre typerna av kurvor, som en andragradsekvation representerar.

Exempel. Genom algebraiska manipulationer kan vi få följande kedja av likheter: $2xy=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}-\frac{x^2-2xy+y^2}{2}=\big(\frac{x+y}{\sqrt 2}\big)^2-\big(\frac{x-y}{\sqrt 2}\big)^2$. Genom att införa nya variabler $x'=\frac{x+y}{\sqrt 2}$ och $y'=\frac{x-y}{\sqrt 2}$ får vi därför $2xy=(x')^2-(y')^2$.

Omvandlingen ovan gjordes med hjälp av ett klurigt trick. En sådan omvandling görs allmänt med hjälp av diagonaliseringsprocessen. Varje kvadratisk form representeras av en symmetrisk matris och sådana är diagonaliserbara, tom diagonaliserbara med ortogonala egenvektorer. Ett första är att omvandla en kvadratisk form till summa av kvadrater. Läs och begrunda texten tom exempel 1. Räkna därefter övningen 9.6.1.

Varför bemöda sig om detta? Jo, när man skär ett plan med tom kägla(=två hopsatta koner i detta fall) kan man få tre typer av kurva: en ellips $\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{l^2}=1$, en hyperbel $\pm\frac{x^2}{k^2}\mp\frac{y^2}{l^2}=1$ eller en parabel $x^2=ky$ ($y^2=kx$). Dessa kurvor kallas kägelsnitt. Läs texten mellan exempel 4 och exempel 5.

Får man en ekvation i två variabler som innehåller en kvadratisk form och linjära termer, tar man först hand om den kvadratiska formen och tillämpar sedan det koordinatbyte, som man får från diagonaliseringsprocessen, på de linjära termerna. Sedan är det bara att kontrollera vilken av de tre kägelsnitten man har fått. Ekvationen för kurvan, som innehåller bara kvadrater och eventuellt en linjär term, kallas kurvans ekvation på huvudaxelform. Läs nu noga from exempel 2 och lös övningarna.

Gör följande övningar i första hand:
* 9.6.1abd, 9.6.3, 9.6.5, 9.6.7ade
Har du tid över kan du göra även:
* 9.6.9, 9.6.11

== 9.7 Kvadratiska ytor ==

Allt som gjordes i förra avsnittet kan generaliseras till en andragradsekvation i tre variabler: man tar hand om den kvadratiska formen med hjälp av diagonalisering, byter till nya variabler och får en ekvation med enbart kvadrater samt eventuellt en linjär term. Den nya ekvationen blir då någon av formerna i rutan efter exempel 2. Försök inte att lära dig namnen på de sex typerna av ytor, utan studera dem genom att sätta en variabel i taget till att vara lika med noll och på det sättet bilda dig en uppfattning om hur ytan bör se ut.

Gör följande övningar i första hand:
* 9.7.1, 9.7.3
Har du tid över kan du göra:
* 9.7.7(två valfria), 9.7.9

Dag 22

2007-06-11T07:01:35Z

Sammanfattning:

== 8.4 Avbildningsmatriser ==

Vi skall i detta avsnitt se hur varje linjära avbildning mellan två ändligdimensionella vektorrum $V$ och $W$ kan beskrivas med matris. Tricket är att fixera en bas i vardera vektorrummet så att man sedan kan arbeta med koordinatvektorer istället för de ursprungliga vektorerna. Då kan man ta fram en matris som sådan att om $T: V \rightarrow W$ är en linjär avbildning så fås koordinatvektorn för $T(v)$ genom att mulitplicera koordinatvektorn för $v$ med matrisen. Observera att hur matrisen ser ut beror på vilka baser man har valt. Detta är mycket viktigt att hålla i minnet då man arbetar med linjära avbildningar. Mer om det senare, först skall vi ta reda på hur matrisen ser ut.

Låt $T: V \rightarrow W$ vara en linjär avbildning, $B$ en bas i $V$ och $B'$ en bas i $W$. Om $[v]_B$ betecknar koordinatvektorn för $v$ i basen $B$ (repetera övre halvan av sidan 253 om du är det minsta osäker på vad som menas med detta!) så söker vi en matris $A$ sådan att

$A[v]_B=[T(v)]_{B'}$

Om vi stoppar basvektorerna nummer $k$ från basen $B$ i detta samband ser vi att kolumn $k$ i $A$ måste bestå av $B'$-koordinaterna för bilden av denna basvektor. Du kan läsa en utförligare version av detta viktiga resonemang i boken. Matrisen $A$ betcknas i boken med $[T]_{B',B}$, eftersom man måste ange vilka baser man arbetar med för att matrisen skall ge en beskrivning av avbildningen $T$. Observara att om $B$ och $B'$ är standardbaserna i $V=R^n$ respektive $W=R^m$ så är $[T]_{B',B}$ ingenting annat än standardmatrisen för $T$.

Läs nu igenom avsnittet i kursboken. Det är viktigt att du förstått det ordentligt och lyckats lösa övningsuppgifterna innan du går vidare till nästa avsnitt som bygger vidare på detta.

Gör följande övningar i första hand:
* 8.4.1, 8.4.5, 8.4.9
Har du tid över kan du göra även:
* 8.4.16

Svar till sista uppgiften finner du [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap8.pdf här].

== 8.5 Similaritet ==

Innan du tar itu med detta avsnitt kan det vara bra att repetera basbyten (avsnitt 6.5).

Som vi sett tidigare i kapitel 8 så kan vi om vi fixerar en bas i ett vektorrum $V$ sedan beskriva alla linjära avbildningar från $V$ till $V$ med matriser. Hur matrisen för en viss linjär transformation ser ut beror på valet av bas, så vissa baser kan ge enklare matriser än andra för en given avbildning. (Se exemplet på sidan 430.) Frågan är då vilka val av baser som gör avbildningsmatrisen så enkel som möjligt. För att svara på det behöver man först utreda hur matriserna i två olika baser är relaterade till varandra. I avsnitt 6.5 lärde vi oss att för varje vektor $u$ är $[u]_B=P[u]_{B'}$ där $P$ är den matris vars kolumner är koordinaterna för vektorerna i $B'$ i basen $B$. (Sätt $u$ lika med någon vektor i $B'$ för att övertyga dig om detta.) Kombinerar vi detta med att $[T(v)]_{B'}=[T]_{B'}[v]_{B'}$ och $[T(v)]_{B}=[T]_{B}[v]_{B}$ (från definitionen av $[T]_{B'}$ respektive $[T]_B$) så får vi

$P[T]_{B'}[v]_{B'}=P[T(v)]_{B'}=[T(v)]_B=[T]_B[v]_B=[T]_BP[v]_{B'}$
$\Leftrightarrow [T]_{B'}=P^{-1}[T]_BP$

Ekvivalensen beror på att det då det övre sambandet gäller för alla vektorer $[v]_{B'}$ så måste matriserna vara lika samt att då $P$ är basbytesmatris är $P$ garanterat inverterbar så vi kan multiplicera sambandet med $P^{-1}$ från vänster.

Man säger att matriserna $[T]_{B'}$ och $[T]_B$ är similära. (Se definitionen på sidan 433.) Matriser som är similära kan man alltså tänka på som matriser som beskriver en och samma linjära avbildning fast i olika val av bas. På grund av detta har similära matriser ett antal viktiga egenskaper gemensamma. Några av dessa listas på sidan 434. Detta är alltså egenskaper som hör till avbildningen i sig och är oberoende av valet av bas. Man kan därför tala om en linjär avbildnings egenvärden, spår, egenrum etcetera. Resten av avsnitt 8.5 består av några viktiga exempel som det lönar sig att studera nogrant. Gör det så är du sedan väl rustad för att lösa uppgifter.

Gör följande övningar i första hand:
* 8.5.5, 8.5.7 och 8.4.12a

Svar finner du i facit och [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap8.pdf här].

Dag 21

2007-06-11T06:55:51Z

Sammanfattning:

== 8.1 Linjära avbildningar mellan vektorrum ==

Vi har tidigare sett på linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$. I detta kapitel skall vi se på linjära avbildningar mellan två godtyckliga vektorrum. Vad gäller linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$ definierade vi dem som avbildningar som kan beskrivas som multiplikation med en $m \times n$-matris. Sedan såg vi (sats 4.3.2) att detta är ekvivalent med att avbildningen $T$ har de två egenskaperna

$T(u+v)=T(u)+T(v)$ och $T(\alpha u)=\alpha T(u)$, för alla vektorer $u,v$ och alla reella tal $\alpha$.

För $T:V \rightarrow W$ där $V$ och $W$ är godtyckliga vektorrum tar vi de två egenskaperna ovan som definition på av att avbildningen $T$ är linjär. Läs igenom 8.1 fram till sats 8.1.1 så får du en rad viktiga exempel på linjära avbildningar och hur man kan arbeta med definitionen för att se om en avbildning är linjär. (Du kan dock hoppa över exempel 11-12 om du vill.) Sats 8.1.1 innehåller några egenskaper som linjära avbildningar. Särskilt den första, att nollvektorn alltid avbildas på nollvektorn, kan vara användbar om man vill visa att en avbildning ''inte'' är linjär.

Det som står från mitten på sidan 395 med tillhörande exempel 14 är mycket viktigt. Här visas att en linjär avbildning $T:V \rightarrow W$ är helt bestämd av $T(e_1), T(e_2), \ldots , T(e_n)$ där $e_1, e_2, \ldots , e_n$ är någon bas för $V$.

Resten av 8.1 handlar om sammansättning av linjära avbildningar. Det viktigaste är sats 8.1.2, att sammansättningen av två linjära avbildningar blir linjär. Lär dig beviset, det är inte svårt om man förstått vad linjär betyder.

Gör följande övningar i första hand:
* 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3, 8.1.4, 8.1.9 och 8.1.16

Det svar som inte finns i facit har du på länken [[svar på övningar i avsnitt 8.1]]

== 8.2 Noll- och värderum ==

De olika begrepp som vi tidigare använt för att beskriva linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$ kan även användas för godtyckliga linjära avbidlningar. Om $T: V \rightarrow W$ är en linjär avbildning så består dess nollrum (kernel på engelska) av alla vektorer i $V$ som avbildas på noll. $T$'s värderum (range på engelska) består av alla vektorer i $w \in W$ sådana att $w=T(v)$ för minst en vektor $v$ i $V$. Mad andra ord består värderummet av alla vektorer "som kommer ut ur" avbildningen. I boken visas att nollrummet är ett delrum av $V$ och att värderummet är ett delrum av $W$. Läs särskilt noga de två sista sidorna i avsnitt 8.2 som handlar om noll- och värderummets dimensioner och dimensionssatsen (sats 8.2.3) som är en av höjdpunkterna i grundläggande linjär algebra. Beviset för dimensionssatsen är kanske lite svårt, men har du möjlighet och lust är det väl värt tiden det tar att förstå det.
Gör följande övningar i första hand:
* 8.2.3, 8.2.3, 8.2.7, 8.2.17, 8.2.21

== 8.3 Inversa linjära avbildningar ==

En linjär avbildning $T:V \rightarrow W$ kallas injektiv (one-to-one eller injective på engelska) om vi alltid har $T(u) \neq T(v)$ ifall $u \neq v$. Ett annat sätt att uttrycka det är att om man stoppar in två olika vektorer i $T$ får man också ut två olika vektorer. Man kan relativt enkelt visa att $T$ är injektiv om och endast om $T$'s nollrum består av endast nollvektorn. (sats 8.3.1) (Anmärkning: Man säger ibland att nollrummet är trivialt om det består av endast nollvektorn.) Från dimensionssatsen följer sedan i fallet $W=V$, det vill säga då $T$ är en avbildning från ett rum till samma rum, att $T$ är injektiv om och endast om $T$'s värderum är hela $V$. (sats 8.3.2).

Anledningen till att man intresserar sig för injektiva avbildningar (linjära eller andra) är att det ligger i sakens natur att det är just dessa avbildningar som har invers. Om två olika vektorer aldrig avbildas på samma vektor är det möjligt att gå baklänges: Till varje vektor $w$ i $T$'s värderum (Obs! bara i värderummet som inte alltid är hela $W$.) finns precis en vektor $v \in V$ sådan att $T(v)=w$. Detta ger en invers avbildning $T^{-1}: R(T) \rightarrow V$. ($R(T)$ är boken beteckning för värderummet till $T$.)

För matrisavbildningar från $R^n$ till $R^n$ får man, som vi tidigare sett, inversa avbildningen genom att invertera matrisen. (Se exempel 7). Glöm inte heller att en geometrisk tolkning av den avbildning matrisen beskriver ibland gör att man direkt inser vad inversen skall vara. Inversen skall "ta ut" ursprungsavbildningen. Om $T$ är vridning $17$ radianer kring $z$-axeln moturs sett från axelns spets, så är $T{-1}$ vridning $17$ radianer kring $z$-axeln medurs sett från axelns spets. Ett exempel på att hitta invers utan att använda vare sig matrisinvertering eller geometrisk tolkning kan du läsa om i exempel 6. Dock skall vi se i nästa avsnitt att varje linjär avbildning faktiskt kan beskrivas med matris så det är viktigast att kunna metoden i exempel 7. Läs nu hela avsnitt 8.3 och arbeta med uppgifterna.

Gör följande övningar i första hand:
* 8.3.1, 8.3.3
Har du tid över kan du göra även:
* 8.3.16

Till den sista finns [[Lösning av uppgift 8.3.16]].

Dag 18

2007-06-10T09:56:06Z

Sammanfattning:

== 6.4 Minstakvadratmetoden ==

Givet ett linjärt ekvationssystem $A\bf x=b$ kan det hända att systemet saknar en lösning ${\bf x}=(x_1,\ldots ,x_n)$, men man kan vara intresserad av att hitta en approximativ lösning. Vad för sorts approximation man är ute efter är inte entydigt, eftersom man kan vara intresserad av att de absoluta felen i varje $x_i$ skall vara så små som möjligt eller att summan av felen skall minimeras eller $\ldots$ eller $\ldots$. Låt $\bf x'$ vara den approximativa lösningen och $A\bf x'=b'$. I detta avsnitt behandlar vi minstakvadratmetoden, där normen av vektorn $\bf b-b'$ skall minimieras.

Algoritmen är enkel:
(1) Kontrollera om $A\bf x=b$ har en exakt lösning
(2) Om inte, bilda normalekvationen $A^T A{\bf x}=A^T{\bf b}$
(3) Lösningen till normalekvationen ger den approximativa lösningen till ursprungssystemet $A\bf x=b$.

Varför algoritmen fungerar förklaras bäst med hjälp av bilder, varför vi hänvisar till läroboken. Läs tom exempel 2 och hoppas över resten, utom möjligen sats 6.4.5, som kompletterar ytterligare vår lista över egenskaper, som vi har samlat på oss sedan sats 1.5.3.

Gör följande övningar i första hand:
* 6.4.1, 6.4.3
Har du tid över kan du göra även:
* 6.4.5

== 6.5 Basbyte ==

Exempel 1. Låt ${\bf u}_1=(1,0), {\bf u}_2=(0,1)$ vara en bas för $R^2$. Låt vidare ${\bf u'}_1=(1,2), {\bf u'}_2=(0,2)$ vara en ny bas för $R^2$. Om en vektor $\bf v$ har koordinaterna ${\bf v}=(1,1)_u$ i $e$-basen, kommer dess koordinater att vara $(1, -\frac{1}{2})_{u'}$ i den nya basen. Övertyga dig själv om detta genom att beräkna och rita. Observera att $\bf v$:s norm i $u$-basen är $\sqrt 2$, men den är $\frac{3}{2}$ i $u'$-basen.

Exempel 2. Låt $u$-basen vara som i förra exemplet, men ${\bf u'}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1), {\bf u'}_2=\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ vara den nya basen. Då blir $\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)_u=(1,0)_{u'}$. Observera att eftersom $v$-basen är ortonormal, kommer en vektors norm att vara densamma oavsett om man räkna med dess koordinater i $u$- eller $u'$-basen. Räknemässigt är det litet knöligt att bevisa, men en första intuitiva förståelse för detta faktum är möjlig att få, om man föreställer vektorerna geometriskt i ett plan eller i rummet.

Antag nu att man vet vad vaktorerna i nya basen $u'$ har för koordinater i gamla basen $u$. Antag vidare att man känner till koordinaterna för en vektor $\bf v$ i nya basen. Om man skriver koordinaterna som en kolonnvektor, vore det väldigt behändigt att ha en matris, en basbytesmatris ("transition" på engelska), att multiplicera med från vänster med denna kolonnvektor och få koordinaterna för $\bf v$ i gamla basen $u$. Detta handlar avsnittet om.

Givet ${\bf u'}_1=(a,b)_u$ och ${\bf u'}_2=(c,d)_u$, får man utan att tänka att $(1,0)_{u'}=(a,b)_u$ respektive $(0,1)_{u'}=(c,d)_u$. Skriver vi vektorerna på kolonnform, ger detta oss direkt att basbytesmatrisen måste vara $A= \left( \begin{array}{c|c} a & c \\ b & d \end{array} \right)$ för att det ska stämma multiplikationsmässigt.

En viktig egenskap som följer är att basbytesmatriser är inverterbara. Det är klart, att växla mellan olika koordinat"namn" på en och samma vektor motsvaras av multiplikation med en basbytesmatris. Om man byter koordinater från bas $u'$ till bas $u$ med hjälp av multiplikation med matris $P$, så måste bytet från bas $u$ till bas $u'$ motsvaras av multiplikation med matris $P^{-1}$.

Läs igenom hela avsnittet och hoppa inte över något.

Gör följande övningar i första hand:
* 6.5.1, 6.5.3, 6.5.4 [[svar till 6.5.4]], 6.5.5
Har du tid över kan du göra även:
* 6.5.7, 6.5.9

== 6.6 Ortogonala matriser ==

Tack vare förra avsnittet kan vi nu betrakta en särskild klass av matriser, nämligen de som är inverterbara, som basbytesmatriser. Basbyteesmatriser mellan ON-baser är särskild intressanta, eftersom det är trevligt och bekvämt att arbeta med ON-baser, och uppfyller en rad egenskaper. Om detta handlar det aktuella avsnittet.

Gör följande övningar i första hand:
* 6.6.1, 6.6.3, 6.6.8 [ [[svar till 6.6.8]] ]
Har du tid över kan du göra även:
* 6.6.13, 6.6.15

Svar till de jämna övningarna i 6.3

2007-06-10T09:46:45Z

Sammanfattning: Ny sida: == 6.3.2 == Bara vektoruppsättningen i (b) är ortonormal. == 6.3.4 == De ortogonala vektoruppsättningarna är även de ortonormala, dvs (b) och (d).

== 6.3.2 ==

Bara vektoruppsättningen i (b) är ortonormal.

== 6.3.4 ==

De ortogonala vektoruppsättningarna är även de ortonormala, dvs (b) och (d).

Dag 17

2007-06-09T18:29:34Z

Sammanfattning:

== 6.3 ON-baser, Gram-Schmidt-processen ==

En vektor med norm 1 kallas normerad. Varje vektor kan normeras genom operationen $\frac{ {\bf v} }{\vert\vert{\bf v}\vert\vert}$. En ortonormal(=ortogonal+normerad) uppsättning av vektorer betyder att varje vektor i mängden har norm 1 och varje par av vektorer är ortogonala mot varandra. Det är bra att hitta en ortonormerad bas, ON-bas, för ett vektorrum, eftersom en sådan underlättar beräkningar i vektorrummet (se stast 6.3.1 och sats 6.3.2). Läs nu tom sats 6.3.4. Varje ändligtdimensionellt vektorrum med en inre produkt har en ON-bas (sats 6.3.6). Beviset av satsen är själva processen att skapa en ON-bas, och denna kallas Gram-Schmidt-processen (se exempel 7).

Exempel i 2 dimensioner. Låt två vektorer ${\bf u}, {\bf v}$ generera ett plan. Man kan skapa en ON-bas $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ för detta plan genom att först normera ${\bf u}$ och låta ${\bf e}_1=\frac{ {\bf u} }{\vert\vert{\bf u}\vert\vert}$. Därefter projicerar man ${\bf v}$ på ${\bf e}_1$ och får ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }=({\bf e}_1\cdot {\bf v}) {\bf e}_1$. (Notera att skalärprodukten inom parantesen är ett tal.) Observera att nämnaren i projektionsformeln är 1 ty ${\bf e}_1$ är normerad. Vad har vi då fått? Jo, ${\bf v}={\bf v}_{ {\bf e}_1 }+ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$, där de två termerna är ortogonala mot varandra. Vi är nästan framme. Eftersom ${\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}$ är ortogonal mot ${\bf e}_1$, ska vi nu normera denna och låta ${\bf e}_2={\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp} / \vert\vert{ {\bf v}_{ {\bf e}_1 }^{\perp}}\vert\vert$. Nu är vi klara.

Exempel i tre dimensioner. Betrakta ${\bf u}, {\bf v}, {\bf w}$. Börja med att upprepa processen från förra exemplet och vi får uppsättningen ${\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf w}$. Nu vill vi hitta en vektor som är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$. (Vektorprodukt är bra i $R^3$, men tänk om vi arbetar med ett abstrakt vektorrum eller i högre dimension!) Projicera $\bf w$ mot respektive ON-vektor och vi får ${\bf w}_{ {\bf e}_1 }, {\bf w}_{ {\bf e}_2 }$. Vanlig hederlig vektoraddition ger oss vidare ${\bf w}^{\perp} ={\bf w}- {\bf w}_{ {\bf e}_1 }-{\bf w}_{ {\bf e}_2 }$, där ${\bf w}^{\perp}$ är ortogonal mot både ${\bf e}_1$ och ${\bf e}_2$, precis den vektor vi var ute efter. Genom att normera ${\bf w}^{\perp}$ får vi vår tredje basvektor ${\bf e}_3={\bf w}^{\perp} / \vert\vert{ {\bf w}^{\perp}}\vert\vert$ och vår ON-bas är komplett!

Du kan hoppa över texten efter exempel 7.

Gör följande övningar i första hand:
* 6.3.1-4, 6.3.9, 6.1.17a [ [[svar till de jämna övningarna i 6.3]] ]
Har du tid över kan du göra även:
* 6.3.13, 6.1.17b, 6.1.19

Svar till 6.2.2

2007-06-09T18:24:01Z

Sammanfattning: Ny sida: Svaret är NEJ!

Svaret är NEJ!

Dag 16

2007-06-09T18:13:39Z

Sammanfattning:

== 6.1 Inreproduktrum ==

Skalärprodukten från moment 3 är en operation, som till ett par vektorer i $R^n$ tilldelar ett reellt tal. Definitionen leder till ett antal egenskaper, se sats 3.3.2. Man kan istället utgå från egenskaperna och hitta på andra operationer, som till ett par vektorer i ett reellt vektorrum (inte nödvändigtvis $R^n$) tilldelar ett reellt tal. En sådan operation kallas ''inre produkt''. Ett reellt vektorrum tillsammans med en inre produkt kallas (föga förvånande) ett reellt ''inreproduktrum''. Som du minns kan man definiera längden av en vektor, liksom vinkeln och avståndet mellan två vektorer i $R^2$ och $R^3$ med hjälp av skalärprodukt. På samma sätt definieras normen (eller absolutbeloppet) av en vektor, $\vert\vert {\bf v}\vert\vert$ respektive vinkeln och avståndet mellan två vektorer i ett allmänt vektorrum. Läs nu noga tom exempel 8. De två nästföljande exemplen är mycket intressanta, men du kan hoppa över dessa, dock inte sats 6.1.1 och exempel 11.

Gör följande övningar i första hand:
* 6.1.3, 6.1.9
Har du tid över kan du göra även:
* 6.1.5, 6.1.7, 6.1.23

== 6.2 Vinklar och ortogonalitet ==

Här definieras vinkeln och avståndet, $d(\bf u,v)$ mellan två givna vektorer. Eftersom definitionerna använder inre produkt, blir vinkeln och/eller avståndet olika beroende på vilken inre produkt man använder. Motsvarigheten till rät vinkel i $R^2$ och $R^3$ heter "ortogonal" vinkel i allmänna vektorrum.

Avsnitten 6.1 och 6.2 är viktiga för förståelsen av hur man gör saker abstrakta i matematik: man väljer ut egenskaper, som finns hos objekt i naturen, och utgår sedan ifrån enbart egenskaperna för att finna nya objekt att arbeta med. Den teori som man bygger upp kan man sedan tillämpa på nya saker i naturen. "I matematik gör man saker svårare för att sedan göra dem lättare". (Mikael Passare, professor i matematik)

Beviset av sats 6.2.1 kan vara svårt att läsa, men är en mycket bra träning i att sätta sig i det matematiska tänkandet. Läs nu noga tom sats 6.2.5, men du får läsa översiktligt resten av avsnittet.

Gör följande övningar i första hand:
* 6.2.1abcd, 6.2.2 [ [[svar till 6.2.2]] ], 6.2.3, 6.2.7
Har du tid över kan du göra även:
* 6.2.9, 6.2.15

Lärandemål för moment 3

2007-06-09T17:22:48Z

Sammanfattning:

* Vektorer i $R^2$ och $R^3$:
** behärska grundläggande operationer såsom vektoraddition, multiplikation med skalär, skalärprodukt, norm (absolutbelopp), vektorprodukt, projektion
** kunna skrivsätten för linjens och planets ekvation samt tolka koefficienterna i form av parallella och vinkelräta vektorer
** lösa enklare geometriska problem innehållande plan/linjer som skär varandra, är parallella/vilnkelräta etc
* Räkna med vektorer i $R^n$
* Linjära avbildningar:
** känna till egenskaper hos linjära avbildningar och avbildningamatriser
** hitta avbildningsmatriser för enklare linjära avbildningar $R^2\rightarrow R^2$ och $R^3\rightarrow R^3$
* Känna till egenskaperna hos ett allmänt vektorrum samt ge exempel på andra vektorrum än $R^n$ och mängder som inte är vektorrum

Svar till 5.6.2ac

2007-06-09T17:06:43Z

Sammanfattning: Ny sida: (a) $rang(A)=2$ och $dimnoll(A)=1$ (c) $rang(A)=2$ och $dimnoll(A)=2$

(a) $rang(A)=2$ och $dimnoll(A)=1$

(c) $rang(A)=2$ och $dimnoll(A)=2$

Svar till jämna övningar ovan

2007-06-09T16:37:17Z

Sammanfattning: Ny sida: == 5.3.2 == Enbart vektorerna i (d) är linjärt beroende. == 5.3.4 == Bara polynomen i (d) är linjärt beroende. Jämför med svaret till 5.3.2. == 5.3.6 == Bara vektorerna i (c) lig...

== 5.3.2 ==

Enbart vektorerna i (d) är linjärt beroende.

== 5.3.4 ==

Bara polynomen i (d) är linjärt beroende. Jämför med svaret till 5.3.2.

== 5.3.6 ==

Bara vektorerna i (c) ligger på samma linje, ty var och en är en multipel av de övriga.

Svar till 5.5.6bcd

2007-06-09T16:35:49Z

Sammanfattning: Korrigerat en bugg i d-uppgifterna (enligt mentorerna; tek har kontrollerat)

(b) ${\bf e}_1=(0,1,0), {\bf e}_2=(1,0,2)$

(c) ${\bf e}_1=(-1, -1,1,0), {\bf e}_2=(2,-4,0,7)$

(d) ${\bf e}_1=(-1, -1,1,0,0), {\bf e}_2=(-2,-1,0,1,0), {\bf e}_3=(-1,-2,0,0,1)$

Svar till 5.6.2ad

2007-06-09T16:34:01Z

Sammanfattning:

(a) $rang(A)=2$ och $dimnoll(A)=1$

(d) $rang(A)=3$ och $dimnoll(A)=2$

Svar till jämna övningar i 5.3

2007-06-09T16:23:50Z

Svar till jämna övningar i 5.5

2007-06-09T16:22:28Z

Svar till 5.5.6

2007-06-09T16:19:48Z

Sammanfattning:

(b) ${\bf e}_1=(0,1,0), {\bf e}_2=(1,0,2)$

(c) ${\bf e}_1=(-1, -1,1,0), {\bf e}_2=(2,-4,0,7)$

(d) ${\bf e}_1=(-1, -1,1,0,0), {\bf e}_2=(-2,-1,0,1,0), {\bf e}_3=(-1,2,0,0,1)$

Dag 15

2007-06-09T14:27:54Z

Sammanfattning: /* 5.7 Rang och nollrummets dimension */

== 5.5 Rad-, kolumn- och nollrum ==

En matris kan tolkas på flera sätt: ett skrivsätt för linjära ekvationssystem, beskrivning av en linjär avbildning mellan vektorrum, beskrivning av ett koordinatbyte mm. Vi kan även se en matris av storlek $m\times n$ som ett skrivsätt för en mängd vektorer i ett vektorrum genom att betrakta rader som vektorer ($m$ vektorer i $R^n$) eller kolumner som vektorer ($n$ vektorer i $R^m$). I det första fallet får man ett delrum till $R^n$. Skulle radvektorerna råka vara linjärt oberoende är delrummet $m$-dimensionellt. Det och mycket annat trevligt kommer man fram till, och därmed ytterligare egenskaper hos linjära ekvationssystem, linjära avbildningar etc. Nollrumet till en matris $A$ kan man definiera som lösningsrummet till ekvationssystemet $A\bf x=0$, såsom i definitionen i början av avsnittet, men också som delrummet av de vektorer som avbildas på nollvektorn, om man betraktar $A$ som en avbildningsmatris. Avsnittet blir ganska lättläst, om man har tillgodogjort sig tidigare material på ett mer konceptuellt sätt, snarare än behärskar rena räknetefärdigheten. I annat fall, kan det hända att innehållet lätt ses som träning på nya onödiga räknetekniker.

Gör följande övningar i första hand:
* 5.5.3abcd, 5.5.5abc, 5.5.6bcd [ [[svar till 5.5.6bcd]] ]
Har du tid över kan du göra även:
* 5.5.9, 5.5.11

== 5.6 Rang och nollrummets dimension ==

Läs och begrunda texten tom sats 5.6.3. Satsens resultat tolkas på följande sätt. Låt $A_{m\times n}$ vara en avbildningsmatris $R^n\rightarrow R^m$. Då är $rang(A)$ dimensionen av delvektorrummet i $R^m$ bestående av alla avbildade vektorer och $dimnoll(A)$ dimensionen av delrummet i $R^n$ bestående av alla vektorer som avbildas på ${\bf 0}\in R^m$. Då är $rang(A)+dimnoll(A)=n$ (sats 5.6.3). Resultatet kallas dimensionssatsen.

Exempel. Låt $A: R^3\rightarrow R^3$ vara projektion på ett plan genom origo. Eftersom de avbildade vektorerna bildar ett plan, som är tvådimensionellt, så måste nollrummet vara $(3-2=)1$-dimensionellt, vilket helt stämmer överens med vår geometriska bild. Det som avbildas på $\bf 0$ är linjen, som är vinkelrät mot planet, och en linje är 1-dimensionell.

Vidare följer ett antal resultat om ekvivalenta egenskaper hos linjära ekvationssystem. Sats 5.6.9 är en sammanfattning av ekvivalenta påståenden som gäller för ett linjär ekvationssystem, som vi har samlat på oss sedan moment 2 (och sats 1.5.3, vill jag minnas).

Gör följande övningar i första hand:
* 5.6.2ac [ [[svar till 5.6.2ac]] ], 5.6.3ad, 5.5.5
Har du tid över kan du göra även:
* 5.6.9, 5.6.11

Svar till 5.3.2, 5.3.4, 5.3.6

2007-06-09T14:02:07Z

Lärande mål för moment 2

2007-06-08T14:34:38Z

Sammanfattning: Ny sida: * Linjära ekvationssystem: ** lösa dessa med hjälp av Gausseliminering ** kunna villkoren för när ett ekvationssystem har ingen, endast en eller oändligt många lösningar * Matriser:...

* Linjära ekvationssystem:
** lösa dessa med hjälp av Gausseliminering
** kunna villkoren för när ett ekvationssystem har ingen, endast en eller oändligt många lösningar
* Matriser:
** behärska grundläggande räkning med matriser, såsom addition, matrismultiplikation, matrisinvers, transponering
** lösa enklare matrisekvationer
** känna till diagonala, triangulära och symmetriska matriser
* Determinanter:
** räkna ut determinanaten för en matris genom utveckling efter en rad/kolumn och genom elementära rad-/kolumnoperationer
** känna till och använda sambandet mellan inverterbarhet och determinantens värde
** använda produktsatsen för determinanter

Svar till 7.3.11

2007-06-08T14:29:42Z

Sammanfattning: Ny sida: 7.3.11 Visa att om $A$ är en godtycklig $m \times n$-matris och $B=A^TA$ så finns en ortonormal mängd bestående av $n$ egenvektorer till $B$. Det är klart att $B$ är av storlek $n \t...

7.3.11 Visa att om $A$ är en godtycklig $m \times n$-matris och $B=A^TA$ så finns en ortonormal mängd bestående av $n$ egenvektorer till $B$.

Det är klart att $B$ är av storlek $n \times n$ och därmed kvadratisk. Enligt sats 7.3.1 räcker det att visa att $B$ är symmetrisk, men det är lätt gjort:

$B^T = (A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA=B$.

Dag 20

2007-06-08T14:03:45Z

Sammanfattning:

== 7.3 Diagonalisering av symmetriska matriser ==

Vi har sett att en hel del, men inte alla, matriser kan diagonaliseras. Ännu trevligare är om man kan hitta en ortonormal bas av egenvektorer. (Repetera vad detta innebär och hur man kan skapa en ON-bas från en godtycklig bas med Gram-Schmidts metod om du inte minns.) Det visar sig (se sats 7.3.1) att det är exakt de matriser som är symmetriska som har en ON-bas av egenvektorer. Läs resonemanget överst på sidan 381 som på ett enkelt sätt visar att en matris med ON-bas av egenvektorer måste vara symmetrisk. Resten av beviset för satsen behöver du inte fördjupa dig i.

Så hur gör man då för att finna en ON-bas till en given symmetrisk matris? (Eller annorlunda uttryckt för att hitta en ortogonal matris $P$ som diagonaliserar $A$.) Vi får hjälp av sats 7.3.2 som garanterar att egenvektorer som kommer från olika egenvärden är vinkelräta. På grund av detta räcker det att se på varje egenrum för sig, och i vart och ett av dem skapa en ortonormerad mängd av egenvektorer. Detta gör man genom att först beräkna en bas för egenrummet och sedan tillämpa Gram-Schmidts metod på denna. För att se detaljerna läs exempel 1.

Gör följande övningar i Avsnitt 7.3 första hand:
* 7.3.2, 7.3.3, 7.3.4, 7.3.5, 7.3.6 och 7.3.7

Har du tid över kan du göra även:
* 7.2.11

De svar som inte finns i facit finns [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap7_9.pdf här] utom [[Svar till 7.3.11]].

Svar till 7.1.23

2007-06-08T13:31:48Z

Sammanfattning:

7.1.23a) Visa att om $A$ är en kvadratisk matris så har $A$ och $A^T$ samma egenväden.

$\lambda$ är egenvärde till $A$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A)=0$ $\Leftrightarrow$ $det((\lambda I-A)^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $det(\lambda I-A^T)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda$ är egnvärde till $A^T$.

Andra ekvivalensen kommer av symmetrisatsen för determinanter, dvs att $det(B)=det(B^T)$ för alla kvadratiska matriser. Tredje ekvivalensen använder räkneregeln $(B+C)^T=B^T+C^T$ för transponering samt att $(\lambda I)^T=\lambda I^T=\lambda I$.

7.1.23b) Visa att $A$ och $A^T$ inte (nödvändigvis) har samma egenrum.

Konstruera ett exempel på en matris $A$ och en vektor $x$ sådan att $x$ äre egenvektor till $A$ men inte till $A^T$. Man kan till exempel ta $A= \left( \begin{array}{c|c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ och $x= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$

Dag 19

2007-06-08T13:16:19Z

Sammanfattning:

== 7.1 Egenvärden och egenvektorer==

Börja gärna med att läsa igenom de sista sidorna av avsnitt 2.3, där begreppen egenvärde och egenvektor introduceras, på nytt. Vi har nu anledning att återvända till detta begrepp eftersom vi nyligen lärt oss hur man kan byta bas och sett att (och hur) matrisen som beskriver en linjär avbildning beror på valet av bas. Detta leder till den naturliga frågan: Givet en linjär avbildning, vilken bas skall man välja för att få en så enkel matris som möjligt? Svaret är en bas av egenvektorer, eller i de fall där en sådan bas inte existerar, något som är så likt en sådan bas som möjligt. Detta är alltså anledningen till att vi studerar egenvärden och egenvektorer, men mer om det i nästa avsnitt. Först måste vi lära oss några begrepp och metoder.

Definitionen av egenvektor för $A$ innebär att det är en vektor $v$ som av $A$ avbildas på en vektor parallell med $v$ själv. (Observera att detta bara är meningsfullt för kvadratiska matriser $A$ - den vektor man får ut ur transformationen måste ligga i samma rum som den ursprungliga vektorn för att de skall kunna vara parallella.) Exempelvis är alla vektorer i $xy$-planet egenvektorer med egenvärdet ett, om $A$ beskriver spegling i $xy$-planet.

Så hur hittar man egenvärden och egenvektorer? Ibland kan man göra ett geometriskt resonemang som med speglingen ovan, men oftast använder man sig av följande resonemang:

Det finns en vektor $x \neq 0$ med $Ax=\lambda x$ för något $\lambda \Leftrightarrow$

Det finns en vektor $x \neq 0$ sådan att $(\lambda I -A)x=0 \Leftrightarrow$

$det(\lambda I -A)=0$

Sista ekvivalensen kommer från sats 6.4.5. (Denna sats används gång på gång och länkar ihop många grundläggande begrepp i den linjära algebra. På grund av sin centrala ställaning kallas den ibland huvudsatsen i linjär algebra.)

Nu har vi reducerat problemet att avgöra om $\lambda$ är egenvärde till att lösa $det(\lambda I -A)=0$, som kallas den karakteristiska ekvationen för $A$. Detta visar sig vara ett polynom i $\lambda$ av grad $n$ (där $n$ är antalet rader i $A$). (Kan du bevisa det med induktion?) Det följer av algebrans fundamentalsats att en $n \times n$-matris har precis $n$ komplexa egenvärden med multiplicitet räknat. (Nu är ett gyllene tillfälle att repetera vad vi lärde oss om polynom under dag 3, för det kommer vi att använda flitigt för att bestämma egenvärden.)

När man väl har fått fram ett egenvärde $\lambda$ så är mängden av alla egenvektorer till just $\lambda$ ett delrum till $R^n$. För att få reda på hur stort det är får man lösa $(\lambda I -A)x=0$. Läs noggrant igenom exempel 2 och sedan exempel 5 för att se hur detta går till i praktiken. När du sedan läser igenom hela avsnittet kan jag rekommendera att du försöker lära dig bevisen för satserna 7.1.3 och 7.1.4. De visar på den linjära algebrans elegans, har man förstått de grundläggande begreppen (vilket tar tid och inte är så lätt alla gånger) så blir många bevis både korta och enkla.

Gör följande övningar i Avsnitt 7.1 första hand:
* 7.1.2abcd, 7.1.3abcd, 7.1.5acf, 7.1.6acf

Har du tid över kan du göra även:
* 7.1.8a, 7.19a, 7.1.10abc, 7.1.11 och 7.1.23

De svar som inte finns i facit finns [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap7_9.pdf här] utom [[Svar till 7.1.23]].

== 7.2 Diagonalisering ==

Som nämndes i läsanvisningen till 7.1 är poängen med egenvektorer att en bas av sådana till en avbildningen gör avbildningens matris så enkel som möjligt. Vi skall i detta avsnitt lära oss hur man tar reda på om en sådan bas existerar för en given avbildning och hur man i så fall konstruerar den.

Har man förstått matrismultiplikation är det inte så svårt att se att en kvadratisk matris har en bas av egenvektorer om och endast om det finns en inverterbar kvadratisk matris $P$ sådan att $P{-1}AP=D$ är $D$ är en diagonalmatris. Försäkra dig om att du förstår beviset som finns på sidorna 270-271.

Matriser som har en bas av egenvektorer är alltså precis de som genom lämpligt basbyte kan omvandlas till diagonalmatriser. Detta ger oss ett "recept" för diagonalisering som finns på sidan 371 i boken. Läs noga exempel 1 och 2 som ger typiska exempel på hur denna metod används.

Sedan visas att egenvektorer som hör till olika egenvärden alltid blir linjärt oberoende. Av detta följer att om karakteristiska ekvationen bara har enkelrötter (= matrisen har $n$ olika egenvärden) så är matrisen diagonaliserbar. I själva verket kan sats 7.2.2 dras ett steg längre till att säga att om man konstruerar linjärt oberoende mängder i olika egenrum och sedan slår ihop dem får man en linjärt oberoende mängd. Ett annat sätt att uttrycka detta är sats 7.2.4

En matris $A$ är diagonaliserbar om och endast om algebraiska multipliciteten (=multipliciteten som rot till karakteristiska ekvationen) är lika med den geometriska multipliciteten (=dimensionen av egenrummet) för varje egenvärde $\lambda$. En konsekvens är att man bara behöver titta närmare på egenrum till multipla egenvärden då man undersöker om en matris är diagonaliserbar. Till enkla egenvärden finns alltid precis ett endimensionellt egenrum.

Gör följande övningar i Avsnitt 7.2 första hand:
* 7.2.8, 7.2.10, 7.2.12, 7.2.13, 7.2.14 och 7.2.15

Har du tid över kan du göra även:
* 7.2.19

De svar som inte finns i facit finns [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap7_9.pdf här].

Dag 13

2007-06-08T13:15:12Z

Sammanfattning:

== 5.1 Allmänna vektorrum ==

Vi har sett hur man kan räkna med $n$-tupler av reella tal och att de uppfyller vissa räkneregler. Det visar sig att genom att ta fasta på de viktigaste av dessa regler och sätta upp dem som axiom så kan man härleda i stort sett alla andra viktiga egenskaper utifrån dem. Detta har fördelen att objekten vi räknar med inte nödvändigtvis behöver vara $n$-tupler av reella tal längre utan kan vara till exempel funktioner eller matriser. Från matematikers synvinkel är detta axiomatiska sätt att se på vektorrum det naturliga och $R^n$ ses som ett viktigt specialfall. Detta är ett nytt synsätt som kan ta en stund att smälta, men en bra början är att läsa 5.1 och lösa

* 5.1, 5.5, 5.9 och 5.11.

== 5.2 Delrum ==

Ett delrum till ett vektorrum $V$ är en delmängd som själv är ett vektorrum under samma operationer som på $V$. Som sats 5.2.1 visar behöver man inte kolla alla axiomen för att visa att en delmängd till ett vektorrum är ett delrum, det räcker faktiskt att kolla att man inte kommer ut ur delmängden om man utför operationerna (dvs addition av två vektorer och multiplikation av en vektor med ett reellt tal.) Genom att läsa avsnitt 5.2 får du ett antal trevliga och viktiga exempel på delrum som du kommer att ha nytta av framöver i kursen. Lägg också noga märke till definitionen av linjärkombination på sidan 234 som är viktig.

Gör följande övningar:
* 5.2.1, 5.2.3b, 5.2.6abcf, 5.2.8a, 5.2.9ab, 5.2.11abd

De flesta svar finns i boken men i något fall får du gå till den länkade sidan
[[http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap5.pdf Svar till några övningar på kapitel 5]]. Observera också anmärkningen där om fel i facit på uppgift 5.2.1.

Svar till övningar på avsnitt 4.3

2007-06-07T14:20:03Z

Sammanfattning: Lagt till svar till 4.3.14a

4.3.6a Avgör om den linjära avbildningen $T: R^3 \rightarrow R^3$ är injektiv och bestäm i så fall standardmatrisen för den inversa avbildningen $T$.

Det är givet i uppgiften att $T$ har matris $A=\left( \begin{array}{c|c|c} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)$. Inverterbarhet kan kontrolleras med hjälp av

$det(A)= \left| \begin{array}{c|c|c} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c|c|c} 1 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c|c} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array} \right| = -1 \neq 0$

(I första steget drar i ifrån kolumn 1 från kolumn 2, vilket inte påverkar determinanten, och sedan utvecklar vi efter sista raden.)

Att determinanten inte är noll visar att $T$ är inverterbar. Vi räknar ut inversen till $A$ med elimination (Har du glömt hur man gör? Se exempel 4 på sid 55!) och får

$A^{-1}=\left( \begin{array}{c|c|c} 1 & -2 & 4 \\ -1 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -5 \end{array} \right)$.

När du beräknat en invers så kolla alltid att $A^{-1}A$ verkligen blir enhetsmatrisen. Risken för felräkningar är överhängande.

4.3.14a Använd sats 4.3.3 för att bestämma standardmatrisen för $T: R^3 \rightarrow R^3$ från bilderna av standardbasvektorerna. Svaret blir

:$\begin{pmatrix}\frac15&0&0\\ 0&-\frac15&0\\ 0&0&\frac15\end{pmatrix}$

Kurslitteratur

2007-06-07T13:11:21Z

Sammanfattning: lade till information om ISBN till boken inbunden med mjuka pärmar (billigare) /Johan T

== Kurslitteratur ==

'''H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra with Applications''',

9th Edition. Wiley, 2005, ISBN 978-0-471-66959-3 (hårda pärmar), ISBN 978-0-471-44902-7 (mjuka pärmar)

[http://he-cda.wiley.com/WileyCDA/HigherEdTitle.rdr?productCd=0471669598 Förlagets informationssida för boken]

[http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=index&itemId=0471669598&bcsId=2560 Student Companion Site]

Om det inte går att få tag på boken via förlagets hemsida kan du köpa boken
tex i KTH:s kårbokhandel eller beställa den på adlibris.se: [[http://www.adlibris.se/product.aspx?isbn=0471669598 här]]

''' Tomas Ekholm, [[Media:Kompletteringskompendium.pdf|Kompletteringskompendium]]'''

Ekholms kompendium behövs för moment 1, medan boken av Rorres och Anton behövs för momenten 2-5 på denna kurs.

Institutionen för matematik, KTH

Gammalt

2007-06-07T13:04:43Z

Sammanfattning: Ny sida: == Länkar till gamla kurstillfällen == LINJÄR ALGEBRA (5B4046): http://www.math.kth.se/online/courses/algebra/kursbeskrivning_se.shtml http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B...

== Länkar till gamla kurstillfällen ==

LINJÄR ALGEBRA (5B4046):

http://www.math.kth.se/online/courses/algebra/kursbeskrivning_se.shtml

http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/

ENVARIABELANALYS (5B4047):

http://www.kth.se/student/studiehandbok/Kurs.asp?Code=5B1147&lang=0

http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1104/D/200607/

FLERVARIABELANALYS (5B4048):

http://www.math.kth.se/online/courses/flervar/kursbeskrivning_se.shtml

http://www.math.kth.se/math/GRU/KursPM.2006.2007/5B1105.html

Dag 12

2007-06-07T12:59:08Z

Sammanfattning:

== 4.3 Egenskaper hos linjära avbildningar ==

I detta avsnitt skall vi lära oss mer om några viktiga egenskaper hos linjära avbildningar. En avbildning $T$ kallas injektiv (one-to-one eller injective på engelska) om $T(x)=T(y)$ bara gäller då $x=y$, dvs om man stoppar in två olika element så får man också ut två olika element. Det är särskilt intressant med injektiva avbildningar från $R^n$ till $R^n$. I boken visas att för en sådan avbildning är injektivitet, surjektivitet (Varje element $y$ i $R^n$ är $T(x)$ för något $x$ i $R^n$.) och inverterbarhet hos standardmatrisen ekvivalenta. (Att påståendena är ekvivalenta innebär att för vissa avbildningar är alla tre sanna, för andra avbildningar är alla tre falska. Det kan däremot inte finnas en linjär avbildning $R^n \rightarrow R^n$ som exempelvis är injektiv men inte surjektiv.) Vi vet också sedan tidigare att en matris är inverterbar om och endast om dess determinant är skild från noll. Detta ger oss ett mycket praktiskt sätt att kolla om en linjär avbildning från $R^n$ till $R^n$ är injektiv (eller surjektiv): Ta fram matrisen och kolla om determinanten är noll eller ej.

Om $T:R^n \rightarrow R^n$ är injektiv så kan man visa att den har en invers vars matris är inversen till $T$'s matris. Detta gör att man kan finna inverser på två sätt: algebraiskt genom att skriva upp matrisen och invertera den som vi lärt oss tidigare, eller geometriskt genom att tänka ut vilken transformation som skulle återställa effekten av den givna avbildningen. Läs mer om detta i boken.

Satserna 4.3.2 och 4.3.3 är båda viktiga. Den första ger ett bra sätt att avgöra om en avbildning är linjär och den andra en utmärkt metod för att ta fram standardmatrisen för en linjär avbildning. Se till att du både kan förstå och tillämpa dessa satser!

Avsnittets sista sidor om egenvärden och egenvektorer kan du läsa igenom översiktligt, vi kommer att läsa oss mycket mer om detta i kursens sista modul.

Gör följande övningar i första hand:
* 4.3.6a, 4.3.7ab, 4.3.12bc, 4.3.14a

Om du får tid över kan du även göra:
* 4.3.23

De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns på sidan [[svar till övningar på avsnitt 4.3]].

Kursmål

2007-06-07T12:58:10Z

Sammanfattning:

== Linjär Algebra - Beskrivning av kursmålen==

Webbaserad kurs i Linjär algebra 5B4046

'''Kursens mål'''

Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen med grundläggande algebra och linjär algebra.

Det innebär att studenten efter kursen ska kunna:

* Förstå, tolka och använda grundbegreppen: det linjära rummet R^n, linjärt beroende och oberoende, bas, linjär avbildning, matris, determinant, egenvärde och egenvektor
* Räkna med komplexa tal
* Lösa polynomekvationer med hjälp av faktorsatsen
* Genomföra enklare induktionsbevis
* Lösa linjära ekvationssystem med Gauss-Jordans metod
* Förstå och behärska grundläggande matriskalkyl och determinantkalkyl
* Använda minstakvadratmetoden för att lösa överbestämda ekvationssystem.
* Beräkna egenvärden och motsvarande egenvektorer och använda dem för att diagonalisera matriser
* Använda skalärprodukt och vektorprodukt för att lösa geometriska problem i planet och rummet

Dessutom ska studenterna efter genomgången kurs ha övergripande kunskaper och insikter i hur man ställer upp matematiska modeller och genomför matematiska resonemang samt kunna presentera och diskutera matematik.

'''Kursinnehåll'''

Matematisk induktion, komplexa tal, polynom, linjära ekvationssystem, matriser, determinanter, vektorer och vektorprodukter, linjer och plan, linjära avbildningar, vektorrumsbegrepp, basbyte, egenvärden och egenvektorer, diagonalisering, kvadratiska former samt andragradskurvor och ytor, samt minstakvadratmetoden.

Under kursen undervisas och övas problemformulering, modellering och analys. Den kommunikativa förmågan kan tränas genom aktivititeter på internet kring inlämningsuppgift individuellt och i grupp.

'''Förkunskaper'''

Grundläggande behörighet för högskolestudier. Utöver detta krävs Matematik kurs A-D från gymnasieskolan.
Examination
» Läs här på MATH.SE om kursen och aktuellt kurstillfälle

'''Särskilda utrustningskrav'''

Dator med Internetanslutning och webbläsare som kan hantera Flash och Java applets. Det krävs ingen installation av någon separat programvara. Studenterna får tillgång till allt de behöver genom det personliga användarnamn de får när de antagits till kursen och kursen startar.

Kursen är nätbaserad.

Svar till övningar på avsnitt 4.2

2007-06-07T12:37:04Z

Sammanfattning:

4.2.2a $ \left( \begin{array}{c|c|c|c} 2 & -3 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 0 &-1 \end{array} \right)$

4.2.2b $ \left( \begin{array}{c|c|c} 7 & 2 & -8 \\ 0 & -1 & 5 \\ 4 & 7 & -1 \end{array} \right)$

4.2.2c $ \left( \begin{array}{c|c} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 5 & -7 \end{array} \right)$

4.2.4a $ \left( \begin{array}{c|c} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$

4.2.4c $ \left( \begin{array}{c|c|c} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 0\\0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

4.2.6b $ \left( \begin{array}{c} 3 \\ 13 \end{array} \right)$

4.2.6c $ \left( \begin{array}{c} -2x_1+x_2+4x_3 \\ 3x_1+5x_2+7x_3 \\ 6x_1-x_3 \end{array} \right)$

4.2.18a Bestäm standardmatrisen för sammansättningen $S$=spegling i $yz$-planet följd av $P$=ortogonal projektion på $xz$-planet.

Vi börjar med att bestämma matriser för de båda ingående avbildningarna $S$ och $T$. Vid spegling i $yz$-planet är $y$ och $z$ koordinaterna oförändrade medan $x$-koordinaten byter tecken. Detta åstadkoms av matrisen

$A=\left( \begin{array}{c|c|c} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Vid ortogonal projektion på $xz$-planet är $x$- och $z$-koordinaterna oförändrade, medan $y$-koordinaten omvandlas till noll, varför matrisen för $P$ är

$B=\left( \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

För sammansättningen får vi då matrisen

$BA=\left( \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c|c|c} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c|c|c} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Exempeltentor

2007-06-07T11:26:19Z

Sammanfattning:

Här hittar du exempel på tentor tagna från motsvarande kurs som gått på KTH vid tidigare tillfällen.

Det är lämpligt att räkna igenom dessa som en repetition innan den skriftliga tentan.

== Exempeltentor ==

* [[Media:Exempeltenta_1.pdf|Exempeltenta 1]]
* [[Media:Exempeltenta_2.pdf|Exempeltenta 2]]
* [[Media:Exempeltenta_3.pdf|Exempeltenta 3]]
* [[Media:Exempeltenta_4.pdf|Exempeltenta 4]]
* [[Media:Exempeltenta_5.pdf|Exempeltenta 5]]
* [[Media:Exempeltenta_6.pdf|Exempeltenta 6]]

== Lösningar ==

* [[Media:Exempeltenta_1_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 1]]
* [[Media:Exempeltenta_2_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 2]]
* [[Media:Exempeltenta_3_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 3]]
* [[Media:Exempeltenta_4_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 4]]
* [[Media:Exempeltenta_5_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 5]]
* [[Media:Exempeltenta_6_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 6]]

Dag 14

2007-06-07T09:48:35Z

Sammanfattning:

== 5.3 Linjärt oberoende ==

Detta avsnitt handlar västenligen om ekvationen $k_1{\bf v}_1+k_2{\bf v}_2+\ldots +k_r{\bf v}_r={\bf 0}$ för en uppsätning av vektorer ${\bf v}_i$. Läs igenom definitionen och de efterförljande exemplen. Lösningen $k_1=k_2=\ldots =k_r$ kallas den ''triviala'' lösningen i litteraturen. Märk väl att ekvationen har antingen en lösning, den triviala, eller oändligt många. I Exempel 1 ges den icke-triviala lösningen $k_1=3, k_2=1, k_3=-1$, men ekvationen har även lösningen $k_1=-6, k_2=-2, k_3=2$ och $k_1=3\pi, k_2=\pi, k_3=-\pi$ och alla oändligt många på formen $k_1=3t, k_2=t, k_3=-t$, där $t$ är ett godtyckligt reellt tal. Lösning av ekvationen för att avgöra om en uppsätning av vektorer är linjärt beorende eller ej leder till lösning av linjära ekvationssystem, såsom visas i exempel 4. Läs noga igenom exempel 2 och 5, som visar hur det går till att avgöra linjärt oberoende i andra vektorrum än $R^2$.

Sats 5.3.1 är ett mycket nyttigt resultat. Hoppa inte över beviset, som ger en god insikt om begreppet linjärt oberoende. Ett vanligt missförstånd är att tro att om någon av vektorerna inte kan skrivas som linjär kombination av de övriga, så blir hela uppsättningen linjärt oberoende. Som det står i sats 5.3.1(b) ska ''ingen'' av vektorerna kunna skrivas som linjär kombination av de övriga för att linjärt oberoende skall gälla. Exempel: vektorerna ${\bf v}_1=(1,-1,2), {\bf v}_2=(3,0,-1), {\bf v}_3=(1,2,3), {\bf v}_4=(-1,-2,5)$ är linjärt beroende, ty ekvationen har lösning $k_1=-2t, k_2=t, k_3=0, k_4=t$, där $t$ är reellt; då kan man aldrig uttrycka ${\bf v}_3=(1,2,3)$ som linjär kombination av de övriga vektorerna.

Läs beviset av sats 5.3.2(a) och försök bevisa 5.3.2(b). Beviset av sats 5.3.3 är en bra repetition av egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Hoppa över resten av avsnittet.

Gör följande övningar i första hand:
* 5.3.1ab, 5.3.2, 5.3.3ab, 5.3.4, 5.3.5ab, 5.3.7
Har du tid över kan du göra även:
* 5.3.6, 5.3.15, 5.3.19
[[Svar till jämna övningar ovan]]

== 5.4 Bas och dimension ==

En och samma vektor $\bf v$ i, säg, $R^3$ kan skrivas som linjär kombination av tre linjärt oberoende vektorer på ett unikt sätt. Om man däremot väljer fyra vektorer i $R^3$, kommer $\bf v$ att kunna skrivas som linjär kombination av dessa fyra på ett oändligt antal sätt. För att ha en unik representation, inför man en bas. En bas för ett vektorrum $V$ är alltså en uppsättning av linjärt oberoende vektorer, basvektorer, som genererar ("span" eller "generate" på engelska) $V$; det sistnämnda innebär att varje vektor ${\bf v}\in V$ kan på ett unikt sätt skrivas som en linjär kombination av basvektorerna. Vektorerna i en bas för ett vektorrum kan man välja på många sätt, men antalet basvektorer för ett och samma vektorrum kommer alltid att vara detsamma. Detta antal kallas vektorrummets ''dimension''. Läs nu definitionen, sats 5.4.1 och gärna dess bevis. Gå igenom alla exemplen, exempel 8 är dock överkurs. Sats 5.4.2 följer enkelt från egenskaperna hos linjära ekvationssystem. Läs vidare tom exempel 10, resten av texten kan du läsa översiktligt.

Gör följande övningar i första hand:
* 5.4.1, 5.4.3, 5.4.11
Har du tid över kan du göra även:
* 5.4.13, 5.4.17, 5.3.21

Svar till övningar på avsnitt 4.1

2007-06-06T14:30:03Z

Sammanfattning:

4.1.4 Jämför andra koordinaten i höger- och vänsterledet. I högerledet blir den noll oavsett hur man väljer konstanterna $c_1$, $c_2$ och $c_3$. I vänsterledet är andra koordinaten $-2$.

4.1.6a $||u+v||=||(4,4,10,1)||=\sqrt{4²+4²+10²+1²}=\sqrt{133}$

4.1.6c $||-2u||+2||u||=|-2|||u||+2||u||=4||u||=4\sqrt{4²+1²+2²+3²}=4\sqrt{30}$

4.1.9c $u \cdot v = 6+2-16+15=7$

4.1.9d $u \cdot v = 2-2+0+8+3=11$

4.1.11c $d(u,v)=||u-v||=||(3,-4,-5,-3)||=\sqrt{59}$

4.1.11d $d(u,v)=||u-v||=||(7,-4,-1,-5,-3)||=10$

4.1.14b $u\cdot v=(-2,-2,-2)\cdot(1,1,1)=-2-2-2=-6\ne 0$. Alltså är u och v inte ortogonala.

4.1.14.d $u\cdot v=(-2,6,-10,1)\cdot(2,1,-2,9)= -4+6+20+9=31\ne 0$. Alltså är u och v inte ortogonala.

4.1.14.f $u\cdot v= (a,b)\cdot(-b,a)=-ab+ba=0$. Alltså är u och v ortogonala.

4.1.16 Vi söker vektorer $p=(a,b,c,d)$ så att $p$ har längd ett och är ortogonal mot $u,v$ och $w$. Detta kan uttryckas på så sätt att $p \dot p=1$, $p \cdot u =0$, $p \cdot v =0$ och $p \cdot w =0$. I utskriven form har vi $a^2+b²+c²+d²=1$, $2a+b-4c=0$, $-a-b+2c+2d=0$ och $3a+2b+5c+4d=0$. De sista tre ekvationerna utgör ett linjärt system som har lösningarna $(a,b,c,d)=(34t,-44t,6t,-11t)$. Det första villkoret ger sedan $57|t|=1$, dvs $t=\pm \frac{1}{57}$, dvs $p=\pm \frac{1}{57} (34,-44,6,-11)$.

4.1.24 Resonemanget är precis detsamma som i beviset av sats 4.1.7, det blir bara lite fler termer.

4.1.26 Använd Cauchy-Schwartz olikhet på vektorerna $u=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ och $v=(a,b)$.

Dag 11

2007-06-06T12:44:00Z

Sammanfattning:

== 4.1 Det $n$-dimensionella euklidiska rummet ==

För vektorer i rummet har vi sett att om vi bestämmer oss för ett koordinatsystem med vinkelräta axlar som alla har samma gradering så kan vi istället för en vektor använda vektorns koordinater och räkna direkt med dem. På så vis kan vi enkelt beräkna till exempel summan, skalärprodukten och vektorprodukten av två vektorer med olika formler. I rummet har varje vektor tre koordinater, men samma vis att räkna på kan användas även för större antal koordinater. (Dock finns ingen formel för vektorprodukt i andra dimensioner än tre.) I avsnitt 4.1 beskrivs mer i detalj hur detta går till. Koordinatformeln för skalärprodukt kan på naturligt sätt utvidgas till att gälla $n$-tupler:

Om $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ och $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ så definierar vi $x \cdot y=x_1y_1+x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$.

Mängden av $n$-tupler med addition, multiplikation med reellt tal och skalärprodukt definierat med koordinatformler som beskrivs ovan kallas $R^n$ eller det $n$-dimensionella euklidiska rummet.

Med hjälp av skalärprodukten kan man sedan definiera längden av en vektor och därmed även avståndet mellan två punkter. Man kan sedan visa att Pythagoras sats och triangelolikheten gåller också i $R^n$.

Lite vid sidan om det övriga innehållet i avsnittet är beskrivningen på sidorna 176 och 177 av hur skalärprodukt kan fås genom en matrismultiplikation och hur produkten av två matriser $AB$ på varje position innehåller en skalärprodukt av en rad från $A$ och en kolumn från $B$. Detta är ibland ett mycket användbart sätt att se matrismultiplikation på som till en början kan vara lite svårt att greppa. Återkom gärna till dessa sidor senare om du inte förstår dem riktigt nu.

Nu är det dags för en noggrann genomläsning av 4.1 och övningsräkning:

Gör följande övningar i första hand:

* 4.1.1acf, 4.1.3, 4.1.4, 4.1.5cd, 4.1.6ac, 4.1.9cd, 4.1.11cd, 4.1.14bdf

Om du får tid över kan du även göra:

* 4.1.16, 4.1.24 och 4.1.26.

De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns på sidan [[svar till övningar på avsnitt 4.1]].

== 4.2 Linjära avbildningar från $R^n$ till $R^m$ ==

Vi skall nu se på avbildningar $T:R^n \rightarrow R^m$, det vill säga att man stoppar in en $m$-tupel i $T$ och får ut en $n$-tupel. Som de av er som läst envariabelanalys är det väldigt svårt att helt förstå sig på de funktioner man studerar där och då är det bara specialfallet $n=m=1$ som man arbetar med! Som skall vi begränsa oss till den enklaste typ av funktioner som finns, nämligen de linjära. En funktion (eller avbildning) $T:R^n \rightarrow R^m$ kallas linjär om den kan beskrivas med en matris. Mer exakt om det finns en matris $m \times n$-matris $A$ sådan att $T(x)=Ax$ där $x$ ligger i $R^n$. Om en sådan matris $A$ finns kallas $T$ en linjär avbildning och $A$ kallas standardmatrisen för $T$.

Större delen av detta avsnitt är en genomgång av några viktiga linjära avbildningar: nollavbildningen, identitetsavbildningen, speglingar, projektioner, rotationer, sammandragningar och utvidgningar. För var och en av dem resonerar man sig fram hur standardmatrisen ser ut. Du behöver inte lägga de olika matriserna på minnet, det viktiga är att du förstår resonemangen som ligger bakom. Då kan du själv tänka ut hur matrisen ser ut om det skulle behövas.

Sista delen av avsnittet handlar om sammansättning av linjära avbildningar. Om $T:R^n \rightarrow R^m$ är en linjär avbildning med standardmatris $B$, och $S:R^m \rightarrow R^k$ är en linjär avbildning med standardmatris $A$ så kan man se på sammansättningen $S \circ T(x)=S(T(x))$. (Lägg märke till att man först utför transformationen $T$ på $x$ och sedan $S$ på resultatet. Det är alltså den avbildning som står sist i en sammansättning som tillämpas först, eftersom den är närmast $x$.) Nu är $S \circ T(x)=S(T(x))=S(Bx)=ABx$, vilket visar att matrisen för $S \circ T$ är $AB$, produkten av matriserna för $S$ och $T$. Läs mer i boken för att få exempel på olika sammansättningar, bland annat exempel som visar att ordningen spelar roll, dvs att $S \circ T$ inte alltid är lika med $T \circ S$.

Gör följande övningar i första hand:

* 4.2.1ab, 4.2.2abc, 4.2.3, 4.2.4ac, 4.2.5b, 4.2.6bc, 4.2.7b, 4.2.8abc

Om du får tid över kan du även göra:

* 4.2.13a, 4.2.15, 4.2.18a, 4.2.21

De svar som inte finns i lärobokens facit återfinns på sidan [[svar till övningar på avsnitt 4.2]].

Lösning till övning 3.4.12

2007-06-06T11:38:18Z

Sammanfattning:

Bestäm alla enhetsvektorer som är parallella med $yz$-planet och vinkelräta mot vektorn $v=(3,-1,2)$.

Lösning: De vektorer som är parallella med $yz$-planet är precis de som är vinkelräta mot vektorn $n=(1,0,0)$. (Varför?) Vi söker alltså vektorer vinkelräta mot både $v$ och $n$. En sådan vektor måste vara en multipel av $w=v \times n = (0,2,1)$. (OBS! När man har räknat ut en vektorprodukt så kollar man alltid att den är vinkelrät mot de båda ursprungsvektorerna genom att kolla att skalärprodukterna blir noll. Det är en billig och effektiv försäkring mot felräkningar.) Nu är det bara att välja de multipler $aw$ som har längden ett. $||aw||=|a|\cdot||w||=|a| \sqrt{5}$ så $a = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ är de $a$-värden som ger $aw$ längden ett.

Svar: De två vektorer som uppfyller villkoren är $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}(0,2,1)$.

Dag 10

2007-06-06T11:07:11Z

Sammanfattning:

== 3.4 Vektorprodukt ==

Vi har tidigare sett hur man givet två vektorer $\bf u$ och $\bf v$ kan beräkna deras skalärprodukt $\bf u \cdot v$, som är ett reellt tal. Det finns en annan form av "multiplikation" av vektorer som ger en vektor $\bf u \times v$. Just på grund av att $\bf u \times v$ är en vektor så kallas den vektorprodukten av $\bf u$ och $\bf v$. Vi har sett att skalärprodukten är ett gott redskap för att beräkna vinklar, längder, avstånd och projektioner. Vektorprodukten används främst för att hitta vektorer som är vinkelräta och för beräkning av areor och volymer. Hur skall vi snart se, men först måste vi definiera $\bf u \times v$. Läs nu avsnitt 3.4 fram till sats 3.4.2 börjar. Det viktigaste här är att du kan (och kan använda!) definitionen av vektorprodukt samt att $\bf u \times v$ alltid är vinkelrät mot både $\bf u$ och $\bf v$.

Nästa sats, 3.4.2, visar ett en del vanliga räkneregler gäller. Lägg särskilt märke till att $\bf u \times v = - v \times u$. Detta kallas antikommutativitet, men är i motsats till vad namnet antyder, en egenskap som ligger mycket nära kommutativitet. Viktigt är också att vektorprodukten av en vektor med sig själv blir nollvektorn, samt att associativitet inte finns med i satsen. Vi måste alltså skilja på $\bf (u \times v) \times w$ och $\bf u \times (v \times w)$, så parenteserna är viktiga att sätta ut. (Som du kanske minns var det inte så för matrismultiplikation. Där går det exempelvis bra att skriva $ABC$ istället för $A(BC)$.

Resten av avsnittet innehåller en rad intressanta och viktiga egenskaper som jag ger en kort listning av här, men överlåter åt dig att läsa närmare om i läroboken.

I den blå rutan på sidan 147 visas hur vektorprodukten kan uttryckas som en determinant. Detta är ofta användbart i både praktiska och teoretiska sammanhang. Av detta följer också att den så kallade skalära trippelprodukten, $\bf u \cdot (v \times w)$ är lika med determinanaten av matrisen med $\bf u, v$ och $\bf w$ som rader. (se sid 149.)

Längden av $\bf u \times v$ är arean av den parallellogram som har vektorerna $\bf u$ och $\bf v$ som sidor.

Sats 3.4.4 om hur areor av parallellogram och parallellepipeder kan beräknas med hjälp av determinanter är viktig. Försök förstå beviset och lägg även märke till att en konsekvens är sats 3.4.5 som vi kommer återkomma till många gånger framöver.

Från vår definition är det inte självklart att vi skulle få samma vektor $\bf u \times v$ om vi bytte koordinatsystem. Läs med på sidan 152.

Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:
* 3.4.2, 3.4.4, 3.4.10 (Svar [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap3a.pdf här].)
Har du tid över kan du göra även:
* 3.4.12 ([[Lösning till övning 3.4.12]].) (Men fall inte för frestelsen att se på lösningen innan du har en egen!)

== 3.5 Linjer och plan i rummet ==

Detta avsnitt är inte så komplicerat teoretiskt sett, men fullt av saker som är viktiga att förstå för att kunna lösa grundläggande geometriska problem. Några huvudpunkter i avsnittet är:

Varje plan i rummet kan beskrivas som de punkter $(x,y,z)$ som uppfyller $ax+by+cz=d$ för några konstanter $a,b,c,d$. Dessutom kan planets normalvektor "läsas av" från ekvationen då den är $n=(a,b,c)$. Exempelvis utgör de punkter $(x,y,z)$ som uppfyller $5x-y+2z=3$ ett plan med normalvektor $(5,-1,2)$. Det är mycket viktigt att du lyckas följa resonemanget på sidorna 156-157 som visar varför det är på detta sätt.

Punkterna på en linje i rummet kan bekrivas på parameterform (se den blå rutan på sidan 159). Genom att sätta in olika värden på parametern $t$ får man ut olika punkter på linjen. Läs noga det som står ovanför den blå rutan på sidan 159 så att du kan förklara vilken linje parameterekvationen beskriver och varför.

Med hjälp av ovanstående beskrivningar av plan och linjer kan man lösa en rad olika geometriska problem: Hitta skärningen mellan en linje och ett plan, hitta skärningen mellan två plan (Hur kan den se ut?), beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. Det sistnämnda kan man göra med formeln i sats 3.5.2, (Den så kallade avståndsformeln.), men mer lärorikt är att försöka tänka ut härledningen själv då man ställs inför ett problem av typen exempel 8 på sidan 161. Givetvis kan man välja att memorera formeln istället om man vill.

Det här avsnittet har gett vår problemlösningsförmåga en riktig skjuts, så det blir många övningar på listan:

Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 första hand:
* 3.5.1abc, 3.5.3a, 3.5.4ab, 3.5.5ab, 3.5.6a, 3.5.8a, 3.5.9abc, 3.5.10a, 3.5.11b (Som vanligt finns vissa svar i boken och andra [http://www.math.kth.se/math/student/courses/5B1109/D/200607/Utdelat_files/svarkap3a.pdf här].)
Har du tid över kan du göra även:
* 3.5.20, 3.5.22, 3.5.24, 3.5.29 och 3.5.33

Lärandemål för moment 2

2007-06-05T15:47:36Z

Sammanfattning:

Dfg

2007-06-01T14:32:36Z

Sammanfattning: flyttade [[Dfg]] till [[Nytt]]

fgyuyuy

Dag 3

2007-06-01T11:42:36Z

Sammanfattning:

== 3.1-3.2 Polynom och algebraiska ekvationer ==

Läs noga framtill Exempel 3.4. Här definieras viktiga begrepp och egenskaper. I Exempel 3.4 divideras polynomet $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-14x+4$ med polynomet $g(x)=x^2+3$. Det är viktigt att först skriva upp polynomen $f(x)$, som skall divideras, och $g(x)$, som man dividerar med, så att termernas gradtal sjunker från vänster till höger. (Tänk på hur du skriver ett vanligt heltal från vänster till höger: siffrornas värde sjunker från vänster till höger, eftersom exempelvis hundratalssiffran har högre värde än tiotalssiffran osv.) Vidare ska man successivt göra sig av högstagradstermerna i $f(x)$, som ska divideras, genom att multiplicera $g(x)$ med lämpligt polynom.

I Exempel 3.4 ska man först göra sig av med termen $x^4$. Då multiplicerar man $g(x)$ med $x^2$, som blir början på svaret, kvoten. Produkten blir $x^4+3x^2$, som subtraheras från $f(x)$. Resultatet blir ett tredjegradspolynom, nämligen $-5x^3+x^2-14x+4$. Här måste man multiplicera $g(x)$ med $-5x$ för att göra sig av med högstagradstermen $-5x^3$ osv.

Har du tid och lust, läs igenom beviset av Sats 3.5. Gå igenom Exempel 3.6 noga, eftersom du kommer att arbeta på det sättet i övningar. Lös ekvationen även genom att dividera $x^3-5x^2-x+5$ med $x-1$. Sats 3.7 och Följdsats 3.8 är viktiga byggstenar för arbete med polynom, men du behöver inte läsa igenom bevisen.

Du kan hoppa över Exempel 3.9 samt texten efter Definition 3.12 och till och med Exempel 3.15.

Sats 3.10, ej bevis, - observera att satsen gäller för polynom med ''reella'' koefficienter - med tillhörande Exempel 3.11.

Definition 3.12. Exempel: nollstället $x=-1$ till polynomet $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)$ har multiplicitet 2.

Sats 3.16, ej bevis, med tillhörande Exempel 3.17. En bra minnesregel för att hålla reda på vad som ska dela vad är att tänka på exempelvis ekvationen $2x-3=0$, som har roten $x=\frac{3}{2}$ vars täljare delar konstanta termen och nämnare delar högstagradstermen. Notera att en polynomekvation behöver faktiskt inte ha rationella rötter, men att ''om'' en sådan finns då kommer täljaren att dela konstanta termen och nämnaren högstagradstermen.

Gör följande övningar i Avsnitt 3.4 i första hand:
* 3.1 [här gör man först en så kallad substitution för att skriva om ekvationerna till andragradsekvationer; exempelvis låt i 3.1.(a) $z^2=w$ och lös först $w^2+2iw+3=0$, som har två rötter $w_1$ och $w_2$, och lös sedan ekvationerna $z^2=w_1$ och $z^2=w_2$], 3.4, 3.7 [Sats 3.10], 3.8, 3.10 [här ska du använda Följdsats 3.8, du vet ju hur högerledet ser ut], 3.11 [enkel tillämpning av Sats 3.10], 3.12, 3.14

Har du tid över kan du göra även:
* 3.9, 3.15, 3.27

Studiehandledning

2007-05-30T11:12:16Z

Sammanfattning:

==Studiehandledning==
'''Gäller för kurserna '''
* Linjär Algebra (5B4046)
* Envariabelanalys (5B4047)
* Flervariabelanalys (5B4048)

'''OM ATT LÄSA PÅ DISTANS'''

Att läsa kurser på distans är ett väldigt bekvämt och flexibelt alternativ till traditionella studier. Det kräver dock mer av dig som student när det gäller disciplin och planering. Du måste aktivt se till att skaffa dig en god inblick i kursens lärandemål och pedagogiska tankar kring kursinnehållet. Till din hjälp har du dels denna studiehandledning och dels kursens lärandemål samt de läsanvisningar som ansvarig lärare tillhandahåller vid det aktuella kurstillfället - läs igenom dessa noga innan du börjar. Du har också tillgång till support och diskussionforum så att du när som helst kan fråga när du känner dig osäker på något kring dina studier. Se till att utnyttja dessa kanaler så lyckas du i dina studier!

'''ATT ARBETA MED KURSMATERIALET'''

Till varje modul finns dagvisa läsanvisningar som hjälper dig att förstå hur du ska hantera litteraturen på bästa sätt. Du börjar med att läsa igenom teorin och att tänka igenom exemplen för den aktuella dagen. Efter varje sådan genomgång av ett avsnitt är det lämpligt att räkna igenom de uppgifter som din lärare rekommenderat dig (dessa finner du också i läsanvisningarna). När du känner dig klar med ett modul finns det några tillhörande prov som du går in och gör i kursens provdatabas. Dessa är inte obligatoriska och ger inga bonuspoäng men vi rekommenderar dig att göra dessa för din egen skull, då de hjälper dig att kontrollera om du tillgodogjort dig materialet på ett tillfredsställande sätt. Proven är självrättande och ger en direkt feedback på huruvida du är redo att gå vidare eller om du bör reptera modulen ytterligare.

Om du kör fast kan du i första hand gå in på kursens diskussionsforum under aktuell modul för att se om någon annan student haft samma problem, i annat fall ställer du din fråga i forumet. Din lärare eller en studiekamrat besvarar då din fråga inom kort. Alternativt ringer (eller mailar) du din mentor och ber att få hjälp. Kom ihåg att vi som arbetar med kursen finns här för dig och på alla sätt och vis vill hjälpa dig med dina studier.

När du har jobbat igenom hela materialet är det förmodligen snart dags för den skriftliga tentamen. Det är väldigt bra om du lägger upp din studieplan så att du har tid över för repetition. Lämpligt för denna repetition är att räkna igenom de tentor som har gått på liknande kurser vid tidigare tillfällen. Du hittar väl utvalda skrivningar på kursens huvudsida.

'''OM TID OCH STUDIEPLANERING'''

Hur mycket tid du behöver lägga ner på respektive modul är förstås individuellt, men en riktlinje för högskolestudier är att varje poäng svarar mot en arbetsvecka, dvs 40 timmar. Läser du 5 poäng så bör du alltså räkna med att detta tar ca 5 arbetsveckor. Det är viktigt att du följer din studieplanering och är beredd att lägga ner den tid som krävs för att bli klar i tid!

'''HJÄLP FINNS ATT FÅ'''

När du loggat in med ditt användarnamn kommer du till "Student Lounge". Här hittar du förutom din studieplanering en mailadress och ett telefonnummer till din personliga mentor som du kan kontakta vid problem. Du som läser våra kurser har tillgång till denna support dagtid (vardagar) mellan kl 10-16. Här finns personer med goda ämneskunskaper och som även har möjlighet att lösa dina tekniska problem. Din mentor vill inget hellre än att hjälpa dig! Vårt mål är att alla som registrerar sig på kursen ska klara av den. För oss finns inga dumma frågor - däremot är det dumt att inte ställa en fråga om du har en!

I kursens diskussionsforum kan du när som helst på dygnet ställa din fråga. Våra mentorer svarar senast nästkommande dag, men här kan du även få hjälp av eller hjälpa dina kurskamrater. Utnyttja också gärna forumen till att hitta studiekamrater och bilda studiegrupper!

'''KONTAKTINFORMATION'''

Våra mentorer sitter beredda att ta emot dina frågor via mail, telefon eller kursforumen. Använd i första hand din personliga mentor (kontaktuppgifterna till denna hittar du i Student Lounge)

'''Allmänna frågor'''

Telefon: 08-506 375 90

E-post: mentor@nti.se

'''INFORMATION OM EXAMINATION'''

Kursen avslutas med en skriftlig tentamen på någon (några) skrivort(er). Information med detaljer kring detta kommer att läggas upp inom kort. Datum för skriftliga tentamina hittar du under respektive kurssida.

Har du frågor och funderingar kring examinationen? Tveka inte att kontakta din mentor!

'''BEHÖRIGHET'''

Grundläggande behörighet och Gymnasiets Matematik A-D
(för 5B4048 krävs även KTHs kurs 5B4047 eller 5B1147)

'''KURSREGISTRERING'''

När du anmält dig till kursen kommer vi att registrera dig precis som på vanliga campuskurser.

'''Omregistrering'''

Om du har påbörjat kursen en tidigare termin så har du kvar din studieplats och är välkommen att fortsätta arbeta med kursen under läsåret tills du är färdig. Om du önskar utnyttja denna möjlighet är det bara att fortsätta att jobba i kursen genom att logga in med ditt användarnamn. Om du behöver intyg på omregistrering, var god kontakta oss via e-post info@math.se och ange ditt namn och personnummer samt vilka kurser din begäran gäller.

'''Avbrott'''

Följande gäller för avbrott på högskolekurser: Har studenten inte alls - eller knappt - börjat har vi möjlighet vi anmäla detta studieavbrott. Sker avanmälan inom tre veckor från kursstart registreras "tidigt avbrott" vilket gör det möjligt att söka om till samma kurs (i de fall där det är viktigt). Vid senare datum registreras "avbrott" som medför att man begär omregistrering om man vill återuppta sina studier på kursen.

Lärandemål för moment 1

2007-05-29T13:58:44Z

Sammanfattning:

* Genomföra enklare induktionsbevis
* Komplexa tal:
** kunna utföra de fyra räknesätten med komplexa tal med rektangulära koordinater liksom på polär form
** lösa andragradsekvationer med komplexa koefficienter
* Polynom och algebraiska ekvationer:
** definiera delbarhet för polynom och utföra polynomdivision
** använda substition för att reducera vissa typer av polynomekvationer av högre grad till andragradsekvationer
** tolka och använda Faktorsatsen och Algebrans fundamentalsats för att hitta rötter till polynomekvationer, däribland då en komplex rot är känd eller då man vet att ekvationen har en rationell rot

Svar på övningarna 3.2.2ac och 3.2.7

2007-05-28T14:33:31Z

Sammanfattning:

3.2.2a) Bestäm avståndet mellan $P_1=(3,4)$ och $P_2=(5,7)$.

Avståndet ges av $||\vec{P_1P_2}||=||(2,3)||=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

3.2.2c) Bestäm avståndet mellan $P_1=(7,-5,1)$ och $P_2=(-7,-2,1)$.

Avståndet ges av $||\vec{P_1P_2}||=||(-14,3,0||=\sqrt{(-14)^2+3^2+0^2}=\sqrt{205}$.

3.2.7 Låt $v=(-1,2,5)$. Bestäm att skalärer (=rella tal), $k$, som uppfyller $||kv||=4$.

Vi har att $4=||kv||=|k| ||v||=|k|\sqrt{30}$ vilket är sant om och endast om $|k|=4/\sqrt{30}$ dvs $k=\pm 4/\sqrt{30}$.