Dag 14 - Versionshistorik

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 14.18

2007-05-22T14:18:46Z

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 14.18
Rad 3:		Rad 3:
	Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner		Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner
	som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk		som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk
-	partialbråksuppdelning som förenklar integrationen av en rationell	+	''partialbråksuppdelning'' som förenklar integrationen av en rationell
	funktion.		funktion.

Rad 23:		Rad 23:

	*6.3: 19 27 29 31.		*6.3: 19 27 29 31.
		+
		+	Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 6 under rubriken "Chapter Review" sid. 365-367.

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 13.44

2007-05-22T13:44:47Z

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 13.44
Rad 1:		Rad 1:
-	==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==	+	==INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==

-	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.	+	Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner
		+	som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk
		+	partialbråksuppdelning som förenklar integrationen av en rationell
		+	funktion.

-	Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.	+	'''6.3''' Läs exempel 1-8. I exempel 3-4 har nämnaren skilda (enkla)
		+	nollställen. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex
		+	$(x^2+1)$ måste man göra en annan ansats, som i exempel 5-6. I exempel 7-8
		+	visas vad som händer om någon av faktorerna i nämnaren förekommer flera
		+	gånger (dvs nämnaren har multipla nollställen). Kom ihåg att den beskrivna
		+	tekniken endast fungerar då täljaren är av lägre grad än nämnaren, och
		+	därför bör man vid behov utföra en polynomdivision av det rationella
		+	uttrycket innan metoden används.

-	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.	+	Gör följande övningsuppgifter:

-	'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.	+	*6.3: 1 5 9 11 13 15 23.

-	Gör följande övningsuppgifter:	+	Om du har lust och tid över kan du göra följande
-	*6.1: 1 5 7 19 21.	+	övningsuppgifter som är snäppet svårare:
-	*6.2: 1 5 9 15 17.	+

-	Om du har lust och tid över kan du göra följande	+	*6.3: 19 27 29 31.
-	övningsuppgifter som är snäppet svårare:	+
-	*6.1: 15 27 31.	+
-	*6.2: 27 31 33 35.	+

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 10.15

2007-05-22T10:15:36Z

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 10.15
Rad 1:		Rad 1:
	==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==		==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==

-	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas partialintegration ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.	+	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.

-	Denna regel för att integrera en produkt härleds lätt från regeln för att derivera en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.	+	Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.

	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.		'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 10.06

2007-05-22T10:06:46Z

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 10.06
Rad 3:		Rad 3:
	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas partialintegration ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.		Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas partialintegration ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.

-	Denna regel för att integrera en produkt härleds lätt från regeln för att derivera en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger. I avsnitt 6.3 går vi igenom integration av rationella uttryck.	+	Denna regel för att integrera en produkt härleds lätt från regeln för att derivera en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.

	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.		'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.

	'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.		'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.
-
-	'''6.3''' Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk partialbråksuppdelning som förenklar integrationen av en rationell funktion. Läs exempel 1-8. I exempel 3-4 har nämnaren skilda (enkla) nollställen. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex $(x^2+1)$ måste man göra en annan ansats, som i exempel 5-6. I exempel 7-8 visas vad som händer om någon av faktorerna i nämnaren förekommer flera gånger (dvs nämnaren har multipla nollställen). Kom ihåg att den beskrivna tekniken endast fungerar då täljaren är av lägre grad än nämnaren, och därför bör man vid behov utföra en polynomdivision av det rationella uttrycket innan metoden används.

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:
	*6.1: 1 5 7 19 21.		*6.1: 1 5 7 19 21.
	*6.2: 1 5 9 15 17.		*6.2: 1 5 9 15 17.
-	*6.3: 1 5 9 11 15 23.

	Om du har lust och tid över kan du göra följande		Om du har lust och tid över kan du göra följande
Rad 20:		Rad 17:
	*6.1: 15 27 31.		*6.1: 15 27 31.
	*6.2: 27 31 33 35.		*6.2: 27 31 33 35.
-	*6.3: 19 27 29 31.

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 10.01

2007-05-22T10:01:54Z

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 10.01
Rad 1:		Rad 1:
	==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==		==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==

-	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.	+	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas partialintegration ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.

-	Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger. I avsnitt 6.3 går vi igenom integration av rationella uttryck.	+	Denna regel för att integrera en produkt härleds lätt från regeln för att derivera en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger. I avsnitt 6.3 går vi igenom integration av rationella uttryck.

	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.		'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 13.31

2007-05-21T13:31:58Z

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 13.31
Rad 3:		Rad 3:
	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.		Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.

-	Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.	+	Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger. I avsnitt 6.3 går vi igenom integration av rationella uttryck.
-		+
-	I avsnitt 6.3 går vi igenom integration av rationella uttryck.	+

	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.		'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 13.30

2007-05-21T13:30:36Z

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 13.30
Rad 21:		Rad 21:
	övningsuppgifter som är snäppet svårare:		övningsuppgifter som är snäppet svårare:
	*6.1: 15 27 31.		*6.1: 15 27 31.
-	*6.2: 27 31 35 43.	+	*6.2: 27 31 33 35.
	*6.3: 19 27 29 31.		*6.3: 19 27 29 31.

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 13.28

2007-05-21T13:28:47Z

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 13.28
Rad 4:		Rad 4:

	Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.		Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.
		+
		+	I avsnitt 6.3 går vi igenom integration av rationella uttryck.

	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.		'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.
Rad 12:		Rad 14:

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:
-	*6.1:	+	*6.1: 1 5 7 19 21.
-	*6.2:	+	*6.2: 1 5 9 15 17.
-	*6.3:	+	*6.3: 1 5 9 11 15 23.

	Om du har lust och tid över kan du göra följande		Om du har lust och tid över kan du göra följande
	övningsuppgifter som är snäppet svårare:		övningsuppgifter som är snäppet svårare:
-	*6.1:	+	*6.1: 15 27 31.
-	*6.2:	+	*6.2: 27 31 35 43.
-	*6.3:	+	*6.3: 19 27 29 31.

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 13.19

2007-05-21T13:19:02Z

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 13.19
Rad 9:		Rad 9:
	'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.		'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.

-	'''6.3''' Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk $\textit{partialbråksuppdelning}$ som förenklar integrationen av en rationell funktion. Läs exempel 1-8. I exempel 3-4 har nämnaren skilda nollställen. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex $(x^2+1)$ måste man göra en annan ansats, som i exempel 5-6. I exempel 7-8 visas vad som händer om någon av faktorerna i nämnaren förekommer flera gånger. Kom ihåg att den beskrivna tekniken endast fungerar då täljaren är av lägre grad än nämnaren, och därför bör man vid behov utföra en polynomdivision av det rationella uttrycket innan metoden används.	+	'''6.3''' Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk partialbråksuppdelning som förenklar integrationen av en rationell funktion. Läs exempel 1-8. I exempel 3-4 har nämnaren skilda (enkla) nollställen. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex $(x^2+1)$ måste man göra en annan ansats, som i exempel 5-6. I exempel 7-8 visas vad som händer om någon av faktorerna i nämnaren förekommer flera gånger (dvs nämnaren har multipla nollställen). Kom ihåg att den beskrivna tekniken endast fungerar då täljaren är av lägre grad än nämnaren, och därför bör man vid behov utföra en polynomdivision av det rationella uttrycket innan metoden används.

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 13.16

2007-05-21T13:16:40Z

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 13.16
Rad 1:		Rad 1:
-	==PARTIELL INTEGRATION==	+	==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==

	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.		Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.
Rad 9:		Rad 9:
	'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.		'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.

-	'''6.3''' Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk $\textit{partialbråksuppdelning}$ som förenklar integrationen av en rationell funktion. Läs exempel 1-8. I exempel 3-4 har nämnaren skilda nollställen. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex $x^2+1$ måste man göra en annan ansats, som i exempel 5-6. I exempel 7-8 visas vad som händer om någon av faktorerna i nämnaren förekommer flera gånger. Kom ihåg att den beskrivna tekniken endast fungerar då täljaren är av lägre grad än nämnaren, och därför bör man vid behov utföra en polynomdivision av det rationella uttrycket innan metoden används.	+	'''6.3''' Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk $\textit{partialbråksuppdelning}$ som förenklar integrationen av en rationell funktion. Läs exempel 1-8. I exempel 3-4 har nämnaren skilda nollställen. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex $(x^2+1)$ måste man göra en annan ansats, som i exempel 5-6. I exempel 7-8 visas vad som händer om någon av faktorerna i nämnaren förekommer flera gånger. Kom ihåg att den beskrivna tekniken endast fungerar då täljaren är av lägre grad än nämnaren, och därför bör man vid behov utföra en polynomdivision av det rationella uttrycket innan metoden används.

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter: