Dag 24 - Versionshistorik

http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?action=history&feed=atom&title=Dag_24 Dag 24 - Versionshistorik 2026-06-04T21:10:27Z Versionshistorik för denna sida på wikin MediaWiki 1.9.3 http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=650&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.10 2007-06-15T11:10:39Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.10</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan m på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x' '(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan m på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x' '(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx' '(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.</td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=649&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.10 2007-06-15T11:10:14Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.10</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan m på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x''(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan m på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x' '(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.</td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=648&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.09 2007-06-15T11:09:54Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.09</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>m<span style="color: red; font-weight: bold;">$ </span>på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x''(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan m på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x''(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.</td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=647&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.09 2007-06-15T11:09:24Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.09</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay''+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x''(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x''(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=646&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.09 2007-06-15T11:09:09Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.09</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>ay''+by'+cy=0<span style="color: red; font-weight: bold;">$ </span>där <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>a,b,c<span style="color: red; font-weight: bold;">$ </span>är konstanter <span style="color: red; font-weight: bold;">och speciellt $</span>a<span style="color: red; font-weight: bold;">\neq 0$ </span>kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay''+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter <span style="color: red; font-weight: bold;">(</span>a <span style="color: red; font-weight: bold;">nollskild) </span>kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>x(t)<span style="color: red; font-weight: bold;">$ </span>är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>t<span style="color: red; font-weight: bold;">$ </span>så ges som bekant accelerationen av <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>x''(t)<span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0<span style="color: red; font-weight: bold;">$ </span>(där <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>a<span style="color: red; font-weight: bold;">$ </span>och <span style="color: red; font-weight: bold;">$</span>b<span style="color: red; font-weight: bold;">$ </span>är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x''(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten <span style="color: red; font-weight: bold;">x'(t)</span>, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.</td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=645&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.06 2007-06-15T11:06:59Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.06</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay<span style="color: red; font-weight: bold;">^{</span>''<span style="color: red; font-weight: bold;">}</span>+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x''(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x''(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=644&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.06 2007-06-15T11:06:47Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.06</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay<span style="color: red; font-weight: bold;">^{</span>''<span style="color: red; font-weight: bold;">}</span>+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x''(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x''(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=643&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.06 2007-06-15T11:06:21Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.06</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra <span style="color: red; font-weight: bold;">ordingen </span>med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra <span style="color: red; font-weight: bold;">ordningen </span>med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x''(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Låt oss fästa en partikel med massan $m$ på en fjäder och sätta den i gungning. Om $x(t)$ är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden $t$ så ges som bekant accelerationen av $x''(t)$. Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten, erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen $mx''(t)+bx'(t)+ax(t)=0$ (där $a$ och $b$ är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").</td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=642&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.06 2007-06-15T11:06:05Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.06</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER==</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva<span style="color: red; font-weight: bold;">, lösa </span>och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_24&diff=641&oldid=prev KTH.SE:u1ykqz3s den 15 juni 2007 kl. 11.05 2007-06-15T11:05:19Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 15 juni 2007 kl. 11.05</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER==</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm <span style="color: red; font-weight: bold;">m m</span>. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva och förstå viktiga fenomen omkring oss. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen $ay''+by'+cy=0$ där $a,b,c$ är konstanter och speciellt $a\neq 0$ kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken). </td></tr> </table>

KTH.SE:u1ykqz3s