http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?action=history&feed=atom&title=Dag_6Dag 6 - Versionshistorik2026-06-04T21:10:37ZVersionshistorik för denna sida på wikinMediaWiki 1.9.3http://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=197&oldid=prevTanjab den 18 maj 2007 kl. 10.002007-05-18T10:00:30Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 18 maj 2007 kl. 10.00</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 11:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 11:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.1: 3 5 9 13.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>3.1: 3 5 9 13.</td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.2: 7 15.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>3.2: 7 15.</td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.3: 3 9 13 23 31.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>3.3: 3 9 13 23 31.</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.1: 11 19 25 29 35.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>3.1: 11 19 25 29 35.</td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.2: 27 29 30.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>3.2: 27 29 30.</td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.3: 17 35 43.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>3.3: 17 35 43.</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=196&oldid=prevTanjab den 18 maj 2007 kl. 09.592007-05-18T09:59:55Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 18 maj 2007 kl. 09.59</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 11:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 11:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.1: </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.1: <span style="color: red; font-weight: bold;">3 5 9 13.</span></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.2: <span style="color: red; font-weight: bold;"> </span></td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.2: <span style="color: red; font-weight: bold;">7 15.</span></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.3:</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.3: <span style="color: red; font-weight: bold;">3 9 13 23 31.</span></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.1: </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.1: <span style="color: red; font-weight: bold;">11 19 25 29 35.</span></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.2: </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.2: <span style="color: red; font-weight: bold;">27 29 30.</span></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">3.3:</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.3: <span style="color: red; font-weight: bold;">17 35 43.</span></td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=195&oldid=prevTanjab den 18 maj 2007 kl. 09.502007-05-18T09:50:49Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 18 maj 2007 kl. 09.50</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 8:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 8:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.3''' Talet e kallas de naturliga logaritmernas bas. Funktionen ln x införs här som arean av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen $y=e^x$ införs som invers till ln x och potenslagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Läs exempel 1-3 och 6-8.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.3''' Talet e kallas de naturliga logaritmernas bas. Funktionen ln x införs här som arean av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen $y=e^x$ införs som invers till ln x och potenslagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Läs exempel 1-3 och 6-8.</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.1: </td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.2: </td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.3:</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: </td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.1: </td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.2: </td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">3.3:</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=194&oldid=prevTanjab den 18 maj 2007 kl. 09.452007-05-18T09:45:08Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 18 maj 2007 kl. 09.45</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 7:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 7:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.2''' Innehållet i detta avsnitt bör dig vara välbekant: potenslagarna och logaritmlagarna. Repetera gärna!</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.2''' Innehållet i detta avsnitt bör dig vara välbekant: potenslagarna och logaritmlagarna. Repetera gärna!</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">* '''3.3''' Talet e kallas de naturliga logaritmernas bas. Funktionen ln x införs här som arean av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen $y=e^x$ införs som invers till ln x och potenslagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Läs exempel 1-3<span style="color: red; font-weight: bold;">, </span>6-8.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.3''' Talet e kallas de naturliga logaritmernas bas. Funktionen ln x införs här som arean av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen $y=e^x$ införs som invers till ln x och potenslagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Läs exempel 1-3 <span style="color: red; font-weight: bold;">och </span>6-8.</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=193&oldid=prevTanjab den 18 maj 2007 kl. 09.192007-05-18T09:19:43Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 18 maj 2007 kl. 09.19</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.1''' Inverterbara (one-to-one) funktioner. Definition 1 innebär just att funktionen är one-to-one (och därmed inverterbar) om det till varje x-värde finns precis ett y-värde. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.1''' Inverterbara (one-to-one) funktioner. Definition 1 innebär just att funktionen är one-to-one (och därmed inverterbar) om det till varje x-värde finns precis ett y-värde. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4.</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">* '''3.2''' Innehållet i detta avsnitt bör dig vara välbekant: <span style="color: red; font-weight: bold;">exponentlagarna </span>och logaritmlagarna. Repetera gärna!</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.2''' Innehållet i detta avsnitt bör dig vara välbekant: <span style="color: red; font-weight: bold;">potenslagarna </span>och logaritmlagarna. Repetera gärna!</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">* '''3.3''' <span style="color: red; font-weight: bold;"> Här införs funktionen </span>ln x som <span style="color: red; font-weight: bold;">area </span>av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x <span style="color: red; font-weight: bold;"> som antar värdet 0 för x = 1</span>. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen införs som invers till ln x och <span style="color: red; font-weight: bold;">exponentiallagarna </span>(Sats 3) följer av logaritmlagarna. <span style="color: red; font-weight: bold;">Man definierar talet e genom e = exp 1 och visar att exp x = ex. Sambandet (def. 7, s. 189) är viktig. Någon gång kan du ha användning av logaritmisk derivering.</span></td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.3''' <span style="color: red; font-weight: bold;">Talet e kallas de naturliga logaritmernas bas. Funktionen </span>ln x <span style="color: red; font-weight: bold;">införs här </span>som <span style="color: red; font-weight: bold;">arean </span>av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen <span style="color: red; font-weight: bold;">$y=e^x$ </span>införs som invers till ln x och <span style="color: red; font-weight: bold;">potenslagarna </span>(Sats 3) följer av logaritmlagarna. Läs exempel 1-3, 6-8.</td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Läs exempel 1-3, 6-8.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=192&oldid=prevTanjab den 18 maj 2007 kl. 09.082007-05-18T09:08:46Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 18 maj 2007 kl. 09.08</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">* '''3.1''' <span style="color: red; font-weight: bold;">I detta avsnitt behandlas inverterbara </span>(one-to-one) funktioner. <span style="color: red; font-weight: bold;"> </span>Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.1''' <span style="color: red; font-weight: bold;">Inverterbara </span>(one-to-one) funktioner. <span style="color: red; font-weight: bold;">Definition 1 innebär just att funktionen är one-to-one (och därmed inverterbar) om det till varje x-värde finns precis ett y-värde. </span>Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4.</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">* '''3.2''' <span style="color: red; font-weight: bold;">Ingår </span>i <span style="color: red; font-weight: bold;">inledande kurs</span>. Repetera gärna <span style="color: red; font-weight: bold;">avsnittet.</span></td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.2''' <span style="color: red; font-weight: bold;">Innehållet </span>i <span style="color: red; font-weight: bold;">detta avsnitt bör dig vara välbekant: exponentlagarna och logaritmlagarna</span>. Repetera gärna<span style="color: red; font-weight: bold;">!</span></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.3''' Här införs funktionen ln x som area av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x som antar värdet 0 för x = 1. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen införs som invers till ln x och exponentiallagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Man definierar talet e genom e = exp 1 och visar att exp x = ex. Sambandet (def. 7, s. 189) är viktig. Någon gång kan du ha användning av logaritmisk derivering.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.3''' Här införs funktionen ln x som area av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x som antar värdet 0 för x = 1. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen införs som invers till ln x och exponentiallagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Man definierar talet e genom e = exp 1 och visar att exp x = ex. Sambandet (def. 7, s. 189) är viktig. Någon gång kan du ha användning av logaritmisk derivering.</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Läs exempel 1-3, 6-8.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Läs exempel 1-3, 6-8.</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=191&oldid=prevTanjab den 18 maj 2007 kl. 08.582007-05-18T08:58:16Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 18 maj 2007 kl. 08.58</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">UNDER BEARBETNING!!!</span></td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.1''' <span style="color: red; font-weight: bold;">I detta avsnitt behandlas inverterbara </span>(one-to-one) funktioner. <span style="color: red; font-weight: bold;"> </span>Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. <span style="color: red; font-weight: bold;">Läs även igenom det sista avsnittet om inversens </span>derivata och exempel 1<span style="color: red; font-weight: bold;">-</span>4.</td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">* '''3.1''' <span style="color: red; font-weight: bold;">Inverterbara </span>(one-to-one) funktioner<span style="color: red; font-weight: bold;">, def. 1. Invers funktion, def. 2, och dess egenskaper, s. 175</span>. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. <span style="color: red; font-weight: bold;">Inversens </span>derivata<span style="color: red; font-weight: bold;">, mitt på s. 177 </span>och <span style="color: red; font-weight: bold;">förklarande figur 3.6.</span></td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">Läs </span>exempel 1<span style="color: red; font-weight: bold;">, 2, </span>4.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.2''' Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.2''' Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet.</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=190&oldid=prevTanjab den 16 maj 2007 kl. 15.102007-05-16T15:10:25Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 16 maj 2007 kl. 15.10</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER==</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton<span style="color: red; font-weight: bold;">. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna</span>. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">UNDER BEARBETNING!!!</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">UNDER BEARBETNING!!!</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=189&oldid=prevTanjab den 16 maj 2007 kl. 15.072007-05-16T15:07:33Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 16 maj 2007 kl. 15.07</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER==</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. </td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">UNDER BEARBETNING!!!</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.1''' Inverterbara (one-to-one) funktioner, def. 1. Invers funktion, def. 2, och dess egenskaper, s. 175. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Inversens derivata, mitt på s. 177 och förklarande figur 3.6.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">* '''3.1''' Inverterbara (one-to-one) funktioner, def. 1. Invers funktion, def. 2, och dess egenskaper, s. 175. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Inversens derivata, mitt på s. 177 och förklarande figur 3.6.</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4047_0701/index.php?title=Dag_6&diff=188&oldid=prevTanjab den 16 maj 2007 kl. 14.482007-05-16T14:48:31Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 16 maj 2007 kl. 14.48</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER==</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.1''' Inverterbara (one-to-one) funktioner, def. 1. Invers funktion, def. 2, och dess egenskaper, s. 175. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Inversens derivata, mitt på s. 177 och förklarande figur 3.6.</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Läs exempel 1, 2, 4.</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.2''' Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet.</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">* '''3.3''' Här införs funktionen ln x som area av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x som antar värdet 0 för x = 1. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen införs som invers till ln x och exponentiallagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Man definierar talet e genom e = exp 1 och visar att exp x = ex. Sambandet (def. 7, s. 189) är viktig. Någon gång kan du ha användning av logaritmisk derivering.</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Läs exempel 1-3, 6-8.</td></tr>
</table>Tanjab