Dag 10 - Versionshistorik

Tanjab den 7 juni 2007 kl. 14.56

Tanjab — Thu, 07 Jun 2007 14:56:08 GMT

← Äldre version		Versionen från 7 juni 2007 kl. 14.56
Rad 30:		Rad 30:

	'''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det		'''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det
-	$\textit{exakta}$ funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation	+	''exakta'' funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation
	avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi		avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi
	kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en		kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 14.09

Tanjab — Tue, 22 May 2007 14:09:16 GMT

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 14.09
Rad 7:		Rad 7:
	problem och lös!		problem och lös!

-	Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa $\textit{räta	+	Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa ''räta
-	linje}$ som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som	+	linje'' som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som
	bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för		bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för
-	$\textit{lineariseringen}$ av $f$ kring $a$. Denna utgör en	+	''lineariseringen'' av $f$ kring $a$. Denna utgör en
-	$\textit{linjär approximation}$ av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har	+	''linjär approximation'' av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har
	alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom (en rät linje). Denna		alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom (en rät linje). Denna
	metod, som tas upp i 4.7, kan användas när $f(a)$ och $f'(a)$ är kända.		metod, som tas upp i 4.7, kan användas när $f(a)$ och $f'(a)$ är kända.
Rad 46:		Rad 46:
	* 4.5: 11 19 37 40 41.		* 4.5: 11 19 37 40 41.
	* 4.7: 11 13 17 31.		* 4.7: 11 13 17 31.
		+
		+	Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 4 under rubriken "Chapter Review" sid. 270-273.

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 13.37

Tanjab — Tue, 22 May 2007 13:37:49 GMT

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 13.37
Rad 1:		Rad 1:
-	==ANDRADERIVATOR, ASYMPTOTER OCH KURVRITNING==	+	==EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER==

-	Det som är så fantastiskt med matematiken är att det som en gång bevisats	+	Idag kommer vi bland annat att lösa olika praktiska problem av
-	för alltid är sant och därmed förevigat i den matematiska forskningen.	+	min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som
-	Matematiken är kumulativ till sin natur, och man kan alltid använda	+	exempel 4 i avsnitt 4.5. Det finns också intressanta tillämpningar inom
-	tidigare bevisade resultat för att komma vidare själv. Detta kan jämföras	+	andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget
-	med den tragiska situationen i mer världslig forskning där exempelvis	+	problem och lös!
-	upptäckten av en ny partikel eller ett roterande femdimensionellt membran kan rasera flera års ansträngningar och publicerade artiklar kring universums uppbyggnad.	+

-	'''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. Läs igenom hela detta avsnitt, som på den gamla goda tiden var en självklar del i kursböckerna redan på gymnasiet, och kanske är det än idag (?). På sin ålders höst när man samlat in data om allt mellan himmel och jord kan det vara lämpligt att skissera grafer som illustrerar intressanta skeden i livet istället för att skriva dagbok.	+	Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa $\textit{räta
		+	linje}$ som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som
		+	bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för
		+	$\textit{lineariseringen}$ av $f$ kring $a$. Denna utgör en
		+	$\textit{linjär approximation}$ av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har
		+	alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom (en rät linje). Denna
		+	metod, som tas upp i 4.7, kan användas när $f(a)$ och $f'(a)$ är kända.
		+	Man kan erhålla ännu bättre approximationer av $f$ för $x$ nära $a$ genom
		+	att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator
		+	sammanfaller med $f$:s (högre ordningens) derivator i $a$ - under
		+	förutsättning att de existerar givetvis. Dessa (optimala) polynom av högre
		+	grad som används för att approximera $f$ nära en given punkt kallas
		+	Taylorpolynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir
		+	approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens
		+	skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med
		+	trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys.

-	'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".	+	'''4.5''' I avsnittet behandlas max/min-problem där man själv måste
		+	formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar
		+	lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom
		+	exempel 1-5.

-	Övninsuppgifter:	+	'''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det
		+	$\textit{exakta}$ funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation
		+	avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi
		+	kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en
		+	viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten.
		+	Läs igenom hela detta avsnitt.

-	* 4.3: 5 7 9 11 25 27.	+	Övninsuppgifter:
-	* 4.4: 7 13 19 21 37.	+

-	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:	+	* 4.5: 1 3 7 21.
		+	* 4.7: 1 3 5 7 15.

-	* 4.3: 19 21 35 37.	+	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är
-	* 4.4: 41.	+	snäppet svårare:
		+
		+	* 4.5: 11 19 37 40 41.
		+	* 4.7: 11 13 17 31.

Tanjab den 18 maj 2007 kl. 13.47

Tanjab — Fri, 18 May 2007 13:47:50 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.47
Rad 8:		Rad 8:
	upptäckten av en ny partikel eller ett roterande femdimensionellt membran kan rasera flera års ansträngningar och publicerade artiklar kring universums uppbyggnad.		upptäckten av en ny partikel eller ett roterande femdimensionellt membran kan rasera flera års ansträngningar och publicerade artiklar kring universums uppbyggnad.

-	'''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. Läs igenom hela detta avsnitt.	+	'''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. Läs igenom hela detta avsnitt, som på den gamla goda tiden var en självklar del i kursböckerna redan på gymnasiet, och kanske är det än idag (?). På sin ålders höst när man samlat in data om allt mellan himmel och jord kan det vara lämpligt att skissera grafer som illustrerar intressanta skeden i livet istället för att skriva dagbok.

	'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".		'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".

Tanjab den 18 maj 2007 kl. 13.42

Tanjab — Fri, 18 May 2007 13:42:12 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.42
Rad 15:		Rad 15:

	* 4.3: 5 7 9 11 25 27.		* 4.3: 5 7 9 11 25 27.
-	* 4.4:	+	* 4.4: 7 13 19 21 37.

	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:		Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

	* 4.3: 19 21 35 37.		* 4.3: 19 21 35 37.
-	* 4.4:	+	* 4.4: 41.

Tanjab den 18 maj 2007 kl. 13.31

Tanjab — Fri, 18 May 2007 13:31:00 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.31
Rad 14:		Rad 14:
	Övninsuppgifter:		Övninsuppgifter:

-	* 4.3:	+	* 4.3: 5 7 9 11 25 27.
	* 4.4:		* 4.4:

	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:		Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

-	* 4.3:	+	* 4.3: 19 21 35 37.
	* 4.4:		* 4.4:

Tanjab den 18 maj 2007 kl. 13.28

Tanjab — Fri, 18 May 2007 13:28:14 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.28
Rad 8:		Rad 8:
	upptäckten av en ny partikel eller ett roterande femdimensionellt membran kan rasera flera års ansträngningar och publicerade artiklar kring universums uppbyggnad.		upptäckten av en ny partikel eller ett roterande femdimensionellt membran kan rasera flera års ansträngningar och publicerade artiklar kring universums uppbyggnad.

-	'''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. I detta avsnitt ingår bara det så kallade andraderivatatestet, formulerat i Sats 6, samt det efterföljande exemplet 3. Men för allmänbildningens skull kan det vara bra att skumma igenom även början på avsnittet.	+	'''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. Läs igenom hela detta avsnitt.

	'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".		'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".
Rad 14:		Rad 14:
	Övninsuppgifter:		Övninsuppgifter:

-	4.3: 1 3 5 9 11.	+	* 4.3:
-	4.4: 3 5 9 13 19 27.	+	* 4.4:
		+
	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:		Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

-	4.3: 15 17 19.	+	* 4.3:
-	4.4: 31 35 41 43.	+	* 4.4:

Tanjab den 18 maj 2007 kl. 13.25

Tanjab — Fri, 18 May 2007 13:25:27 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.25
Rad 11:		Rad 11:

	'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".		'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".
		+
		+	Övninsuppgifter:
		+
		+	4.3: 1 3 5 9 11.
		+	4.4: 3 5 9 13 19 27.
		+	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
		+
		+	4.3: 15 17 19.
		+	4.4: 31 35 41 43.

Tanjab den 18 maj 2007 kl. 13.21

Tanjab — Fri, 18 May 2007 13:21:19 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.21
Rad 10:		Rad 10:
	'''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. I detta avsnitt ingår bara det så kallade andraderivatatestet, formulerat i Sats 6, samt det efterföljande exemplet 3. Men för allmänbildningens skull kan det vara bra att skumma igenom även början på avsnittet.		'''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. I detta avsnitt ingår bara det så kallade andraderivatatestet, formulerat i Sats 6, samt det efterföljande exemplet 3. Men för allmänbildningens skull kan det vara bra att skumma igenom även början på avsnittet.

-	'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".	+	'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching".
-		+
-	'''4.5''' I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem. Man måste själv formulera problemen matematiskt.	+
-	Läs exempel 1-5.	+
-		+
-	'''4.7''' Formeln för linjär approximation (dvs. approximation av en funktionsgraf med dess tangentlinje) kan skrivas	+
-		+
-	f(x) = f(a) + f´(a)(x - a) + E(x) = P1 + E1(x), där E1(x)= f´´(X)(x - a)2/2	+
-		+
-	där E1 betecknar resttermen (felet) vid approximationen (av ordning 1).	+
-	Läs exempel 1-4.	+

Tanjab den 18 maj 2007 kl. 13.20

Tanjab — Fri, 18 May 2007 13:20:57 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.20
Rad 1:		Rad 1:
		+	==ANDRADERIVATOR, ASYMPTOTER OCH KURVRITNING==
		+
	Det som är så fantastiskt med matematiken är att det som en gång bevisats		Det som är så fantastiskt med matematiken är att det som en gång bevisats
	för alltid är sant och därmed förevigat i den matematiska forskningen.		för alltid är sant och därmed förevigat i den matematiska forskningen.