Dag 13 - Versionshistorik

Tanjab den 30 maj 2007 kl. 13.24

Tanjab — Wed, 30 May 2007 13:24:03 GMT

← Äldre version		Versionen från 30 maj 2007 kl. 13.24
Rad 14:		Rad 14:
	Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en		Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en
	integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man		integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man
-	behöva partialintegrera upprepade gånger, liksom man ibland måste försöka integrera de olika delarna i sin personlighet ett upprepat antal gånger innan man unikt kan definiera sitt innersta väsen och beräkna dettas tyngdpunkt.	+	behöva partialintegrera upprepade gånger, liksom man ibland måste försöka integrera de olika delarna i sin personlighet ett upprepat antal gånger innan man unikt kan definiera sitt innersta väsen och beräkna dess tyngdpunkt för att ange det på sin deklarationsblankett.

	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.		'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.

Tanjab den 30 maj 2007 kl. 13.23

Tanjab — Wed, 30 May 2007 13:23:12 GMT

← Äldre version		Versionen från 30 maj 2007 kl. 13.23
Rad 14:		Rad 14:
	Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en		Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en
	integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man		integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man
-	behöva partialintegrera upprepade gånger.	+	behöva partialintegrera upprepade gånger, liksom man ibland måste försöka integrera de olika delarna i sin personlighet ett upprepat antal gånger innan man unikt kan definiera sitt innersta väsen och beräkna dettas tyngdpunkt.

	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.		'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 14.17

Tanjab — Tue, 22 May 2007 14:17:32 GMT

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 14.17
Rad 3:		Rad 3:
	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna		Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna
	integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas		integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas
-	$\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två	+	''partialintegration'' ("integration by parts"). Nämligen, om två
	funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och		funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och
	$F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int		$F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int
	f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.		f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.

-	Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från	+	Denna regel för att ''integrera'' en produkt härleds lätt från
-	regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera	+	regeln för att ''derivera'' en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera
	att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta		att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta
	den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$.		den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$.

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 13.45

Tanjab — Tue, 22 May 2007 13:45:41 GMT

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 13.45
Rad 1:		Rad 1:
-	==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==	+	==PARTIELL INTEGRATION OCH INVERSA SUBSTITUTIONER==

	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna		Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna

Tanjab den 22 maj 2007 kl. 13.42

Tanjab — Tue, 22 May 2007 13:42:50 GMT

← Äldre version		Versionen från 22 maj 2007 kl. 13.42
Rad 1:		Rad 1:
-	==VARIABELSUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR==	+	==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==

-	I dag tittar vi på olika integrationstekniker.	+	Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna
-	Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna,}$	+	integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas
-	$\textit{men han har inte knäckt dem."}$	+	$\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två
		+	funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och
		+	$F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int
		+	f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.

-		+	Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från
-	'''5.6''' Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många	+	regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera
-	övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken substitution som är lämplig. Läs exempel 3-9.	+	att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta
		+	den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$.
		+	Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en
		+	integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man
		+	behöva partialintegrera upprepade gånger.

-	'''5.7''' Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4.	+	'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.
		+
		+	'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$
		+	substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det
		+	vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:
		+	*6.1: 1 5 7 19 21.
		+	*6.2: 1 5 9 15 17.

-	* 5.6: 1 3 5 7 9 19 21 23.	+	Om du har lust och tid över kan du göra följande
-	* 5.7: 3 5 11 19.	+	övningsuppgifter som är snäppet svårare:
-		+	*6.1: 15 27 31.
-	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:	+	*6.2: 27 31 33 35.
-		+
-	* 5.6: 11 17 45.	+
-	* 5.7: 25 27 29.	+

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 11.43

Tanjab — Mon, 21 May 2007 11:43:05 GMT

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 11.43
Rad 7:		Rad 7:

	'''5.6''' Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många		'''5.6''' Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många
-	övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken substitution som är lämplig. Och glöm inte att repetition är kunskapens moder! Läs exempel 3-9.	+	övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken substitution som är lämplig. Läs exempel 3-9.

	'''5.7''' Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4.		'''5.7''' Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4.

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 11.42

Tanjab — Mon, 21 May 2007 11:42:06 GMT

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 11.42
Rad 1:		Rad 1:
-	==SUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR==	+	==VARIABELSUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR==

	I dag tittar vi på olika integrationstekniker.		I dag tittar vi på olika integrationstekniker.

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 11.41

Tanjab — Mon, 21 May 2007 11:41:40 GMT

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 11.41
Rad 9:		Rad 9:
	övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken substitution som är lämplig. Och glöm inte att repetition är kunskapens moder! Läs exempel 3-9.		övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken substitution som är lämplig. Och glöm inte att repetition är kunskapens moder! Läs exempel 3-9.

-	'''5.7''' Beräkning av area mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt.	+	'''5.7''' Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4.
-	Läs exempel 1-4.	+

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:

-	* 5.6:	+	* 5.6: 1 3 5 7 9 19 21 23.
-	* 5.7:	+	* 5.7: 3 5 11 19.

	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:		Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

-	* 5.6:	+	* 5.6: 11 17 45.
-	* 5.7:	+	* 5.7: 25 27 29.

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 11.34

Tanjab — Mon, 21 May 2007 11:34:37 GMT

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 11.34
Rad 14:		Rad 14:
	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:

-	* 5.6: 3 7.	+	* 5.6:
-	* 5.7: 1 7.	+	* 5.7:

	Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:		Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

-	* 5.6: 13.	+	* 5.6:
-	* 5.7: 11 13 15 17.	+	* 5.7:

Tanjab den 21 maj 2007 kl. 11.30

Tanjab — Mon, 21 May 2007 11:30:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 21 maj 2007 kl. 11.30
Rad 2:		Rad 2:

	I dag tittar vi på olika integrationstekniker.		I dag tittar vi på olika integrationstekniker.
-	Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna, men han har inte knäckt dem."}$	+	Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna,}$
		+	$\textit{men han har inte knäckt dem."}$