Envariabelanalys - Nya sidor [sv]

Adams:Solutions

KTH.SE:u1qh5fat — Mon, 28 Jan 2008 11:20:10 GMT

Sammanfattning:

=Calculus=
==Chapter 1 - Limits and Continuity==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 1.2
|-
|

*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.2.13]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.2.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.2.36]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 1.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.13]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel1.pdf Adams 1.3.36]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 1.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 1.4.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 1.4.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 1.4.30]
|}

|}

==Chapter 2 - Differentiation==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.1.24]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.2.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.2.25]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.2.47]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel2.pdf Adams 2.2.48]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.3.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.3.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.3.40]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.11]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.25]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.36]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.4.40]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.28]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.32]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.42]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.5.58]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.6.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.6.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.6.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.6.12]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.8.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel3.pdf Adams 2.8.28]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 2.9
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.9.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.9.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel4.pdf Adams 2.9.17]
|}

|}

==Chapter 3 - Transcendental Functions==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 3.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.1.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.1.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.1.24]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 3.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.40]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.42]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel5.pdf Adams 3.3.61]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 3.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel6.pdf Adams 3.5.34]
|}
|}

==Chapter 4 - Some Applications of Derivatives==
[ [[#Calculus|Upp]] ]

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.30]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.32]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.36]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.42]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.2.44]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.3.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.3.28]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel8.pdf Adams 4.3.32]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.7
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.7.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.7.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.7.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.7.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel9.pdf Adams 4.8.29]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 4.9
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.4 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.6 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.8 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.10 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.12 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.14 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.18 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.20 ]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 4.9.24 ]
|}

|}

==Chapter 5 - Integration==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.1.24]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.2.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.3.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel11.pdf Adams 5.3.12]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.11]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.4.30]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.28]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.30]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.38]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.42]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel12.pdf Adams 5.5.46]

|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.6.28]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 5.7
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.7.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.7.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.7.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 5.7.30]
|}

|}
==Chapter 6 - Techniques of Integration==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 6.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.13]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel13.pdf Adams 6.1.32]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 6.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.2.26]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 6.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel14.pdf Adams 6.3.20]
|}

|}

==Chapter 7 - Applications of Integration==
[ [[#Calculus|Upp]] ]
==Chapter 8 - Conics, Parametric Curves, and Polar Curves==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 8.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.2.7]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 8.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.3.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.3.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.3.20]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 8.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.4.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.4.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.4.14]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 8.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.5.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel1.pdf Adams 8.5.18]
|}

|}

==Chapter 9 - Sequences, Series, and Power Series==
[ [[#Calculus|Upp]] ]

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.1.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.1.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.1.26]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.2.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel16.pdf Adams 9.3.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.4.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.4.8]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel17.pdf Adams 9.5.28]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 9.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 9.8.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 9.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel10.pdf Adams 9.8.10]
|}

|}

==Chapter 10 - Vectors and Coordinate Geometry in 3-Space==
[ [[#Calculus|Upp]] ]
==Chapter 11 - Vector Functions and Curves==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 11.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.1.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.1.15]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.1.16]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 11.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.3.19]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 11.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.4.5]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 11.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel2.pdf Adams 11.5.4]
|}

|}

==Chapter 12 - Partial Differentiation==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.5]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel3.pdf Adams 12.1.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.2.11]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.2.14]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.5]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.22]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.3.24]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel4.pdf Adams 12.4.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.5]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.15]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.5.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.6.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.6.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel5.pdf Adams 12.6.16]
|}

| 

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.7
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.17]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.7.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.11]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel6.pdf Adams 12.8.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 12.9
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 12.9.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 12.9.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 12.9.12]
|}

|}

==Chapter 13 - Applications of Partial Derivtives==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 13.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.18]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel7.pdf Adams 13.1.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 13.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.2.17]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 13.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel8.pdf Adams 13.3.18]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 13.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 13.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 13.5.7]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 13.5.10]
|}
|}

==Chapter 14 - Multiple Integration==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel9.pdf Adams 14.1.20]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.2.28]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel10.pdf Adams 14.3.4]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.4.32]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel11.pdf Adams 14.5.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.6.20]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.6.24]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.6.26]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.6.28]
|}

| 

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 14.7
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.7.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.7.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.7.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel12.pdf Adams 14.7.8]
|}

|}

==Chapter 15 - Vector Fields==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.1.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.2
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.2.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.2.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.2.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel13.pdf Adams 15.2.10]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.3.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.3.7]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.12]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.16]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel14.pdf Adams 15.4.22]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.5.14]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.5.15]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 15.6
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel15.pdf Adams 15.6.12]
|}

|}

==Chapter 16 - Vector Calculus==
[ [[#Calculus|Upp]] ]


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 16.1
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.1.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.1.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.1.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.1.8]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 16.3
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.3.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.3.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.3.7]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel16.pdf Adams 16.3.8]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 16.4
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.4.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.4.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.4.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.4.12]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 16.5
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.5.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.5.4]
*[http://www.math.kth.se/~tek/flervarre00/exempel17.pdf Adams 16.5.6]
|}

|}
==Chapter 17 - Ordinary Differential Equations==
[ [[#Calculus|Upp]] ]

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 17.7
|-
|

*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.7.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.7.6]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.7.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.7.14]

|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | 17.8
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.8.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.8.8]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.8.10]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel7.pdf Adams 17.8.12]
|}

|}

==Appendix==
[ [[#Calculus|Upp]] ]

{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px"
|-valign="top"
|


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | Appendix III
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel18.pdf Adams App III.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel18.pdf Adams App III.4]
|}

| 


{| class="wikitable" cellpadding="4px" cellspacing="2px" style="text-align:left;"
|-
| style="text-align:center; background:#CAFF70;" | Appendix IV
|-
|
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel18.pdf Adams App IV.2]
*[http://www.math.kth.se/~tek/envarre99/exempel18.pdf Adams App IV.6]
|}

|}

Exempellösningar

Per Alexanderson — Wed, 25 Jul 2007 12:06:30 GMT

Sammanfattning: /* Anmärkningar */

[[Huvudsida|Tillbaka till huvudsidan.]]

'''Som mentor/lärare så blir man ibland tvungen att lösa tal i kursboken, då flitiga elever frågar på dessa. Dessa lösningar är ju synd och skam att sitta och gömma, så här hamnar de.'''

==Calculus s 485: Uppgift 9.12.14==

[[Bild:9.12-14.gif]]

Lank kursplanering

Mikael — Tue, 10 Jul 2007 10:10:54 GMT

Sammanfattning: Ny sida: ==Kursplanering== Kursplaneringen återfinns i samma plattform som diagnoserna, klicka på länken '''Kursplanering & diagnoser''' i Student Lounge. Under varje dag finns en kryssruta fö...

==Kursplanering==

Kursplaneringen återfinns i samma plattform som diagnoserna, klicka på länken '''Kursplanering & diagnoser''' i Student Lounge.

Under varje dag finns en kryssruta för att ange om du anser dig klar med dagens beting. Dina noteringar här styr påminnelsemeddelanden och den gröna skalan i Student Lounge.

Lärandemål Modul 5

KTH.SE:u1ykqz3s — Fri, 08 Jun 2007 09:59:50 GMT

Sammanfattning:

* Beräkna generaliserade integraler och kunna tillämpa majorantprincipen (comparison theorem) samt kunna tillämpa satsen som rör konvergens av sk p-integraler.
* Lösa linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter och kunna använda detta för att lösa begynnelsevärdesproblem. Känna till viktiga begrepp som karakteristiska ekvationen (auxiliary equation), homogen resp. inhomogen ODE samt allmän- och partikulärlösning.

Lärandemål Modul 4

KTH.SE:u1ykqz3s — Fri, 08 Jun 2007 09:57:37 GMT

Sammanfattning:

* Kunna Taylors formel samt med hjälp av denna bestämma funktioners Taylorutveckling med restterm.
* Behärska L'Hospitals regler.
* Talföljder - förstå innebörden av begreppen konvergens, absolutkonvergens och divergens samt kunna beräkna gränsvärdet av konvergenta (även oändliga) talföljder. Beräkna en geometrisk summa samt känna till den harmoniska serien och att denna är divergent.
* Kunna avgöra konvergens av serier i enkla fall med hjälp av rot- resp. kvotkriteriet.
* Behärska binomialsatsen och bla kunna använda denna för att hitta Maclaurinutvecklingen av vissa funktioner.

Lärandemål Modul 3

Tanjab — Thu, 07 Jun 2007 15:22:27 GMT

Sammanfattning:

* Förstå integralens definition samt kunna integralkalkylens huvudsats.

* Kunna beräkna bestämda integraler med hjälp av primitiva funktioner, variabelsubstitution och partiell integration.

* Beräkna rotationsvolymer samt volymen av mer allmänna kroppar (tex en pyramid) genom sk "slicing".

* Beräkna båglängden av en kurva samt arean av en kropp genererad via en rotationsrörelse.

Lärandemål Modul 2

Tanjab — Thu, 07 Jun 2007 14:35:00 GMT

Sammanfattning:

* Kunna invertera funktioner och förstå den geometriska innebörden av detta, samt kunna avgöra om (eller var) en funktion är inverterbar.

* Definiera, skissera och tolka exponential- och logaritmfunktionerna, de trigonometriska funktionerna samt dessas inverser arcusfunktionerna.

* Behärska medelvärdessatsen och förstå dess geometriska betydelse.

* Använda derivatan som ett verktyg för att studera och analysera funktioner, bla utföra grafritning och hitta funktioners lokala och globala extremvärden och kunna lösa tillämpade problem (sk max/min-problem) utifrån detta.

* Förstå och kunna tillämpa linjär approximation.

Exempeltentor

Elinot — Thu, 07 Jun 2007 14:15:10 GMT

Sammanfattning:

Här hittar du exempel på tentor tagna från motsvarande kurs som gått på KTH vid tidigare tillfällen.

Det är lämpligt att räkna igenom dessa som en repetition innan den skriftliga tentan.

'''Observera att Exempeltenta 5 och Exempeltenta 6 tillåter Beta som hjälpmedel vilket EJ kommer att vara tillåtet vid detta kurstillfälle.'''

== Exempeltentor ==

* [[Media:Exempeltenta_1.pdf|Exempeltenta 1]]
* [[Media:Exempeltenta_2.pdf|Exempeltenta 2]]
* [[Media:Exempeltenta_3.pdf|Exempeltenta 3]]
* [[Media:Exempeltenta_4.pdf|Exempeltenta 4]]
* [[Media:Exempeltenta_5.pdf|Exempeltenta 5]]
* [[Media:Exempeltenta_6.pdf|Exempeltenta 6]]

== Lösningar ==

* [[Media:Exempeltenta_1_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 1]]
* [[Media:Exempeltenta_2_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 2]]
* [[Media:Exempeltenta_3_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 3]]
* [[Media:Exempeltenta_4_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 4]]
* [[Media:Exempeltenta_5_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 5]]
* [[Media:Exempeltenta_6_svar.pdf|Lösningar Exempeltenta 6]]

Lärandemål Modul 1

Tanjab — Thu, 07 Jun 2007 14:08:25 GMT

Sammanfattning:

* Kunna definitionerna samt förstå innebörden av begreppen gränsvärde, kontinuitet och derivata och förstå hur dessa begrepp är relaterade.

* Beräkna gränsvärden med hjälp av gränsvärdesdefinitionen samt kunna beräkna (även högre ordningens) derivator av (även sammansatta och implicita) funktioner genom att tillämpa kända deriveringsregler.

* Kunna beräkna den primitiva funktionen till några enkla funktioner och lösa enklare begynnelsevärdesproblem.

Kurslitteratur

Elinot — Thu, 07 Jun 2007 14:08:04 GMT

Sammanfattning:

== Kurslitteratur ==

'''R.A. Adams: Calculus, a Complete Course,'''

6th edition. 2006. Pearson Education.

ISBN10 - 0321270002

ISBN13 - 9780321270009

Det finns olika versioner av boken, varav en version med elektroniskt stödmaterial från förlaget. I denna version ingår också varje avsnitt i boken i pdf-format. Detta alternativ kan vara praktiskt t.ex. för den som redan har påbörjat motsvarande kurs tidigare och redan har någon annan kursbok. Se nedanstående ISBN. Man kan annars följa kursen utan detta stödmaterial och det är att betrakta som en typ av bredvidläsning.

Det går att köpa litteraturen via de vanliga bokhandlarna i Sverige eller direkt från förlaget till nedanstående priser (som inkluderar fri frakt inom Europa) genom att gå till deras [http://www.pearsoned.co.uk/bookshop/voucher/ Bookstore].

I rutan för "voucher code" skriver du in ZP037M och får då tillgång till en beställningssida med specialpriset.

'''Adams: Calculus: A Complete Course 6e (textbook alone)'''

ISBN10 - 0321270002

ISBN13 - 9780321270009

Price: £37.59 (fri frakt inom Europa)

'''Adams: Calculus: A Complete Course 6e with MyMathLab'''

ISBN10 - 1405846526

ISBN13 - 9781405846523

Price: £53.99 (fri frakt inom Europa)

'''MyMathLab/MyStatLab Student Access Kit for Adams 6e (MML on its own)'''

(här ingår också varje avsnitt i boken i pdf-format)

ISBN10 - 0321262522

ISBN13 - 9780321262523

Price: £20 (fri frakt inom Europa)

Kursmål

Elinot — Thu, 07 Jun 2007 14:02:54 GMT

Sammanfattning:

== Envariabelanalys - Beskrivning av kursmålen==

Webbaserad, grundläggande kurs i differential-och integralkalkyl i en variabel, med tillämpningar.

'''Kursens mål'''

Efter genomgången kurs ska studenten vara väl förtrogen med de elementära funktionerna och deras egenskaper, vara väl förtrogen med viktiga begrepp inom differential-och integralkalkyl i en variabel och behärska ämnets klassiska problemlösningsmetoder med tillämpningar. Det innebär att studenten ska kunna:

* Förstå, tolka och använda differential-och integralkalkylens grundbegrepp – reellt tal, elementär funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata, integral, serie.
* Definiera och tolka de elementära funktionerna och kunna förklara och använda deras viktigaste egenskaper i matematiska resonemang och tillämpningar, speciellt gäller detta exponentialfunktioner och logaritmer, trigonometriska och cyklometriska funktioner.
* Beräkna gränsvärden med hjälp av såväl standardgränsvärden som Taylorutveckling och l’Hospitals regel.
* Använda derivatan som ett verktyg för att studera funktioner, finna lokala och globala extrempunkter, bestämma värdemängder, utföra kurvritning etc.
* Förstå och använda Taylors formel med feluppskattning för att approximera funktioner med polynom med viss noggrannhet.
* Lösa linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter och använda dessa för att modellera vissa fysikaliska förlopp.
* Redogöra för Riemannintegralens definition, några av dess tolkningar och tillämpningar.
* Beräkna vissa bestämda integraler med hjälp av primitiva funktioner, variabelsubstitution och partiell integration.
* Använda Riemannsummor och integrationsmetoder för geometriska och andra tillämpningar.
* Avgöra om vissa generaliserade integraler och oändliga serier är konvergenta eller divergenta.

Studenten ska också ha tillägnat sig övergripande kompetenser och insikter såsom:

* Genomföra matematiska resonemang med implikationer och ekvivalenser och skriva matematisk text med variabler och parametrar, summatecken, gränsvärdes-, derivata- och intergraltecken.
* Ställa upp matematiska modeller för verkliga förlopp i termer av de grundläggande begreppen, tolka resultat och göra rimlighetsbedömningar.
* Ha insikt om hur matematikens verktyg och tänkande kommer till användning inom tillämpningar som ligger utbildningen nära.

'''Kursinnehåll'''

Reella tal, funktionsbegreppet, grafbegreppet. Elementära funktioner, enhetscirkeln, trigonometriska formler och ekvationer, exponentialfunktioner och logaritmer, potenslagar, logaritmlagar. Gränsvärde, standardgränsvärden, kontinuitet. Derivata, deriveringsregler och tillämpningar: extremvärdesproblem, kurvritning. Taylors formel med feluppskattning. Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter och deras tillämpningar, Riemannintegralen, primitiv funktion, variabelsubstitution, partiell integration, geometriska och andra tillämpningar, generaliserade integraler. Serier.

'''Förkunskaper'''

Inga särskilda förkunskaper utöver gymnasiets kurser Matematik A-D.

'''Särskilda utrustningskrav'''

Dator med Internetanslutning och webbläsare som kan hantera Flash och Java applets. Det krävs ingen installation av någon separat programvara. Studenterna får tillgång till allt de behöver genom det personliga användarnamn de får när de antagits till kursen och kursen startar.

Kursen är nätbaserad.

Dag 14.5

Tanjab — Tue, 22 May 2007 10:04:14 GMT

Sammanfattning:

==INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==

Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk partialbråksuppdelning som förenklar integrationen av en rationell funktion.

'''6.3''' Läs exempel 1-8. I exempel 3-4 har nämnaren skilda (enkla) nollställen. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex $(x^2+1)$ måste man göra en annan ansats, som i exempel 5-6. I exempel 7-8 visas vad som händer om någon av faktorerna i nämnaren förekommer flera gånger (dvs nämnaren har multipla nollställen). Kom ihåg att den beskrivna tekniken endast fungerar då täljaren är av lägre grad än nämnaren, och därför bör man vid behov utföra en polynomdivision av det rationella uttrycket innan metoden används.

Gör följande övningsuppgifter:

*6.3: 1 5 9 11 13 15 23.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:

*6.3: 19 27 29 31.

Ny sida

Annator — Tue, 15 May 2007 12:57:05 GMT

Sammanfattning: Ny sida: Ny sida

Ny sida

Kursplanering(old)

Jonasso — Thu, 03 May 2007 16:52:16 GMT

Sammanfattning: Ny sida: *Modul 1: Grundläggande begrepp. **[[Dag 1]] Appendix B: matematiskt symbolspråk, 1.1: intervall,1.2: funktioner, 1.3: absolutbelopp. **[[Dag 2]] 1.4: polynom, 1.5: rationella funktioner...

*Modul 1: Grundläggande begrepp.
**[[Dag 1]] Appendix B: matematiskt symbolspråk, 1.1: intervall,1.2: funktioner, 1.3: absolutbelopp.
**[[Dag 2]] 1.4: polynom, 1.5: rationella funktioner, 1.6: potens- och exponentialfunktioner, 1.7: logaritmer.
**[[Dag 3]] 1.8: inverser och sammansättningar, 1.9: trigonometriska funktioner, 1.10: arcusfunktioner, 1.11: hyperboliska funktioner.
**[[Dag 4]] 2.1: gränsvärden, 2.2: kontinuitet.
**[[Dag 5]] 2.3: talet e, 2.4: standardgränsvärden, 2.5.1: asymptoter.

*Modul 2: Differentialkalkyl.
**[[Dag 6]] 3.1{3.3: derivator.
**[[Dag 7]] 3.4: de elementära funktionernas derivator, 3.5: allmänna egenskaper.
**[[Dag 8]] 3.6: högre derivator, 3.8: differentialer, 4.1: kurvritning.
**[[Dag 9]] 4.2: extremvärden, 4.3: optimering, 4.4: olikheter.
**[[Dag 10]]: 8.5: linjära differentialekvationer av andra ordningen, 8.6: den homogena ekvationen.
**[[Dag 11]] 8.7: partikulärlösningar, 8.8: högre ordningar.

*Modul 3: Integralkalkyl.
**[[Dag 12]] 5.1: primitiva funktioner.
**[[Dag 13]] 5.2: partialbråksuppdelning (utom fallet då nämnaren harmultipla komplexa nollställen).
**[[Dag 14]] 5.3: rotuttryck, 5.4: trigonometriska funktioner.
**[[Dag 15]] 15 6.1{6.2: Riemannintegralen.
**[[Dag 16]] 6.3{6.4 integrationsregler.
**[[Dag 17]] 6.5: generaliserade integraler.
**[[Dag 18]] 7.1: areor, 7.2: en träds massa, 7.3: rotationsvolymer.
**[[Dag 19]] 7.4: kurvlängder (utom polär form), 7.5: rotationsytor.

*Modul 4: Numeriska serier och Taylorserier.
**[[Dag 20]] 2.5.4: serier, 7.9: integraler och summor.
**[[Dag 21]] Stencilen Kompletterande kurslitteratur om serier.
**[[Dag 22]] 9.2: Taylors formel, 9.3: standardutvecklingar, 9.4: entydighet.
**[[Dag 23]] 9.5: resttermen.
**[[Dag 24]] 9.6: gränsvärden med hjälp av Taylor och l'Hospital.
**[[Dag 25]] Repetition.

Kursplanering

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:40:11 GMT

Sammanfattning:

Kurslitteratur: R.A. Adams: Calculus, a Complete Course, 6th edition.

Klicka på den dag du vill ha läsanvisningar till, så ser du vad du ska läsa i de aktuella avsnitten och vilka övningsuppgifter som rekommenderas - alltså: Dag 1 till Dag 25 nedan är ''länkar'' du ska klicka på! Lycka till!!

== Modul 1. Gränsvärden, kontinuitet och derivata ==
[[Lärandemål Modul 1]]

* [[Dag 1]]
** 1.1 Hastighet och area
** 1.2-1.3 Gränsvärden

* [[Dag 2]]
** 1.4 Kontinuitet
** 2.1-2.2 Derivata

* [[Dag 3]]
** 2.3-2.4 Deriveringsregler

* [[Dag 4]]
** 2.5 Derivator av trigonometriska funktioner
** 2.7 Användningar av derivator
** 2.8 Högre derivator

* [[Dag 5]]
** 2.9 Implicit derivering
** 2.10 Antiderivator
** 2.11 Hastighet och acceleration

* [http://bilda.kth.se/launchCourse.do?id=2797 Prov 1]

== Modul 2. Derivator och extremvärdesproblem ==
[[Lärandemål Modul 2]]

* [[Dag 6]]
** 3.1 Inversfunktioner
** 3.2-3.3 Exponentialfunktioner och logaritmfunktioner

* [[Dag 7]]
** 3.5 Inversa trigonometriska funktioner

* [[Dag 8]]
** 2.6 Medelvärdessatsen
** 4.2 Extremvärden

* [[Dag 9]]
** 4.3-4.4 Andraderivator, asymptoter och kurvritning

* [[Dag 10]]
** 4.5 Extremvärdesproblem
** 4.7 Linjära approximationer

* [http://bilda.kth.se/launchCourse.do?id=2797 Prov 2]

== Modul 3. Integraler ==
[[Lärandemål Modul 3]]

* [[Dag 11]]
** 5.1-5.5 Riemannsummor, integralkalkylens huvudsats

* [[Dag 12]]
** 5.6-5.7 Substitution, areaberäkningar

* [[Dag 13]]
** 6.1 Partiell integration
** 6.2 Inversa substitutioner

* [[Dag 14]]
** 6.3 Integration av rationella uttryck

* [[Dag 15]]
** 7.1 Rotationsvolymer
** 7.2 Allmäna volymer
** 7.3 Båglängder, rotationsareor

* [[Dag 16]]
** 7.6-7.8 Praktiska tillämpningar av integraler

* [http://bilda.kth.se/launchCourse.do?id=2797 Prov 3]

== Modul 4. Taylors formel och Serier ==
[[Lärandemål Modul 4]]

* [[Dag 17]]
** 4.8 Taylors formel

* [[Dag 18]]
** 4.9. L'Hospitals regler

* [[Dag 19]]
** 9.1 Serier och konvergens
** 9.2 Oändliga serier

*[[Dag 20]]
** 9.3-9.4 Konvergenstest för serier

*[[Dag 21]]
** 9.5-9.7 Taylor- och Maclaurinserier.

*[[Dag 22]]
** 9.8 Binomialsatsen.

* [http://bilda.kth.se/launchCourse.do?id=2797 Prov 4]

== Modul 5. Generaliserade integraler och differentialekvationer ==
[[Lärandemål Modul 5]]

*[[Dag 23]]
** 6.5 Generaliserade integraler

*[[Dag 24]]
** 3.7 Linjära differentialekvationer

*[[Dag 25]]
** Repetition.

* [http://bilda.kth.se/launchCourse.do?id=2797 Prov 5]

Dag 25

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:32:35 GMT

Sammanfattning:

==REPETITION==

Idag är det meningen att du ska fokusera på de delar av kursen som du kanske känner att du behärskar mindre bra, och träna upp dig genom att repetera relevant text med tillhörande uppgifter. Gå gärna tillbaka till de dagar med läsövningar där de avsnitt du vill repetera behandlas. Alltså, bara för att förtydliga, det är inte meningen att du ska provocera Einstein genom att uppfinna en tidsmaskin och färdas tillbaka i tiden till just den dagen, du vill ju repetera avsnittet just för att du faktiskt inte var helt införstådd med materialet den dagen, och därför är det meningslöst att ge dig på relativitetsteorin idag - du har kanske inte ens tagit de 5 p i relativitetsteori som behövs för detta ändamål. Däremot kan du ju försöka teleportera dig själv till tentadagen för att se hur tentan ser ut i förväg. Det skulle vi på nätkurserna också gärna vilja veta, så slipper vi göra den. Men om du misslyckas med detta, och inte känner att du behöver repetera något eftersom du redan kan allt, kan du ju ta en titt på extentorna som hör till denna kurs istället. Och när du har gjort detta kan du packa ihop ditt DNA på digital form och skicka iväg det med ljusets hastighet till andra planeter så att även utomjordingarna får ta del av innehållet i kursen. Troligen kan du få hjälp av NASA, gå in på deras hemsida och boka en tid. Och glöm inte att också boka in en tid i din kalender för tentan - du har ju trots allt inte gjort den ännu.

Alltså: repetition och gamla tentor är dagens tema. Exempeltentorna hittar du på kursens huvudsida, eller [[Exempeltentor| här]].

Men liksom en elementarpartikel inte samtidigt kan ha en väldefinierad rörelsemängd och position kan inte heller du både repetera kursen och göra alla extentor samtidigt så du bör ägna några dagar åt allt detta. Och precis som observatören (troligen en experimentell fysiker) skapar verkligheten i observationsögonblicket skapar du din egen verklighet genom att satsa ordentligt på att hamra in all kunskap och logisk förmåga i ditt huvud i god tid innan tentan. Glöm inte att du kan maila eller ringa våra mentorer som vigt sina liv åt att hjälpa dig och andra kunskapstörstande studenter.

Vi på nätkurserna önskar dig ett stort lycka till på tentan!

Tack för att du följde vår kurs!

Dag 24

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:32:21 GMT

Sammanfattning:

==LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER==

En differentailekvation är en ekvation som anger relationen mellan en okänd funktion och dess derivator. Differentialekvationer används flitigt i konstruktionen av matematikska modeller av (oftast idealiserade) fysikaliska förlopp. Som exempel på tillämpningar kan nämnas populationsmodeller inom biologi, kemiska reaktioner, radioaktiva sönderfall, allsköns mekaniska problem som harmonisk svängning och pendelrörelse, ekonomiska förlopp mm. Som ni inser kan vi inte klara oss utan differentialekvationer om vi ska kunna beskriva, lösa och förstå viktiga fenomen omkring oss.

Idag ska vi syssla med linjära differentialekvationer av första och andra ordningen med konstanta koefficienter. En differentialekvation på formen ay' '+by'+cy=0 där a,b,c är konstanter (a nollskild) kallas för en andra ordningens linjär homogen differentialekvation (läs mer om terminologin i dagens avsnitt i kursboken).

Låt oss fästa en partikel med massan m på en fjäder och sätta den i gungning. Om x(t) är partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t så ges som bekant accelerationen av x' '(t). Om vi tar hänsyn till luftmotståndet också, som är proportionellt mot hastigheten x'(t), erhåller vi med hjälp av Newtons andra lag (som säger att kraften som verkar på en partikel är proportionell mot accelerationen och kroppens massa) ekvationen mx' '(t)+bx'(t)+ax(t)=0 (där a och b är positiva konstanter) - precis den typ av ekvation vi ska studera nu! Se en genomgång av fallet då b=0, dvs inget lufmotstånd, i texten som föregår Exempel 5 i avsnitt 3.7 ("Simple Harmonic Motion").

*'''3.7''' Linjära differentialekvationer av första och andra ordingen med konstanta koefficienter. Här introduceras den sk karakteristiska ekvationen (auxiliary equation). Beroende på hur rötterna till denna ekvation ser ut uppstår tre olika fall - se case I, case II och case III (skilda reella rötter, sammanfallande reella rötter samt icke-reella rötter). Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:
* 3.7: 1 3 5 7 11 13 15 25.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter som är lite svårare:
* 3.7: 19 23 31.

Dag 23

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:31:52 GMT

Sammanfattning:

==GENERALISERADE INTEGRALER==

Idag ska vi hoppa tillbaka några kapitel och titta på sk generaliserade integraler. Teorin för generaliserade integraler liknar teorin för serier, som vi ju nyss behandlat. Hittills har vi beräknat integraler där integranden är en ''begränsad'' funktion och vi hade då att göra med det som kallas '' bestämda integraler'' (proper integrals). Nu ska vi ge oss i kast med fallet där såväl integranden som integrationsintervallet kan vara oändligt och därmed ska vi generalisera integralbegreppet så som vi känner det sedan tidigare.

Det bör för övrigt här nämnas, att medan det i andra sammanhang ses som negativt att generalisera, är detta något som faktiskt både är tillåtet och tillrådligt inom matematiken, och i matematiken kan man dessutom generalisera utan att dra förhastade slutsatser. Om man generaliserar sina resultat så att de täcker så många fall som möjligt så slipper man nämligen behandla alla specialfall, särfall och psykfall var för sig.

'''6.5''' Generaliserade integraler. I detta avsnitt behandlas generaliserade integraler, uppdelade i Typ I och Typ II (Def. 1 och Def. 2), ty det är två olika saker man måste tänka på: dels kan integrationsintervallet vara obegränsat, dels kan integranden vara obegränsad i närheten av någon punkt. Läs Exempel 1-6. Sats 2 och Sats 3 är viktiga då man vill undersöka integralens konvergens. Läs Exempel 7-9.

Gör följande övningsuppgifter:
* 6.5: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 31 33 35.

Om du har tid och lust över kan du även göra följande uppgifter som är lite svårare:
* 6.5: 37 39 41 43.

Dag 22

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:31:23 GMT

Sammanfattning:

==BINOMIALSATSEN==

Naturligtvis vet du att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ - om inte ber vi dig att rannsaka ditt innersta väsen och se om detta verkligen är fritt från hoppdiskontinuiteter och kvadreringsregler. Men, om $n$ är ett positivt heltal, vad är $(a+b)^n$ för ett större värde på $n$? Binomialsatsen ger oss en allmän formel för den $n$:te potensen av ett sådant här binom (dvs en summa av två termer - därav namnet "binomialsatsen"). I detta avsnitt använder vi Taylors sats för att bevisa binomialsatsen. Vi tittar även på vad som händer om $n$ inte är ett positivt heltal. Man kan inte gå runt och idealisera världen i tron om att det bara är heltalen som räknas utan man måste ibland, för att få en heltäckande bild av den andliga upphöjdhet som präglar vår matematiska verksamhet, inkludera även andra mindre trevliga saker.

* '''9.8''' Binomialsatsen. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 2.

Gör följande övningsuppgifter:
* 9.8: 1 3 5.

Om du har lust och tid över kan du även ägna dig åt följande uppgifter:
* 9.8: 2 4 6 7.

Dag 21

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:30:59 GMT

Sammanfattning:

==TAYLOR- OCH MACLAURINSERIER==

De studenter som inte gör sina läxor kommer obönhörligen att förvisas till insidan av Poincarés hypersfär som vi nu (tack vare Perelman) vet är den enda tredimensionella figuren med en enkelt sammanhängande yta. Vi vill inte se några hoppdiskontinuiteter i dina studieritualer utan ser helst att dina studier fortgår som en kontinuerlig process utan avbrott (bortsett från måltider och sömn). Observera att dagens tema är ganska långt, men detta kompenseras mer än väl av att morgondagens ämne är kortare, så var inte orolig om du inte hinner göra alla dagens övningsuppgifter. Du hinner fortsätta imorgon på dagens tema.

Du har redan stött på ''Taylors formel'' innan som används för att approximera en given funktion med ett polynom nära en given punkt. Idag introducerar vi ''Taylorserier''.

* '''9.5''' Potensserier och konvergensradie. I samband med Taylors formel såg vi exempel på potensserier. Här dyker den geometriska serien upp igen. Sats 17 skall man känna till. Där ingår det viktiga begreppet konvergensradie. Den kan beräknas enligt formeln i rutan på s. 503. Du skall kunna använda Sats 19: Innanför konvergensintevallet får man derivera eller integrera en potensserie termvis. Läs alltså detta avsnitt fram till och med Exempel 2 samt Sats 19.

* '''9.6''' Taylor- och Maclaurinserier. Observera Definition 9 (analytisk funktion). Notera att Maclaurinserien är ett specialfall av Taylorserien, (detta trots att det var Taylor som i början av 1700-talet härledde formeln för $a=0$, medan det var Maclaurin som gav den allmäna formeln). Läs hela detta avsnitt.

* '''9.7''' Tillämpningar på Taylor- och Maclaurinserier. Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:
* 9.6: 1 3 5 7 15 17 21 23.
* 9.7: 1 3 7 23 25.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter:
* 9.6: 9 11 19 25 27.
* 9.7: 5 9 13.

Ytterligare och svårare utmaningar? Gör följande:
* 9.6: 31 37 38 39 41 43.

Dag 20

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:30:37 GMT

Sammanfattning:

==KONVERGENSTEST FÖR SERIER==

Idag går vi igenom olika konvergenstest för serier. Texten är berikad med vackra exempel som kommer att förgylla din tillvaro och underlätta för dig att lösa dagens övningsuppgifter. Du kommer att utvecklas både som människa och matematiker och förhoppningsvis kommer du att kunna utveckla alla dina egenskaper i positiva termer till en konvergent serie för att därefter beräkna dess gränsvärde.

'''9.3''' Positiva serier. Detta är det centrala avsnittet i kapitlet. Det är viktig att förstå att för positiva serier finns bara två möjligheter: antingen är seriens summa ändlig (dvs serien är konvergent) eller oändlig (dvs serien är divergent).
Integraltestet (Sats 8) är viktig och Fig. 9.4 visar varför det fungerar. Dess konsekvens i Exempel 1 (om p-serier) är ett måste för att din matematiska skolning ska hålla god kvalitet.
Sats 9, Sats 10 och Sats 11 ger de viktigaste metoderna för undersökning av konvergensen och är det finaste minnet du bör ta med dig från dagens avsnitt. Exempel 4-6 illustrerar dessa satser. Läs detta avsnitt fram till och med Sats 12 ("''Using Geometric bounds''..." ingår alltså inte).

'''9.4''' Absolutkonvergens. Här ingår Def. 5 och 6 samt Sats 13 och Exempel 1, 3, 4 och 5.

Gör följande övningsuppgifter:
* 9.3: 1 3 7 11 19 25
* 9.4: 1 3 4 9 17 23.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter som är svårare:
* 9.3: 37 39 41 43.

Dag 19

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:30:18 GMT

Sammanfattning:

==SERIER==

Idag ska vi bland annat titta på hur man beräknar en summa av oändligt många tal. Kan man det, och kan en sådan summa ha ett ändligt värde som den konvergerar mot? Om en summa inte har ett ändligt värde säger man att den divergerar. Det verkar konstigt att kunna summera upp oändligt många tal till ett ändligt tal, och Zenon var en av de gamla grekerna som brydde sitt huvud med detta. Zenons paradox (som egentligen inte är någon paradox) lyder kort att om man ska förflytta sig från en punkt till en annan så måste man först gå halva vägen, därefter hälften av återstoden osv i all oändlighet. Hur kan man då någonsin komma fram, om det inte är så att det går att summera upp ett oändligt antal små steg till ett ändligt tal? Verkligheten säger oss att man ju kan gå från en punkt till en annan, men filosoferna fick aldrig rätsida på detta och som tur var kom matematikerna till undsättning och visade (vilket alla icke-filosofer redan visste) att man faktiskt kan ta sig från en punkt till en annan inom en ändlig tidsrymd. Idag ska vi bevisa det! :-)

'''9.1''' Serier och konvergens. Introduktion om konvergens av talföljder (sequences). Läs detta avsnitt till och med Exempel 6.

'''9.2''' Oändliga serier. Konvergens av en (oädlig) serie betyder att följden av dess partialsummor konvergerar. Den geometriska serien och resultaten om den är viktiga. Exempel 4 skall man känna till: den harmoniska serien är divergent. Sats 4 ger ett test för divergens: om inte den allmänna termen går mot noll så är serien divergent. Observera att omvändningen av denna sats inte gäller, tex är den harmoniska serien divergent trots att dess allmänna term går mot noll. Läs hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:
* 9.1: 1 5 9 15 17.
* 9.2: 1 3 5 9 15 17 21.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter som är svårare:
* 9.2: 23 25 27 29 31.

Dag 18

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:29:47 GMT

Sammanfattning:

==L'HOSPITALS REGLER==

För att undvika missförstånd redan i ett tidigt skede bör det påpekas att
detta avsnitt inte har någonting att göra med den eventuella
sjukhusvistelse ni kan tycka er ha behov av nu när vi är inne på kursens
artonde dag. Att lära sig en massa regler kan kännas som att diska en
kastrull med stålull efter att ha poppat sina popcorn en timme för länge -
det tar tid och kräver hög koncentration - men som tur är gäller detta
avsnitt bara två regler, och dessa regler är mycket viktiga verktyg vid
beräkning av gränsvärden av typen $0/0$ och $\infty/\infty$.

'''4.9''' Läs om l'Hôpitals regler (Sats 12 och Sats 13) samt Exempel 2-8.

Gör följande övninsuppgifter:

*4.9: 1 3 5 9 11 13 15 17 19.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är
snäppet svårare:

*4.9: 27 29.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 4 under rubriken "Chapter Review" sid. 270-273.

Dag 17

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:29:25 GMT

Sammanfattning:

==TAYLORS FORMEL==

Under dag 10 (avsnitt 4.7) har du redan fått en liten försmak av det vi ska syssla med idag. Idag ska vi generalisera lite, och det bör i samband med detta nämnas att medan det i andra sammanhang ses som negativt att generalisera, är detta något som faktiskt både är tillåtet och tillrådligt inom matematiken, och i matematiken kan man dessutom generalisera utan att dra förhastade slutsatser. Om man generaliserar sina resultat så att de täcker så många fall som möjligt så slipper man nämligen behandla alla specialfall, särfall och psykfall var för sig. Nu svingar vi oss upp från det linjära fallet till polynom av högre grader som till och med kan vara ännu högre än den grad som råder på solens yta. Fast då får ni räkna länge och väl...

'''4.8''' Taylors formel - Sats 10 - är en generalisering av linjär approximation. Denna gång approximerar man $f$ med ett polynom $P_n$ av högre grad $n$. Detta polynom är valt så, att dess derivators värden upp till ordning $n$ sammanfaller med $f$:s i den givna punkten. Vi kan skriva detta $f(x) = P_n(x) + E_n(x)$ där approximationen $P_n(x)$ och felet $E_n(x)$ är givna i satsen.
Storleksordningen på restermen i en Taylorutveckling kan på ett bekvämt sätt beskrivas med hjälp av stort ordobegreppet (''big-O'', se Def. 9).
I detta avsnitt ingår Sats 10, Definition 9 samt Exempel 1, 2, 4, 6 och 7.

Gör följande övningsuppgifter:
* '''4.8''': 3 5 7 21 23 25.

Om du har lust och tid över kan du även ägna dig åt följande uppgifter:
* '''4.8''': 2 4 6 8 22 24 26.

Dag 7

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:29:05 GMT

Sammanfattning:

==INVERSA TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER==

Sinus och andra trigonometriska funktioner är som nämnts tidigare periodiska och därmed inte inverterbara - alla värden antas ju oändligt många gånger. I lämpliga delintervall (där de är one-to-one) kan man dock invertera dem. På så sätt får man arcusfunktionerna (även kallade de cyklometriska funktionerna).
Avsnittet bör läsas med ordentlig eftertanke - försök förstå vad det är som händer och varför. Om det kan vara till någon tröst, finns det matematiker som ägnar hela sitt yrkesverksamma liv åt att förstå vad de sysslar med och varför. Ha därför tålamod och glöm inte att din strävan efter en djupare insikt och förståelse för Guds verk kommer att ge utdelning på Tentamensdagen.

'''3.5''' Läs definitionerna 8-12 samt exempel 1, 3, 5, 7 och 9.

Övninsuppgifter:

3.5: 1 7 13 17 21 23 29.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

3.5: 47 51 53.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 3 under rubriken "Chapter Review" sid. 208-209.

Dag 16

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:26:59 GMT

Sammanfattning:

==PRAKTISKA TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER==

Tillämpningsområdena för integraler är outtömliga. Idag kommer vi att inse att våra nyvunna gedigna kunskaper inom integrationskalkyl kommer att leda oss till nya insikter inom så vitt skilda områden som fysik, finans, ekologi och sannolikhetslära!

Du behöver bara ''läsa igenom'' dagens avsnitt nedan. Det är högst frivilligt men kommer att vara väldigt givande, särskilt för dig som efter förra avsnittet undrar vad du ska med allt detta till, och om det är meningen att du ska beräkna arean av den veckade ytan på din hjärna genom att rotera kring din egen tyngdpunkt.

'''7.6-7.8''' Läs igenom - frivilligt.

Om du har lust får du gärna göra följande (högst frivilliga) uppgifter:

*7.6: 1 7.
*7.7: 1 3 5 9 17.
*7.8: 1 3 5 19.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 7 under rubriken "Chapter Review" sid. 429-432.

Dag 15

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:26:31 GMT

Sammanfattning:

==VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER (volym, area och båglängd)==

Buga er inför Adams allomfattande tekniska regelverk! Idag ska vi syssla med rotationsvolymer, båglängder och rotationsareor. Det är dags att ta ytterligare ett steg på det mänskliga intellektets trappfunktion som ska leda oss till en slutlig förståelse av Universums storslagenhet och alla buktiga och roterande ytor som är inkapslade däri och vars area och volym det är vårt oundvikliga öde att beräkna. Hittills har vi använt integraler för att beräkna en plan ytas area. Nu ska vi visa hur man faktiskt också kan beräkna arean av ett område med buktig yta och annat roligt. Säkert har du tidigare stött på formeln för arean av ett klot: $A=4\pi R^2$, där $R$ betecknar klotets radie. Men varifrån kommer denna formel? Och varifrån kommer uttrycket $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ för klotets volym?

I dessa tillämpningar är det inte meningen att ni ska fixera er vid eller memorera vissa integraler, som ni sedan likt en disciplinerad och tuktad skolelev plockar fram ur huvudet inför tentan. Det gäller istället att förstå metoden - för olika sätt att dela upp den betraktade ytan eller kroppen kan leda till olika utseenden på integralen, även om resultatet efter beräkning av integralen naturligtvis blir detsamma.

'''7.1''' Rotationsvolymer. Fig. 7.2-7.4 ger en föreställning om varför volymen kan uttryckas som integralen av area. Därefter tittar vi på områden som uppstår via rotation av en yta kring en koordinataxel, under rubriken "''Solids of Revolution''" (där "revolution" betyder "rotation" - inte den typ av revolution ni tänkte viga ert liv åt om ni inte får ut er examen). Cylindriska skal bygger på en annan idé (se Fig. 7.9 och efterföljande formel i den blå rutan). En sammanfattning av olika fall av rotationsvolymer finns i slutet på detta avsnitt, men som sagt, det är bättre att man lär sig hur dessa formler härleds i stället för att lära sig dem utantill. Läs exempel 1-8.

'''7.2''' Allmänna volymer. Här behandlas andra volymberäkningar, tex där kroppen inte kan genereras genom en rotationsrörelse. Metoden (slicing) innebär att man delar upp kroppen i "tunna skivor" vilkas area man kan bestämma, varefter man summerar upp dessa, dvs. integrerar arean. Man kan så klart använda denna metod även för att bestämma volymen av en rotationskropp (ett klot exempelvis). Läs exempel 1.

'''7.3''' Båglängder och rotationsareor. Läs avsnittet under rubriken "''Arc Length''" och "''The Arc Length of the Graph of a Function''" samt tillhörande exempel 1-2.
Läs därefter avsnittet under rubriken "Areas of Surfaces of Revolution" samt tillhörande exempel 5-6.

Gör följande övningsuppgifter:
* 7.1: 1 3 5 7.
* 7.2: 1 3 5.
* 7.3: 1 5 9 15 21 25.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:
* 7.1: 15 19 23.
* 7.2: 7 15.
* 7.3: 13 29 31 35.

Dag 14

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:26:12 GMT

Sammanfattning:

==INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK==

Här tittar vi på hur man integrerar rationella funktioner, dvs funktioner
som är en kvot mellan två polynom. Vi tar i samband med detta upp sk
''partialbråksuppdelning'' som förenklar integrationen av en rationell
funktion.

'''6.3''' Läs exempel 1-8. I exempel 3-4 har nämnaren skilda (enkla)
nollställen. Om någon faktor i nämnaren saknar reella nollställen, t ex
$(x^2+1)$ måste man göra en annan ansats, som i exempel 5-6. I exempel 7-8
visas vad som händer om någon av faktorerna i nämnaren förekommer flera
gånger (dvs nämnaren har multipla nollställen). Kom ihåg att den beskrivna
tekniken endast fungerar då täljaren är av lägre grad än nämnaren, och
därför bör man vid behov utföra en polynomdivision av det rationella
uttrycket innan metoden används.

Gör följande övningsuppgifter:

*6.3: 1 5 9 11 13 15 23.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:

*6.3: 19 27 29 31.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 6 under rubriken "Chapter Review" sid. 365-367.

Dag 13

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:25:59 GMT

Sammanfattning:

==PARTIELL INTEGRATION OCH INVERSA SUBSTITUTIONER==

Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna
integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas
''partialintegration'' ("integration by parts"). Nämligen, om två
funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och
$F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int
f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.

Denna regel för att ''integrera'' en produkt härleds lätt från
regeln för att ''derivera'' en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera
att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta
den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$.
Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en
integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man
behöva partialintegrera upprepade gånger, liksom man ibland måste försöka integrera de olika delarna i sin personlighet ett upprepat antal gånger innan man unikt kan definiera sitt innersta väsen och beräkna dess tyngdpunkt för att ange det på sin deklarationsblankett.

'''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.

'''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$
substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det
vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.

Gör följande övningsuppgifter:
*6.1: 1 5 7 19 21.
*6.2: 1 5 9 15 17.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:
*6.1: 15 27 31.
*6.2: 27 31 33 35.

Dag 12

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:25:39 GMT

Sammanfattning:

==VARIABELSUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR==

I dag tittar vi på olika integrationstekniker.
Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland
underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns
dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den
primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten
och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till
exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom
sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar,
utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord:
$\textit{"Vår Herre har skapat nötterna,}$
$\textit{men han har inte knäckt dem."}$

'''5.6''' Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man
använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med
integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna
för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många
övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken
substitution som är lämplig. Läs exempel 3-9.

'''5.7''' Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor.
Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera
vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter
beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4.

Gör följande övningsuppgifter:

* 5.6: 1 3 5 7 9 19 21 23.
* 5.7: 3 5 11 19.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är
snäppet svårare:

* 5.6: 11 17 45.
* 5.7: 25 27 29.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 5 under rubriken "Chapter Review" sid. 314-315.

Dag 11

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:25:18 GMT

Sammanfattning:

==RIEMANNSUMMOR OCH INTEGRALER==

Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration - ett område som
inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Det är centralt i
matematiken att man preciserar den exakta innebörden (den formella
definitionen) av ett begrepp innan man börjar använda det, och vi kommer
att göra detta för integraler idag. Integrering är den inversa
operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den
''primitiva funktionen'' (antiderivatan) till funktionen $f(x)$,
och vi skriver $F(x)=\int f(x)dx$. Integraler och derivator är intimt
förknippade genom det som kallas för ''Integralkalkylens Huvudsats'' - om $F'(x)=f(x)$ för $x\in[a,b]$ så gäller
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Vi inleder vårt studium med att betrakta ett område under en graf och
försöka beräkna dess area genom att dela upp området i "oändligt många
oändligt små" områden vars areor vi sedan summerar, och vi erhåller hela
arean av det betraktade området under grafen som ett ''gränsvärde''
där antalet delområden går mot oändligheten (ordet "integral" betyder
"helhet"). Denna metod behärskades redan under antiken, fast en stringent
behandling av integralbegreppet gavs först på 1800-talet av Riemann.

Ett annat område i matematiken som rönt stort intresse bland våra
folkvalda, men som vi inte kommer att ta upp här, är algebraisk topologi.
Här definieras nämligen genusbegreppet. Genus är populärt uttryckt antalet
hål på en yta, exempelvis har en kaffekopp genus 1 (pga handtaget). Det är
dock inte säkert att det är denna (korrekta) definition genusvetarna
använder sig av. Efter avslutad utbildning i matematik borde man med
lätthet kunna få jobb som konsult på Regeringskansliet.

'''5.1-5.2''' Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom
gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att uppskatta
effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med.
Avsnitt 5.1 är en introduktion till användningen av summatecknet $\sum$. Om du
redan känner till detta kan du hoppa över 5.1.
Läs igenom avsnitt 5.2 fram tom exempel 2.

'''5.3''' Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är
att då indelningen blir finare skall (för integrerbara funktioner, se Def.
3) över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, och vi erhåller då
integralen av funktionen. Sats 2 visar att denna procedur fungerar för
alla kontinuerliga funktioner. Läs exempel 2-4.

'''5.4''' Här härleds diverse egenskaper hos den bestämda integralen
(Sats 3) och Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4) kommer in i
Integralkalkylens huvudsats i nästa avsnitt. Läs igenom hela detta
avsnitt.

'''5.5''' Sats 5, Integralkalkylens huvudsats, är det som gör integralen
till ett användbart verktyg genom kopplingen till differentialkalkylen.
Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion.
Läs exempel 2, 4, 7 och 9.

Gör följande övningsuppgifter:
* 5.2: 3 7.
* 5.3: 1 7.
* 5.4: 3 7 19 27.
* 5.5: 5 9 13 17 23 39.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:
* 5.2: 13.
* 5.3: 11 13 15 17.
* 5.4: 15 21 35.
* 5.5: 19 33 45 51 53.

Dag 10

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:24:58 GMT

Sammanfattning:

==EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER==

Idag kommer vi bland annat att lösa olika praktiska problem av
min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som
exempel 4 i avsnitt 4.5. Det finns också intressanta tillämpningar inom
andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget
problem och lös!

Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa ''räta
linje'' som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som
bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för
''lineariseringen'' av $f$ kring $a$. Denna utgör en
''linjär approximation'' av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har
alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom (en rät linje). Denna
metod, som tas upp i 4.7, kan användas när $f(a)$ och $f'(a)$ är kända.
Man kan erhålla ännu bättre approximationer av $f$ för $x$ nära $a$ genom
att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator
sammanfaller med $f$:s (högre ordningens) derivator i $a$ - under
förutsättning att de existerar givetvis. Dessa (optimala) polynom av högre
grad som används för att approximera $f$ nära en given punkt kallas
Taylorpolynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir
approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens
skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med
trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys.

'''4.5''' I avsnittet behandlas max/min-problem där man själv måste
formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar
lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom
exempel 1-5.

'''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det
''exakta'' funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation
avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi
kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en
viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten.
Läs igenom hela detta avsnitt.

Övninsuppgifter:

* 4.5: 1 3 7 21.
* 4.7: 1 3 5 7 15.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är
snäppet svårare:

* 4.5: 11 19 37 40 41.
* 4.7: 11 13 17 31.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 4 under rubriken "Chapter Review" sid. 270-273.

Dag 9

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:24:42 GMT

Sammanfattning:

==ANDRADERIVATOR, ASYMPTOTER OCH KURVRITNING==

Det som är så fantastiskt med matematiken är att det som en gång bevisats
för alltid är sant och därmed förevigat i den matematiska forskningen.
Matematiken är kumulativ till sin natur, och man kan alltid använda
tidigare bevisade resultat för att komma vidare själv. Detta kan jämföras
med den tragiska situationen i mer världslig forskning där exempelvis
upptäckten av en ny partikel eller ett roterande femdimensionellt membran
kan rasera flera års ansträngningar och publicerade artiklar kring
universums uppbyggnad.

'''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med
värdefull information vad gäller funktioners uppförande. Läs igenom hela
detta avsnitt, som på den gamla goda tiden var en självklar del i
kursböckerna redan på gymnasiet, och kanske är det än idag (?). På sin
ålders höst när man samlat in data om allt mellan himmel och jord kan det
vara lämpligt att skissera grafer som illustrerar intressanta skeden i
livet istället för att skriva dagbok.

'''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom
definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå
läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal
Curve Sketching".

Övninsuppgifter:

* 4.3: 5 7 9 11 25 27.
* 4.4: 7 13 19 21 37.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är
snäppet svårare:

* 4.3: 19 21 35 37.
* 4.4: 41.

Dag 8

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:24:23 GMT

Sammanfattning:

==GLOBAL OCH LOKAL EXTREMISM==
==samt den gyllene MEDELVÄRDESSATSEN==

I vår iver att plöja vidare i matematikens snårskog hoppade vi innan över avsnitt 2.6. Det finns dock inga genvägar till sann insikt, och vi måste därför bläddra tillbaka några sidor för att lära oss ett klassiskt resultat som beundrats och hyllats av det församlade matematiska etablissemanget i hundratals år. En förståelse för matematiken i sig måste alltid föregå förståelsen av en matematiker som person, om ni nu skulle råka känna någon sådan. Vi går också igenom avsnitt 4.2 idag. Som student kan du exempelvis tänkas vara intresserad av vilka proportioner en cylinderformad ölburk bör ha för att rymma en given volym öl så att materialåtgången till burken blir så liten som möjligt (så länge burkens form inte påverkar panten naturligtvis).
Detta är ett sk extremvärdesproblem (där vi vill minimera burkens area).

'''2.6''' Medelvärdessatsen (Sats 11) är mycket viktig. Satsens geometriska betydelse framgår av figur 2.25. Figur 2.26 på samma sida visar att man inte kan ändra på någon av satsens förutsättningar. Med hjälp av medelvärdessatsen kan man dra slutsatser om en funktions avtagande/växande om man vet derivatans tecken i ett intervall - detta faktum är det viktigaste ur tillämpningssynpunkt - se Sats 12. Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen och man kan använda den för att bevisa medelvärdessatsen, se figur 2.30. Läs hela detta avsnitt (Sats 16 ej obligatorisk).

'''4.2''' Här behandlas globala och lokala extremvärden, kritiska punkter samt singulära punkter. Dessa begreppen definieras i Definition 1 och 2 samt direkt efter Definition 2. Sats 1, 2 och 3 är viktiga. Sats 3 ger en metod för att finna största och minsta värden till en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall. Läs exempel 1, 2, 3 och 5.

Övninsuppgifter:

* 2.6: 1 3 5 9 11.
* 4.2: 3 5 9 13 19 27.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

* 2.6: 15 17 19.
* 4.2: 31 35 41 43.

Dag 6

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:23:37 GMT

Sammanfattning:

==INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER==

Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna.

* '''3.1''' Inverterbara (one-to-one) funktioner. Definition 1 innebär just att funktionen är one-to-one (och därmed inverterbar) om det till varje x-värde finns precis ett y-värde. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4.

* '''3.2''' Innehållet i detta avsnitt bör dig vara välbekant: potenslagarna och logaritmlagarna. Repetera gärna!

* '''3.3''' Talet e kallas de naturliga logaritmernas bas. Funktionen ln x införs här som arean av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen $y=e^x$ införs som invers till ln x och potenslagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Läs exempel 1-3 och 6-8.

Gör följande övningsuppgifter:

* 3.1: 3 5 9 13.
* 3.2: 7 15.
* 3.3: 3 9 13 23 31.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

* 3.1: 11 19 25 29 35.
* 3.2: 27 29 30.
* 3.3: 17 35 43.

Dag 5

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:21:53 GMT

Sammanfattning:

==IMPLICIT DERIVERING OCH ANTIDERIVATOR==

Nu börjar det kanske kännas rörigt med alla nya begrepp, och du drar dig säkert till minnes termodynamikens andra huvudsats, enligt vilken entropin (dvs måttet av oordning) i ett slutet fysikaliskt system ökar med tiden, men notera då att din hjärna inte är ett slutet system utan öppet för allsköns nya intryck och matematiska influenser som vidgar dina vyer och därmed även de nätbaserade kursernas verksamhet och budget :-) Det är dock inte så svårt som det låter - med antiderivatan avses den primitiva funktionen, något som du säkert redan känner till (kärt barn har många namn).

* '''2.9''' Exempel 1-6 illustrerar hur man bestämer derivatan till en funktion y = f(x) då funktionen ges av ekvationen F(x,y) = 0.

* '''2.10''' Här studerar vi den inversa operationen till derivering. Att finna den primitiva funktionen till en given funktion är i allmänhet svårare än att finna derivatan. Detta avsnitt kan betraktas som en introduktion till avsnitt 5 som vi kommer till senare. Läs definitionerna 7 och 8 samt exempel 1-6. De två senare exemplen (5 och 6) berör differentialekvationer och begynnelsevärdesproblem.

* '''2.11''' Hastighet, fart och acceleration. Läs för ditt eget höga nöjes skull exempel 1, 3 och 5.

Gör följande övningsuppgifter:
* 2.9: 1 3 7 9.
* 2.10: 3 7 13 27.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:
* 2.9: 19 21 29.
* 2.10: 17 19 23 33.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 2 under rubriken "Chapter Review" sid. 158-160.

Dag 4

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:21:13 GMT

Sammanfattning:

==DERIVATOR AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER. HÖGRE DERIVATOR==

Under 1500- och 1600-talet började man studera fysikaliska förlopp med hjälp av matematiska metoder. De trigonometriska funktionerna är mycket användbara för att beskriva periodiska förlopp. Här kommer vi att lära oss att derivera dessa funktioner. Vi kommer också att titta på högre ordningens derivator; exempelvis är ett objekts acceleration förstaderivatan av dess hastighet och därmed andraderivatan av dess läge med avseende på tiden - dvs en derivata av ordning två. Observera att vi sparar avsnitt 2.6 till senare.

Ha hela tiden målet i sikte och glöm inte att du går denna kurs med den anspråkslösa önskningen om att förstå och beskriva Universum i all sin komplexitet (även om just detta specifikt inte finns listat bland lärandemålen) och att klara tentan.

* '''2.5''' Med hjälp av gränsvärdet i Sats 8 och en trigonometrisk identitet (exempel 1) kan man härleda derivatan till sinusfunktionen. Välkända trigonometriska formler ger tillsammans med deriveringsreglerna derivatorna för övriga trigonometriska funktioner. Läs exempel 1-5.

* '''2.7''' I detta avsnitt presenteras några intressanta tillämpningar av derivatan. Läs och fascineras av det faktum att vi kan förstå och beskriva vår omvärld med hjälp av matematik!

* '''2.8''' Högre ordningens derivator införs på naturligt sätt. Läs igenom alla exempel. Tolkning och tillämpningar följer i senare avsnitt.

Gör följande övninsuppgifter:
* 2.5: 5 7 13 29.
* 2.7: 7 11.
* 2.8: 1 9 11.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare. Observera att för uppgifterna nedan till
avsnitt 2.8 krävs kunskap om matematisk induktion.
* 2.5: 37 53 57.
* 2.7: 29 31.
* 2.8: 13 21 23.

Dag 3

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:20:24 GMT

Sammanfattning:

==DERIVERINGSREGLER==

Differential- och integralkalkylen är en av mänskligens största bedrifter. Trots att presentationen här är ganska teknisk till sin natur med en notation som har sina rötter i 1600-talet och framåt (Newton och Leibniz) döljer sig bakom allt detta en långvarig process av tankearbete som sträcker sig minst ända till antikens och Archimedes dagar 200 f.kr. Redan Archimedes kom nämligen på idén att skiva upp en kropp för att beräkna dess area och volym, även om detta ganska nyligen uppdagades och dokumenten hittades. Han är kanske mer känd för den sk "sandräknaren", här beskrivet i Nordisk Familjebok:

''"Måhända för att hos sin vän, konung Gelon, och öfriga samtida väcka häpnad inför matematikens makt, behandlar han uppgiften att angifva ett tal större än antalet sandkorn, som skulle rymmas i en sfär med centrum i solens medelpunkt och hvars yta nådde fixstjärnorna. Efter en uppskattning af de kosmiska afstånd, hvarpå problemet grundas...löser Archimedes den rent aritmetiska delen af uppgiften genom en enkel period-indelning af de hela talen, hvilken tillåter honom att efter ett ringa antal trappsteg svinga sig upp till tal af den gigantiska storleksordning, som erfordras. Genom denna aritmetiska utflykt mot oändligheten...visar sig Archimedes såsom samme mästare på talets område som på geometriens."''

På den tiden var det minsann roligt, och för att du själv ska kunna ha lika roligt och lösa dylika och mer avancerade problem måste vi nu återgå vi till dagens avsnitt. Idag ska vi lära oss att derivera produkter och kvoter av funktioner vars derivator är kända, samt att derivera sammansatta funktioner med den sk kedjeregeln.

* '''2.3''' Sats 1 säger att deriverbarhet medför kontinuitet - kom ihåg detta! Deriveringsreglerna i Sats 2, 3 och 5 måste man behärska. Läs exempel 1-4.

* '''2.4''' Kedjeregeln (Sats 6) är en hörnsten i differentialkalkylen. Den är lätt att komma ihåg med Leibniz´ beteckningar. Läs exempel 1-4 i detta avsnitt.

Övninsuppgifter:
* 2.3: 7 9 11 13 19.
* 2.4: 1 5 11 13 23 25.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:
* 2.3: 29 31 33 37.
* 2.4: 35 45 46.

Dag 2

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:19:40 GMT

Sammanfattning:

==KONTINUITET OCH DERIVATA==
I dessa tider av förgänglighet gäller det att ha förmågan att finna något beständigt och kontinuerligt som kan ledsaga en genom livets outgrundliga vägar. Kontinuerliga funktioner kallas ofta av matematiker för ''snälla'' funktioner. De lärde tvistar för närvarande exempelvis om huruvida tiden är kontinuerlig eller uppträder i små diskreta paket. Denna dag kommer vi också att gå igenom derivator. Deriverbara funktioner är också snälla. Ve den som lämnar jordelivet (eller detta avsnitt) utan att kunna derivera en elementär funktion!

Om funderingarna blir för många och din hög med obesvarade frågor börjar växa sig stadig ända upp till stratosfären eller ännu högre atmosfäriska lager, glöm inte att du då kan maila eller ringa någon av våra kompetenta mentorer. Det vore inte bra om frågorna hamnade utanför ozonlagret (som ju utgör den övre delen av stratosfären) eftersom vi på nätkurserna då inte kan garantera att mentorernas svar inte tar skada av UV-strålningen på vägen till er mailbox.

* '''1.4''' Då man infört gränsvärden är kontinuitet nästa steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder att den har gränsvärden överallt och att dessa sammanfaller med funktionsvärdena. Läs igenom
** Definitionerna 4, 5, 6 och 7.
** Satserna 5,6, 7 och 8.
** Exempel 1-6.
Sats 8 är viktig och är i grunden ett optimeringsproblem (max och min). Sats 9 om mellanliggande värden används i tillämpningar för att finna rötter till ekvationer - läs exempel 10 och 11. Kap. 1.5 är frivillig läsning för den intresserade.

* '''2.1''' I detta avsnitt förbereds derivatans införande genom en diskussion av lutning (slope) samt tangentlinjer till kurvor. Läs exempel 1-7.

* '''2.2''' Definition av derivatan. Du bör i enkla exempel kunna beräkna derivator utgående från definitionen. Läs igenom hela avsnitt 2.2 och observera Leibniz' beteckningar som gör många formler enklare och mer intuitiva.

Gör följande övninsuppgifter:
* 1.4: 13 17 21 23.
* 2.1: 1 5 9.
* 2.2: 15 19 25.
Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:
* 1.4: 31 32.
* 2.1: 19 21 23.
* 2.2: 48 49 51.

Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 1 under rubriken "Chapter Review" sid. 91-92.

Dag 1

Jonasso — Wed, 02 May 2007 17:17:57 GMT

Sammanfattning:

==GRÄNSVÄRDEN==

Nu ska du ge dig ut på en spännande resa i analysens värld! <br>
Det är få förunnat att ha en verktygslåda hemma med alla de instrument som erfordras för att förstå Universum och världsalltets innersta väsen och uppbyggnad. Denna kurs är en blygsam första uppsättning verktyg du kan tänkas behöva för att komma vidare i livet, och kanske också till nästa kurs. Vår förhoppning är att du kommer att fastna för denna ädla vetenskap liksom vi själva gjort och i all vår galenskap och forskarglädje inte kan släppa taget om.

Fundamentalt här är funktionsbegreppet. En funktion uttrycker ett (i positiv bemärkelse naturligtvis) beroende. Populärt uttryckt är en funktion en regel som till varje element x i mängden A ordnar precis ett element y i mängden B.

Kanske kan ditt poängtal på den förestående tentan uttryckas som en funktion av antalet övningsuppgifter du gör i dessa läsanvisningar (där antalet uppgifter du gör är variabeln). Men säkerligen beror ditt poängtal på flera ingående faktorer/variabler - hur bra är kursboken, hur intresserad är du av matematik, hur snäll är läraren, hur lång tid har du på dig, och hur intresserad är du av att klara av tentan egentligen? Men då är vi inne på djupt vatten - nämligen flervariabelanalys. I denna kurs ägnar vi oss åt funktioner av en variabel.

* '''1.1''' Detta avsnitt är av orienterande och motiverande karaktär. Läs Exempel 1-3.

* '''1.2-1.3''' Gränsvärdesbegreppet är fundamentalt i kursen. Jämför den formella definitionen med den informella. Den idé som ligger bakom är inte svår. En funktion har ett gränsvärde i en punkt precis då dess vänster- och högergränsvärden i punkten existerar och är lika. Vid beräkning av gränsvärden används gränsvärdeslagarna på sidan 66. I 1.3 tittar vi på gränsvärden då variabeln går mot oändligheten, samt "oändliga gränsvärlden" (infinite limits) en benämning som egentligen är lite missvisande då oändligheten ju saknar gräns per definition, och därför kallar man ibland oändliga gränsvärden för "oegentliga gränsvärden".

Läs följande exempel:
* 1.2: 1,3-9.
* 1.3: 1-10.

Gör följande övningsuppgifter:
* 1.2: 7 13 17 23 55 67.
* 1.3: 3 7 9 11 13.

Om du har lust och tid över kan du göra följande
övningsuppgifter som är snäppet svårare:
* 1.2: 25 27 29 57 67.
* 1.3: 27 29 31.