http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?action=history&feed=atom&title=Dag_17Dag 17 - Versionshistorik2026-05-07T13:45:13ZVersionshistorik för denna sida på wikinMediaWiki 1.9.3http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=371&oldid=prevTanjab den 1 juni 2007 kl. 08.532007-06-01T08:53:07Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 1 juni 2007 kl. 08.53</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 2:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 2:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. Vilken annan vetenskap erbjuder denna frihetsgrad?</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. Vilken annan vetenskap erbjuder denna frihetsgrad?</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Observera att vi ägnar dessa två avsnitt två dagar. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 8:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 9:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">15.3: 1 3 4 7 11.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>15.3: 1 3 4 7 11.</td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">15.4: 1 3 7 11 15 16 17.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>15.4: 1 3 7 11 15 16 17.</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: </td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">15.3: 13 14 15 17. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>15.3: 13 14 15 17. </td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">15.4: 22 24.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;">* </span>15.4: 22 24.</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=360&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.582007-05-31T13:58:48Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.58</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 5:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) <span style="color: red; font-weight: bold;">men som vanligt inte av den valda parameterframställningen </span>av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför är det så?</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken)<span style="color: red; font-weight: bold;">. Observera att olika parameterframställningar </span>av $C$ <span style="color: red; font-weight: bold;">kan ge upphov till motsatta orienteringar</span>. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför är det så?</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=357&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.482007-05-31T13:48:56Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.48</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. Vilken annan vetenskap erbjuder denna frihetsgrad?</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. Vilken annan vetenskap erbjuder denna frihetsgrad?</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;"> </span>'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men som vanligt inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför är det så?</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men som vanligt inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför är det så?</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=356&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.482007-05-31T13:48:44Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.48</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==LINJEINTEGRALER AV VEKTORFÄLT==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==LINJEINTEGRALER AV VEKTORFÄLT==</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält<span style="color: red; font-weight: bold;">, </span>kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. <span style="color: red; font-weight: bold;">Vilken annan vetenskap erbjuder denna frihetsgrad?</span></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"> '''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men som vanligt inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför är det så?</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men som vanligt inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför är det så?</td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=355&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.442007-05-31T13:44:13Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.44</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==LINJEINTEGRALER AV VEKTORFÄLT==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==LINJEINTEGRALER AV VEKTORFÄLT==</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Matematisk skolning är det enda som kan hålla inflationen nere och folkvettet uppe. Linjeintegraler är inkörsporten till en sund och linjär livsstil, och det visar sig idag att så länge man bara integrerar ett konservativt vektorfält, kan man ändå i sann liberalistisk anda välja vilken väg man vill. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"><span style="color: red; font-weight: bold;"> </span></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;"> </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=354&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.352007-05-31T13:35:51Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.35</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men som vanligt inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför det?</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men som vanligt inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är ''oberoende av integrationsvägen'' vilket innebär att man är fri att välja vilken integrationsväg man vill. Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför <span style="color: red; font-weight: bold;">är </span>det <span style="color: red; font-weight: bold;">så</span>?</td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=353&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.352007-05-31T13:35:21Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.35</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men som vanligt inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är oberoende av integrationsvägen vilket innebär att man är fri <span style="color: red; font-weight: bold;">at </span>välja vilken integrationsväg man vill. <span style="color: red; font-weight: bold;"> </span></td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men som vanligt inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är <span style="color: red; font-weight: bold;">''</span>oberoende av integrationsvägen<span style="color: red; font-weight: bold;">'' </span>vilket innebär att man är fri <span style="color: red; font-weight: bold;">att </span>välja vilken integrationsväg man vill. <span style="color: red; font-weight: bold;">Observera att detta påstående är ekvivalent med påståendet att ''linjeintegralen längs varje sluten kurva är noll.'' Varför det?</span></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=352&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.322007-05-31T13:32:53Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.32</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är oberoende av integrationsvägen vilket innebär att man är fri at välja vilken integrationsväg man vill. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men <span style="color: red; font-weight: bold;">som vanligt </span>inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är oberoende av integrationsvägen vilket innebär att man är fri at välja vilken integrationsväg man vill. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=351&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.322007-05-31T13:32:14Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.32</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 9:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 9:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">15.3: </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">15.3: <span style="color: red; font-weight: bold;">1 3 4 7 11.</span></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">15.4: </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">15.4: <span style="color: red; font-weight: bold;">1 3 7 11 15 16 17.</span></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter: </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter <span style="color: red; font-weight: bold;">som är snäppet svårare</span>: </td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">15.3: </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">15.3: <span style="color: red; font-weight: bold;">13 14 15 17. </span></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">15.4:</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">15.4: <span style="color: red; font-weight: bold;">22 24.</span></td></tr>
</table>Tanjabhttp://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_17&diff=350&oldid=prevTanjab den 31 maj 2007 kl. 13.242007-05-31T13:24:14Z<p></p>
<table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;">
<tr>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td>
<td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 31 maj 2007 kl. 13.24</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td>
<td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">'''15.3''' Linjeintegraler. Observera att värdet av en linjeintegral $\int_Cfds$ beror på $f$ och kurvan $C$ men inte på vilken parametrisering '''r'''(t) av $C$ man använder sig av. Notera också att om $f$ är ett skalärfält så beror värdet av linjeintegralen inte på $C$:s ''orientering'', till skillnad från fallet då $f$ är ett vektorfält. Läs igenom hela detta avsnitt. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är oberoende av integrationsvägen. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">'''15.4''' Linjeintegraler av vektorfält. Linjeintegralen $\int_CF\cdot dr$, där $F$ är ett vektorfält, beror av $C$:s orientering (vid motsatt orientering byter integralen tecken) men inte av den valda parameterframställningen av $C$. Om $C$ är en ''sluten kurva'' kallas linjeintegralen ovan för ''cirkulationen'' av $F$ längs $C$ och man använder ibland beteckningen $\oint_CF\cdot dr$. Texten under rubriken "Connected and simply connected domains" är frivillig läsning, allt annat ingår. Sats 1 om oberoende av väg ("Independence of Path") är viktig - i allmänhet beror en linjeintegrals värde på integrationsvägens utseende och inte bara av vägens ändpunkter, men linjeintegralen av ett ''konservativt'' vektorfält är oberoende av integrationsvägen <span style="color: red; font-weight: bold;">vilket innebär att man är fri at välja vilken integrationsväg man vill</span>. </td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr>
<tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter: </td></tr>
</table>Tanjab