http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?action=history&feed=atom&title=Dag_2 2026-05-07T11:30:37Z Versionshistorik för denna sida på wikin MediaWiki 1.9.3 http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=73&oldid=prev 2007-05-23T14:13:45Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.13</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 8:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 8:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''12.1''' Flervariabelfunktioner. Grundläggande. Läs igenom Definition 1 samt Exempel 1-6. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''12.1''' Flervariabelfunktioner. Grundläggande. Läs igenom Definition 1 samt Exempel 1-6. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"> </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"> </td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">*'''12.2''' Gränsvärden och kontinuitet för flervariabelfunktioner definieras i princip som för funktioner av en variabel, men notera att medan man i en dimension bara kan låta $x\to a$ från två håll, finns det i <span style="color: red; font-weight: bold;">tex </span>två dimensioner massor av sätt att låta $(x,y)\to (a,b)$ <span style="color: red; font-weight: bold;">- har </span>funktionen olika gränsvärden då $(x,y)\to (a,b)$ längs olika kurvor? Se tex Exempel 3 i detta avsnitt, här existerar inte gränsvärdet av funktionen då $(x,y)\to (0,0)$ eftersom det inte är unikt, dvs vi får olika värden då vi närmar oss $(0,0)$ från olika håll (längs olika linjer). Läs igenom hela detta avsnitt.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">*'''12.2''' Gränsvärden och kontinuitet för flervariabelfunktioner definieras i princip som för funktioner av en variabel, men notera att medan man i en dimension bara kan låta $x\to a$ från två håll, finns det i <span style="color: red; font-weight: bold;">exempelvis </span>två dimensioner massor av sätt att låta $(x,y)\to (a,b)$<span style="color: red; font-weight: bold;">. Har </span>funktionen olika gränsvärden då $(x,y)\to (a,b)$ längs olika kurvor? Se tex Exempel 3 i detta avsnitt, här existerar inte gränsvärdet av funktionen då $(x,y)\to (0,0)$ eftersom det inte är unikt, dvs vi får olika värden då vi närmar oss $(0,0)$ från olika håll (längs olika linjer). Läs igenom hela detta avsnitt.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter:</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Gör följande övningsuppgifter:</td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=72&oldid=prev 2007-05-23T14:12:54Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.12</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos ''reellvärda funktioner av en vektorvariabel'', dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är följande funktion som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$, där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos ''reellvärda funktioner av en vektorvariabel'', dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är följande funktion som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$, där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan, och vi börjar därför med att titta på <span style="color: red; font-weight: bold;">gränsvärden</span>.</td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan, och vi börjar därför med att titta på <span style="color: red; font-weight: bold;">gränsvärdesbegreppet</span>.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''12.1''' Flervariabelfunktioner. Grundläggande. Läs igenom Definition 1 samt Exempel 1-6. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''12.1''' Flervariabelfunktioner. Grundläggande. Läs igenom Definition 1 samt Exempel 1-6. </td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=71&oldid=prev 2007-05-23T14:12:23Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.12</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)=y$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)=y$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos ''reellvärda funktioner av en vektorvariabel'', dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är <span style="color: red; font-weight: bold;">funktionen </span>som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$, där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos ''reellvärda funktioner av en vektorvariabel'', dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är <span style="color: red; font-weight: bold;">följande funktion </span>som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$, där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan, och vi börjar därför med att titta på gränsvärden.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan, och vi börjar därför med att titta på gränsvärden.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=70&oldid=prev 2007-05-23T14:11:49Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.11</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 6:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan, och vi börjar därför med att titta på gränsvärden.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan, och vi börjar därför med att titta på gränsvärden.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">*'''12.1''' Flervariabelfunktioner. Läs igenom Definition 1 samt Exempel 1-6. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">*'''12.1''' Flervariabelfunktioner<span style="color: red; font-weight: bold;">. Grundläggande</span>. Läs igenom Definition 1 samt Exempel 1-6. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"> </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"> </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''12.2''' Gränsvärden och kontinuitet för flervariabelfunktioner definieras i princip som för funktioner av en variabel, men notera att medan man i en dimension bara kan låta $x\to a$ från två håll, finns det i tex två dimensioner massor av sätt att låta $(x,y)\to (a,b)$ - har funktionen olika gränsvärden då $(x,y)\to (a,b)$ längs olika kurvor? Se tex Exempel 3 i detta avsnitt, här existerar inte gränsvärdet av funktionen då $(x,y)\to (0,0)$ eftersom det inte är unikt, dvs vi får olika värden då vi närmar oss $(0,0)$ från olika håll (längs olika linjer). Läs igenom hela detta avsnitt.</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''12.2''' Gränsvärden och kontinuitet för flervariabelfunktioner definieras i princip som för funktioner av en variabel, men notera att medan man i en dimension bara kan låta $x\to a$ från två håll, finns det i tex två dimensioner massor av sätt att låta $(x,y)\to (a,b)$ - har funktionen olika gränsvärden då $(x,y)\to (a,b)$ längs olika kurvor? Se tex Exempel 3 i detta avsnitt, här existerar inte gränsvärdet av funktionen då $(x,y)\to (0,0)$ eftersom det inte är unikt, dvs vi får olika värden då vi närmar oss $(0,0)$ från olika håll (längs olika linjer). Läs igenom hela detta avsnitt.</td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=69&oldid=prev 2007-05-23T14:11:07Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.11</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 4:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos ''reellvärda funktioner av en vektorvariabel'', dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$, där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos ''reellvärda funktioner av en vektorvariabel'', dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$, där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan. </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan<span style="color: red; font-weight: bold;">, och vi börjar därför med att titta på gränsvärden</span>.</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''12.1''' Flervariabelfunktioner. Läs igenom Definition 1 samt Exempel 1-6. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">*'''12.1''' Flervariabelfunktioner. Läs igenom Definition 1 samt Exempel 1-6. </td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=68&oldid=prev 2007-05-23T14:09:40Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.09</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)=y$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)=y$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos ''reellvärda funktioner av en vektorvariabel'', dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos ''reellvärda funktioner av en vektorvariabel'', dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$<span style="color: red; font-weight: bold;">, </span>där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=67&oldid=prev 2007-05-23T14:08:38Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.08</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)=y$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)=y$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos reellvärda funktioner av en vektorvariabel, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta närmre på hur man definierar kontinuitet och gränsvärden hos <span style="color: red; font-weight: bold;">''</span>reellvärda funktioner av en vektorvariabel<span style="color: red; font-weight: bold;">''</span>, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=66&oldid=prev 2007-05-23T14:08:15Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.08</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 3:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)=y$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)=y$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta på hur man kontinuitet och gränsvärden hos reellvärda funktioner av en vektorvariabel, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta <span style="color: red; font-weight: bold;">närmre </span>på hur man <span style="color: red; font-weight: bold;">definierar </span>kontinuitet och gränsvärden hos reellvärda funktioner av en vektorvariabel, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan. </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">fråga sig hur varje enskild variabel påverkar funktionen under det att övriga variabler hålls fixa. Och, liksom i envariabelanalysen, är det viktigaste instrumentet härvidlag derivatan. </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=65&oldid=prev 2007-05-23T14:07:37Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.07</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==FLERVARIABELFUNKTIONER==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==FLERVARIABELFUNKTIONER==</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)<span style="color: red; font-weight: bold;">=y</span>$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. Naturligtvis känner du igen $\mathbb{R}^3$ som det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta på hur man kontinuitet och gränsvärden hos reellvärda funktioner av en vektorvariabel, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta på hur man kontinuitet och gränsvärden hos reellvärda funktioner av en vektorvariabel, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td></tr> </table>

Tanjab http://wiki.math.se/wikis/5b4048_0701/index.php?title=Dag_2&diff=64&oldid=prev 2007-05-23T14:06:59Z

<p></p> <table border='0' width='98%' cellpadding='0' cellspacing='4' style="background-color: white;"> <tr> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">← Äldre version</td> <td colspan='2' width='50%' align='center' style="background-color: white;">Versionen från 23 maj 2007 kl. 14.06</td> </tr> <tr><td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td> <td colspan="2" align="left"><strong>Rad 1:</strong></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==FLERVARIABELFUNKTIONER==</td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">==FLERVARIABELFUNKTIONER==</td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td>-</td><td style="background: #ffa; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt <span style="color: red; font-weight: bold;">(ett värde) </span>$y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. $\mathbb{R}^3$ <span style="color: red; font-weight: bold;">är </span>det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td><td>+</td><td style="background: #cfc; font-size: smaller;">Med en ''funktion'' $f$ menar vi en ''regel'' som till varje punkt $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$ ordnar en punkt $y=(y_1,y_2,...,y_m)\in\mathbb{R}^m.$ Dvs $f(x)=(f_1(x),f_2(x),...,f_m(x))=(y_1,y_2,...,y_m)$, där $x=(x_1,x_2,...,x_n)$. <span style="color: red; font-weight: bold;">Naturligtvis känner du igen </span>$\mathbb{R}^3$ <span style="color: red; font-weight: bold;">som </span>det vanliga tredimensionella rummet. Om $m=1$ kallar vi $f$ för ''reellvärd'', och om $m&gt;1$ sägs $f$ vara ''vektorvärd'' (med $m$ st reellvärda komponenter). </td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta på hur man kontinuitet och gränsvärden hos reellvärda funktioner av en vektorvariabel, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td><td> </td><td style="background: #eee; font-size: smaller;">Idag kommer vi att titta på hur man kontinuitet och gränsvärden hos reellvärda funktioner av en vektorvariabel, dvs funktioner som beror av flera reella variabler (och därmed en vektor). Ett exempel på en sådan funktion är funktionen som uttrycker volymen av en cirkulär cylinder: $V=V(r,h)=\pi r^2h$ där $r$ betecknar radien och $h$ höjden. När man vill studera en sådan här funktion är det naturligt att </td></tr> </table>

Tanjab