Dag 11 - Versionshistorik

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.35

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:35:36 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.35
Rad 3:		Rad 3:
	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.		Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

-	I envariabelfallet löstes detta problem genom att (här med obegränsad övre integrationsgräns) sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i det allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.	+	I envariabelfallet löstes detta problem genom att (här med obegränsad övre integrationsgräns) sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i det allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en ''positiv'' funktion på $D$.

-	* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''. Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.	+	* '''14.3''' Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt Remark. Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.34

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:34:25 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.34
Rad 3:		Rad 3:
	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.		Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

-	I envariabelfallet löstes detta problem genom att (här obegränsat integrationsområde) sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.	+	I envariabelfallet löstes detta problem genom att (här med obegränsad övre integrationsgräns) sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i det allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.

	* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''. Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.		* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''. Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.32

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:32:51 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.32
Rad 1:		Rad 1:
	==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==		==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==

-	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.	+	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

-	I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.	+	I envariabelfallet löstes detta problem genom att (här obegränsat integrationsområde) sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.

	* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''. Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.		* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''. Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.30

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:30:54 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.30
Rad 1:		Rad 1:
	==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==		==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==

-	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsade'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.	+	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

	I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.		I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.30

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:30:07 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.30
Rad 1:		Rad 1:
	==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==		==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==

-	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.	+	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden och/eller integrationsområdet är ''obegränsade'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

	I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.		I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.28

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:28:02 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.28
Rad 9:		Rad 9:
	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:

-	* 14.3:	+	* 14.3: 1 3 5 7 9 11 13.

	Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:		Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

-	* 14.3:	+	* 14.3: 2 4 6 8 10 12 14.

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.24

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:24:02 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.24
Rad 5:		Rad 5:
	I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.		I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.

-	* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''.	+	* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''. Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.
-	Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.	+

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:
Rad 14:		Rad 13:
	Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:		Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

-	* 14.3: 1	+	* 14.3:

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.22

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:22:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.22
Rad 3:		Rad 3:
	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.		Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

-	I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i fallet med dubbelintegraler.	+	I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i de allmänna fallet med dubbelintegraler. Vi kommer därför här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.
-	Vi kommer här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.	+

	* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''.		* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''.
	Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.		Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.
		+
		+	Gör följande övningsuppgifter:
		+
		+	* 14.3:
		+
		+	Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:
		+
		+	* 14.3: 1

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.19

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:19:00 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.19
Rad 1:		Rad 1:
	==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==		==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==
		+
	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.		Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 11.15

Tanjab — Mon, 28 May 2007 11:15:40 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 11.15
Rad 1:		Rad 1:
	==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==		==GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER==
-	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''.	+	Hittills har vi räknat på dubbelintegraler där funktionen $f$ och området $D$ är ''begränsade''. Om integranden eller integrationsområdet är ''obegränsat'' har vi att göra med en ''generaliserad integral''.

-	I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral.	+	I envariabelfallet löstes detta problem genom att sätta $\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_{0}^{N}f(x)dx$, alltså den generaliserade integralen beräknas som ett gränsvärde av en "vanlig" integral. Tyvärr är det inte lika enkelt i fallet med dubbelintegraler.
		+	Vi kommer här att begränsa vårt studium av generaliserade dubbelintegraler till fallet då $f$ utgörs av en positiv funktion på $D$.

	* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''.		* 14.3 Generaliserade dubbelintegraler. Läs Exempel 1-4 samt ''Remark''.
	Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.		Här ingår alltså inte "A Mean-Value Theorem for Double Integrals", även om du gärna får läsa detta stycke om du vill.