Dag 20 - Versionshistorik

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 11.08

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 11:08:59 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 11.08
Rad 5:		Rad 5:
	I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler, och därför måste vi kunna beräkna sådana.		I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler, och därför måste vi kunna beräkna sådana.

-	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3. För att erhålla en ytintegral som ett gränsvärde av en Riemannsummor behöver vi ta fram ytelementet (areaelementet) $dS$. Observera likheten mellan detta (se blå ruta sid 836) och båglängdselementet $ds$ för en kurva. Läs hela detta avsnitt fram till och med Exempel 9.	+	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3. För att erhålla en ytintegral som ett gränsvärde av Riemannsummor behöver vi ta fram ytelementet (areaelementet) $dS$. Observera likheten mellan detta (se blå ruta sid 836) och båglängdselementet $ds$ för en kurva. Läs hela detta avsnitt fram till och med Exempel 9.

	Gör följande övningsuppgifter:		Gör följande övningsuppgifter:

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 11.07

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 11:07:41 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 11.07
Rad 5:		Rad 5:
	I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler, och därför måste vi kunna beräkna sådana.		I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler, och därför måste vi kunna beräkna sådana.

-	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3. För att erhålla en ytintegral som ett gränsvärde av en Riemannsumma behöver vi ta fram ytelementet (areaelementet) $dS$. Observera likheten mellan detta (se blå ruta sid 836) och båglängdselementet $ds$ för en kurva. Läs Exempel	+	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3. För att erhålla en ytintegral som ett gränsvärde av en Riemannsummor behöver vi ta fram ytelementet (areaelementet) $dS$. Observera likheten mellan detta (se blå ruta sid 836) och båglängdselementet $ds$ för en kurva. Läs hela detta avsnitt fram till och med Exempel 9.
		+
		+	Gör följande övningsuppgifter:
		+	* 15.5: 1 3 7 9 13 15.
		+
		+	Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter:
		+	* 15.5: 2 4 8 10 14.

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 10.57

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 10:57:33 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.57
Rad 1:		Rad 1:
-	==YTINTEGRALER==	+	==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==

-	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler''. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.	+	Idag ska vi studera integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler'', och mer precist ytintegraler av skalärfält (minns att ett skalärfält är en reellvärd funktion av en vektorvariabel). En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.

-	I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler.	+	I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler, och därför måste vi kunna beräkna sådana.

-	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3.	+	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3. För att erhålla en ytintegral som ett gränsvärde av en Riemannsumma behöver vi ta fram ytelementet (areaelementet) $dS$. Observera likheten mellan detta (se blå ruta sid 836) och båglängdselementet $ds$ för en kurva. Läs Exempel

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 10.40

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 10:40:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.40
Rad 1:		Rad 1:
-	==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==	+	==YTINTEGRALER==

	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler''. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.		Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler''. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 10.35

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 10:35:59 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.35
Rad 5:		Rad 5:
	I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler.		I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler.

-	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor.	+	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3.

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 10.34

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 10:34:26 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.34
Rad 3:		Rad 3:
	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler''. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.		Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler''. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.

-	I vår iver att förstå världen upptäcker vi att det ofta uppträder fysikaliska frågeställningar som ger upphov till ytintegraler.	+	I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler.

	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor.		'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor.

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 10.34

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 10:34:02 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.34
Rad 1:		Rad 1:
	==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==		==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==

-	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.	+	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler''. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.

-	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält	+	I vår iver att förstå världen upptäcker vi att det ofta uppträder fysikaliska frågeställningar som ger upphov till ytintegraler.
		+
		+	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor.

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 10.27

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 10:27:42 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.27
Rad 1:		Rad 1:
	==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==		==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==

-	Idag ska vi titta på integraler av funktioner över ytor i det tredimensionella rummet. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.	+	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.

	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält		'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 10.27

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 10:27:22 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.27
Rad 1:		Rad 1:
	==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==		==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==

-	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.	+	Idag ska vi titta på integraler av funktioner över ytor i det tredimensionella rummet. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.

	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält		'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält

Tanjab den 1 juni 2007 kl. 10.25

Tanjab — Fri, 01 Jun 2007 10:25:03 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.25
Rad 1:		Rad 1:
	==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==		==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT==

-	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.	+	Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.

	'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält		'''15.5''' Ytintegraler av skalärfält