Dag 6 - Versionshistorik

KTH.SE:u1ykqz3s den 8 juni 2007 kl. 12.20

KTH.SE:u1ykqz3s — Fri, 08 Jun 2007 12:20:28 GMT

← Äldre version		Versionen från 8 juni 2007 kl. 12.20
Rad 3:		Rad 3:
	Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.		Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.

-	'''12.8''' Implicit derivering. Endast situationen med en kurva i två dimensioner ingår. Läs fram till och med Exempel 1 och studera Fig. 12.29 samt läs Definition 8 (Jacobideterminanten).	+	'''12.8''' Implicit derivering. Endast situationen med en yta i rummet ingår. Läs fram till och med Exempel 1 och studera Fig. 12.29 samt läs Definition 8 (Jacobideterminanten).

	'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.		'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.

Tanjab den 29 maj 2007 kl. 14.51

Tanjab — Tue, 29 May 2007 14:51:12 GMT

← Äldre version		Versionen från 29 maj 2007 kl. 14.51
Rad 3:		Rad 3:
	Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.		Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.

-	'''12.8''' Implicita funktionssatsen. Observera! Endast situationen med en kurva i två dimensioner ingår. studera Figur 12.29 samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).	+	'''12.8''' Implicit derivering. Endast situationen med en kurva i två dimensioner ingår. Läs fram till och med Exempel 1 och studera Fig. 12.29 samt läs Definition 8 (Jacobideterminanten).

	'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.		'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.

Tanjab den 29 maj 2007 kl. 14.31

Tanjab — Tue, 29 May 2007 14:31:12 GMT

← Äldre version		Versionen från 29 maj 2007 kl. 14.31
Rad 1:		Rad 1:
	==IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL==		==IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL==

-	Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$	+	Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.
-	i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.	+

-	'''12.8''' I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och att studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).	+	'''12.8''' Implicita funktionssatsen. Observera! Endast situationen med en kurva i två dimensioner ingår. studera Figur 12.29 samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).

	'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.		'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.

Tanjab den 28 maj 2007 kl. 10.37

Tanjab — Mon, 28 May 2007 10:37:48 GMT

← Äldre version		Versionen från 28 maj 2007 kl. 10.37
Rad 8:		Rad 8:
	'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.		'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.

		+	Gör följande övningsuppgifter:
	* 12.8: 1 3 7 11 13.		* 12.8: 1 3 7 11 13.
	* 12.9: 1 3 5 7 11.		* 12.9: 1 3 5 7 11.

	Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 12 under rubriken "Chapter Review" sid. 704-706.		Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 12 under rubriken "Chapter Review" sid. 704-706.

Tanjab den 24 maj 2007 kl. 15.20

Tanjab — Thu, 24 May 2007 15:20:20 GMT

← Äldre version		Versionen från 24 maj 2007 kl. 15.20
Rad 6:		Rad 6:
	'''12.8''' I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och att studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).		'''12.8''' I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och att studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).

-	'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Detta pga det sk andraderivatatestet som används vid karakterisering av kritiska punkter i avsnitt 13.1 som kommer snart. Läs igenom hela avsnitt 12.9.	+	'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.

	* 12.8: 1 3 7 11 13.		* 12.8: 1 3 7 11 13.

Tanjab den 24 maj 2007 kl. 15.18

Tanjab — Thu, 24 May 2007 15:18:45 GMT

← Äldre version		Versionen från 24 maj 2007 kl. 15.18
Rad 4:		Rad 4:
	i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.		i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.

-	'''12.8''' I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).	+	'''12.8''' I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och att studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).

	'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Detta pga det sk andraderivatatestet som används vid karakterisering av kritiska punkter i avsnitt 13.1 som kommer snart. Läs igenom hela avsnitt 12.9.		'''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Detta pga det sk andraderivatatestet som används vid karakterisering av kritiska punkter i avsnitt 13.1 som kommer snart. Läs igenom hela avsnitt 12.9.

Tanjab den 24 maj 2007 kl. 15.17

Tanjab — Thu, 24 May 2007 15:17:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 24 maj 2007 kl. 15.17
Rad 2:		Rad 2:

	Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$		Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$
-	i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas den ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.	+	i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.

	'''12.8''' I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).		'''12.8''' I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten).

Tanjab den 24 maj 2007 kl. 15.16

Tanjab — Thu, 24 May 2007 15:16:09 GMT

← Äldre version		Versionen från 24 maj 2007 kl. 15.16
Rad 1:		Rad 1:
	==IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL==		==IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL==

-	Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf.	+	Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$
-	Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$	+
	i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas den ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.		i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas den ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.

Tanjab den 24 maj 2007 kl. 15.15

Tanjab — Thu, 24 May 2007 15:15:40 GMT

← Äldre version		Versionen från 24 maj 2007 kl. 15.15
Rad 2:		Rad 2:

	Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf.		Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf.
-	Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$	+	Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$
	i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas den ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.		i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas den ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.

Tanjab den 24 maj 2007 kl. 15.05

Tanjab — Thu, 24 May 2007 15:05:45 GMT

← Äldre version		Versionen från 24 maj 2007 kl. 15.05
Rad 11:		Rad 11:
	* 12.8: 1 3 7 11 13.		* 12.8: 1 3 7 11 13.
	* 12.9: 1 3 5 7 11.		* 12.9: 1 3 5 7 11.
		+
		+	Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 12 under rubriken "Chapter Review" sid. 704-706.