Dag 4
Flervariabelanalys
| Versionen från 24 maj 2007 kl. 11.34 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 24 maj 2007 kl. 11.44 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
| $\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\cdot g'(t)$. Utan att kanske ha tänkt på det så har du ju faktiskt nyss använt dig av denna regel när du partialderiverat, ett exempel är $\frac{\partial}{\partial s}\sin(s^2t)=\cos(s^2 t)\cdot 2st$. | $\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\cdot g'(t)$. Utan att kanske ha tänkt på det så har du ju faktiskt nyss använt dig av denna regel när du partialderiverat, ett exempel är $\frac{\partial}{\partial s}\sin(s^2t)=\cos(s^2 t)\cdot 2st$. | ||
| - | När det gäller derivering av ''sammansatta funktioner i flervariabelfallet'' blir saker och ting mycket mer komplicerade, och vi kan inte (ve och fasa!) som i envariabelfallet lära oss någon enkel regel utantill som täcker alla fall, utan vi måste utarbeta en ''procedur'' för differentiering av sådana funktioner. | + | När det gäller derivering av ''sammansatta funktioner i flervariabelfallet'' blir saker och ting mycket mer komplicerade, och vi kan inte (ve och fasa!) som i envariabelfallet lära oss någon enkel regel utantill som täcker alla fall, utan vi måste utarbeta en ''procedur'' för differentiering av sådana funktioner. Det är viktigt att känna till att existensen av de partiella derivatorna i en punkt hos en flervariabelfunktion inte på något sätt innebär att funktionen är kontinuerlig i denna punkt. Detta ska jämföras med envariabelfallet där deriverbarhet alltid medför kontinuitet. |
| '''12.5''' Kedjeregeln. Detta avsnitt inleds med ett par konkreta exempel som illustrerar hur motsvarigheten till kedjeregeln i en variabel ser ut för några ganska enkla funktioner. Läs igenom Exempel 1-7. Hoppa över Eulers sats (Sats 2). Läs igenom Exempel 8-9 om högre ordningens partiella derivator. | '''12.5''' Kedjeregeln. Detta avsnitt inleds med ett par konkreta exempel som illustrerar hur motsvarigheten till kedjeregeln i en variabel ser ut för några ganska enkla funktioner. Läs igenom Exempel 1-7. Hoppa över Eulers sats (Sats 2). Läs igenom Exempel 8-9 om högre ordningens partiella derivator. | ||
| - | '''12.6''' Linjär approximation, differentierbarhet och Jacobis matris | + | '''12.6''' Läs Exempel 1 om linjär approximation (högre ordningens approximationer fås från Taylors formel i avsnitt 12.9). Idén med differentierbarhet (se Def. 5 för en funktion av två variabler) är att det ska finnas ett tangentplan - Sats 4 ger enkla villkor för detta. Läs igenom Exempel 2 |
| + | , differentierbarhet och Jacobis matris. | ||
Versionen från 24 maj 2007 kl. 11.44
KEDJEREGELN. JACOBIMATRISER
Som du säkert minns från envariabelanalysen är kedjeregeln en regel som för funktioner av en variabel ger oss derivatan av en sammansatt funktion: $\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\cdot g'(t)$. Utan att kanske ha tänkt på det så har du ju faktiskt nyss använt dig av denna regel när du partialderiverat, ett exempel är $\frac{\partial}{\partial s}\sin(s^2t)=\cos(s^2 t)\cdot 2st$.
När det gäller derivering av sammansatta funktioner i flervariabelfallet blir saker och ting mycket mer komplicerade, och vi kan inte (ve och fasa!) som i envariabelfallet lära oss någon enkel regel utantill som täcker alla fall, utan vi måste utarbeta en procedur för differentiering av sådana funktioner. Det är viktigt att känna till att existensen av de partiella derivatorna i en punkt hos en flervariabelfunktion inte på något sätt innebär att funktionen är kontinuerlig i denna punkt. Detta ska jämföras med envariabelfallet där deriverbarhet alltid medför kontinuitet.
12.5 Kedjeregeln. Detta avsnitt inleds med ett par konkreta exempel som illustrerar hur motsvarigheten till kedjeregeln i en variabel ser ut för några ganska enkla funktioner. Läs igenom Exempel 1-7. Hoppa över Eulers sats (Sats 2). Läs igenom Exempel 8-9 om högre ordningens partiella derivator.
12.6 Läs Exempel 1 om linjär approximation (högre ordningens approximationer fås från Taylors formel i avsnitt 12.9). Idén med differentierbarhet (se Def. 5 för en funktion av två variabler) är att det ska finnas ett tangentplan - Sats 4 ger enkla villkor för detta. Läs igenom Exempel 2 , differentierbarhet och Jacobis matris.
