Dag 4
Flervariabelanalys
| Versionen från 24 maj 2007 kl. 11.29 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (24 maj 2007 kl. 12.07) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (8 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | ==KEDJEREGELN. JACOBIMATRISER== | + | ==KEDJEREGELN OCH JACOBIMATRISER== |
| Som du säkert minns från envariabelanalysen är ''kedjeregeln'' en regel som för funktioner av en variabel ger oss derivatan av en sammansatt funktion: | Som du säkert minns från envariabelanalysen är ''kedjeregeln'' en regel som för funktioner av en variabel ger oss derivatan av en sammansatt funktion: | ||
| - | $\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\cdot g'(t)$. Utan att kanske ha tänkt på det så har du ju faktiskt nyss använt dig av denna regel när du partialderiverat, ett exempel är $\frac{\partial}{\partial s}\sin(s^2t)=\cos(s^2 t)\cdot 2st.$. | + | $\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\cdot g'(t)$. Utan att kanske ha tänkt på det så har du ju faktiskt nyss använt dig av denna regel när du partialderiverat, ett exempel är $\frac{\partial}{\partial s}\sin(s^2t)=\cos(s^2 t)\cdot 2st$. |
| - | Men när det gäller derivering av sammansatta funktioner i flervariabelfallet blir saker och ting mer komplicerade, och vi kan inte (ve och fasa!) lära oss någon enkel regel utantill som allmänt täcker alla fall, utan vi måste utarbeta en ''procedur'' för differentiering av sådana funktioner. | + | När det gäller derivering av ''sammansatta funktioner i flervariabelfallet'' blir saker och ting mycket mer komplicerade, och vi kan inte (ve och fasa!) som i envariabelfallet lära oss någon enkel regel utantill som täcker alla fall, utan vi måste utarbeta en ''procedur'' för differentiering av sådana funktioner. |
| - | 12.5 Kedjeregeln. Detta avsnitt inleds med ett par konkreta exempel som illustrerar hur motsvarigheten till kedjeregeln ser ut för några ganska enkla funktioner. 12.6 Linjär approximation, differentierbarhet och Jacobis matris | + | Observera att existensen av de partiella derivatorna i en punkt hos en flervariabelfunktion inte på något sätt innebär att funktionen är kontinuerlig i denna punkt. Detta ska jämföras med envariabelfallet där deriverbarhet alltid medför kontinuitet. |
| + | |||
| + | '''12.5''' Kedjeregeln. Detta avsnitt inleds med ett par konkreta exempel som illustrerar hur motsvarigheten till kedjeregeln i en variabel ser ut för några ganska enkla funktioner. Läs igenom Exempel 1-7. Hoppa över Eulers sats (Sats 2). Läs igenom Exempel 8-9 om högre ordningens partiella derivator. | ||
| + | |||
| + | '''12.6''' Läs Exempel 1 om linjär approximation (högre ordningens approximationer fås från Taylors formel i avsnitt 12.9). Idén med differentierbarhet (se Def. 5 för en funktion av två variabler) är att det ska finnas ett tangentplan - Sats 4 ger enkla villkor för detta. Sedan formuleras en kedjeregel som är representativ för en begränsad klass av funktioner (Sats 5). Läs igenom denna sats samt resterande del av detta avsnitt. Man ska känna till den sk Jacobimatrisen, som kommer att dyka upp senare i samband med variabelbyte i dubbel- och trippelintegraler. | ||
| + | |||
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 12.5: 1 3 5 7 9 15 19. | ||
| + | * 12.6: 1 5 7 13 15. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande | ||
| + | övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | * 12.5: 13 16 23. | ||
| + | * 12.6: 14 17. | ||
Nuvarande version
[redigera] KEDJEREGELN OCH JACOBIMATRISER
Som du säkert minns från envariabelanalysen är kedjeregeln en regel som för funktioner av en variabel ger oss derivatan av en sammansatt funktion: $\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))\cdot g'(t)$. Utan att kanske ha tänkt på det så har du ju faktiskt nyss använt dig av denna regel när du partialderiverat, ett exempel är $\frac{\partial}{\partial s}\sin(s^2t)=\cos(s^2 t)\cdot 2st$.
När det gäller derivering av sammansatta funktioner i flervariabelfallet blir saker och ting mycket mer komplicerade, och vi kan inte (ve och fasa!) som i envariabelfallet lära oss någon enkel regel utantill som täcker alla fall, utan vi måste utarbeta en procedur för differentiering av sådana funktioner.
Observera att existensen av de partiella derivatorna i en punkt hos en flervariabelfunktion inte på något sätt innebär att funktionen är kontinuerlig i denna punkt. Detta ska jämföras med envariabelfallet där deriverbarhet alltid medför kontinuitet.
12.5 Kedjeregeln. Detta avsnitt inleds med ett par konkreta exempel som illustrerar hur motsvarigheten till kedjeregeln i en variabel ser ut för några ganska enkla funktioner. Läs igenom Exempel 1-7. Hoppa över Eulers sats (Sats 2). Läs igenom Exempel 8-9 om högre ordningens partiella derivator.
12.6 Läs Exempel 1 om linjär approximation (högre ordningens approximationer fås från Taylors formel i avsnitt 12.9). Idén med differentierbarhet (se Def. 5 för en funktion av två variabler) är att det ska finnas ett tangentplan - Sats 4 ger enkla villkor för detta. Sedan formuleras en kedjeregel som är representativ för en begränsad klass av funktioner (Sats 5). Läs igenom denna sats samt resterande del av detta avsnitt. Man ska känna till den sk Jacobimatrisen, som kommer att dyka upp senare i samband med variabelbyte i dubbel- och trippelintegraler.
Gör följande övningsuppgifter:
- 12.5: 1 3 5 7 9 15 19.
- 12.6: 1 5 7 13 15.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 12.5: 13 16 23.
- 12.6: 14 17.
