Dag 6
Flervariabelanalys
| Versionen från 24 maj 2007 kl. 14.04 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 24 maj 2007 kl. 14.14 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
| Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. | Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. | ||
| - | Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen $F(x,y)=y^5+xy+5=0$. | + | Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0$, varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att $\nabla F(3,1)=(1,8)$ och eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att |
| - | + | ||
| '''12.8''' | '''12.8''' | ||
| '''12.9''' | '''12.9''' | ||
Versionen från 24 maj 2007 kl. 14.14
IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL
Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte explicit ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0$, varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att $\nabla F(3,1)=(1,8)$ och eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att 12.8 12.9
