Dag 5
Flervariabelanalys
| Versionen från 24 maj 2007 kl. 13.21 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (28 maj 2007 kl. 09.06) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (4 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
| ''"Måhända för att hos sin vän, konung Gelon, och öfriga samtida väcka häpnad inför matematikens makt, behandlar han uppgiften att angifva ett tal större än antalet sandkorn, som skulle rymmas i en sfär med centrum i solens medelpunkt och hvars yta nådde fixstjärnorna. Efter en uppskattning af de kosmiska afstånd, hvarpå problemet grundas...löser Archimedes den rent aritmetiska delen af uppgiften genom en enkel period-indelning af de hela talen, hvilken tillåter honom att efter ett ringa antal trappsteg svinga sig upp till tal af den gigantiska storleksordning, som erfordras. Genom denna aritmetiska utflykt mot oändligheten...visar sig Archimedes såsom samme mästare på talets område som på geometriens."'' | ''"Måhända för att hos sin vän, konung Gelon, och öfriga samtida väcka häpnad inför matematikens makt, behandlar han uppgiften att angifva ett tal större än antalet sandkorn, som skulle rymmas i en sfär med centrum i solens medelpunkt och hvars yta nådde fixstjärnorna. Efter en uppskattning af de kosmiska afstånd, hvarpå problemet grundas...löser Archimedes den rent aritmetiska delen af uppgiften genom en enkel period-indelning af de hela talen, hvilken tillåter honom att efter ett ringa antal trappsteg svinga sig upp till tal af den gigantiska storleksordning, som erfordras. Genom denna aritmetiska utflykt mot oändligheten...visar sig Archimedes såsom samme mästare på talets område som på geometriens."'' | ||
| - | På den tiden var det minsann roligt, men nu återgår vi till dagens avsnitt om gradient och riktningsderivata. | + | På den tiden var det minsann roligt, och för att du själv ska kunna ha lika roligt och lösa dylika och mer avancerade problem måste vi nu återgå vi till dagens avsnitt, om gradient och riktningsderivata. |
| - | '''12.7''' Det är lämpligt att kombinera första ordningens partiella derivator hos en funktion av flera variabler till en enda vektorfunktion som vi kallar ''gradienten,'' som betecknas grad $f$ eller $\nabla f$ | + | '''12.7''' De partiella derivatorna till en funktion av flera variabler ger var för sig information om funktionens uppförande på räta linjer parallella med de aktuella axlarna. De partiella derivatorna betraktade sammantaget är det som beskriver det lokala uppförandet av funktionen, och det är därför lämpligt att införa en vektorvärd funktion som vi kallar ''gradienten,'' och som betecknas grad $f$ eller $\nabla f$ (se Def. 6). Därefter definieras ''riktningsderivata'' (Def. 7) samt beräkning av denna med hjälp av gradienten (Sats 7). Observera tolkningen av gradienten i den blå rutan på sidan 683 (som den riktning i vilken funktionen växer/avtar snabbast). Läs igenom hela detta avsnitt. |
| - | Läs igenom hela detta avsnitt. | + | |
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 12.7: 1 5 7 11 14 15 17 19 25. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du även göra följande | ||
| + | övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | * 12.7: 29 31 33 37. | ||
Nuvarande version
[redigera] GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA
Differential- och integralkalkylen är en av mänskligens största bedrifter. Trots att presentationen här är ganska teknisk till sin natur med en notation som har sina rötter i 1600-talet och framåt (Newton och Leibniz) döljer sig bakom allt detta en lånvarig process av tankearbete som sträcker sig minst ända till antikens och Archimedes dagar 200 f.kr. Redan Archimedes kom nämligen på idén att skiva upp en kropp för att beräkna dess area och volym, även om detta ganska nyligen uppdagades och dokumenten hittades. Han är kanske mer känd för den sk "sandräknaren", här beskrivet i Nordisk Familjebok:
"Måhända för att hos sin vän, konung Gelon, och öfriga samtida väcka häpnad inför matematikens makt, behandlar han uppgiften att angifva ett tal större än antalet sandkorn, som skulle rymmas i en sfär med centrum i solens medelpunkt och hvars yta nådde fixstjärnorna. Efter en uppskattning af de kosmiska afstånd, hvarpå problemet grundas...löser Archimedes den rent aritmetiska delen af uppgiften genom en enkel period-indelning af de hela talen, hvilken tillåter honom att efter ett ringa antal trappsteg svinga sig upp till tal af den gigantiska storleksordning, som erfordras. Genom denna aritmetiska utflykt mot oändligheten...visar sig Archimedes såsom samme mästare på talets område som på geometriens."
På den tiden var det minsann roligt, och för att du själv ska kunna ha lika roligt och lösa dylika och mer avancerade problem måste vi nu återgå vi till dagens avsnitt, om gradient och riktningsderivata.
12.7 De partiella derivatorna till en funktion av flera variabler ger var för sig information om funktionens uppförande på räta linjer parallella med de aktuella axlarna. De partiella derivatorna betraktade sammantaget är det som beskriver det lokala uppförandet av funktionen, och det är därför lämpligt att införa en vektorvärd funktion som vi kallar gradienten, och som betecknas grad $f$ eller $\nabla f$ (se Def. 6). Därefter definieras riktningsderivata (Def. 7) samt beräkning av denna med hjälp av gradienten (Sats 7). Observera tolkningen av gradienten i den blå rutan på sidan 683 (som den riktning i vilken funktionen växer/avtar snabbast). Läs igenom hela detta avsnitt.
Gör följande övningsuppgifter:
- 12.7: 1 5 7 11 14 15 17 19 25.
Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 12.7: 29 31 33 37.
