Dag 16
Flervariabelanalys
| Versionen från 31 maj 2007 kl. 11.14 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (31 maj 2007 kl. 12.43) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (10 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==VEKTOR- OCH SKALÄRFÄLT== | ==VEKTOR- OCH SKALÄRFÄLT== | ||
| - | Ett ''vektorfält'' '''F(r)''' är en vektorvärd funktion av en variabel som utgörs av en vektor '''r'''$=(x,y,z)$. Både funktionens definitionsmängd och värdemängd är alltså delmängder av $\mathbb{R}^3$: '''F'''$=(F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z))$. Observera att indexeringen här representerar komponenterna i en vektor, inte partiella derivator. Funktionerna $F_1, F_2$ och $F_3$ är reellvärda funktioner av en vektorvariabel och kallas för ''skalärfält''. Många fysikaliska fenomen, som tex magnetfält och materia- och energiströmningar, beskrivs matematiskt med hjälp av just vektorfält. En tillämpning av vektorfält i två dimensioner (plana vektorfält) är exempelvis horisontell vätskeströmning eller värmeledning i en tunn platta. | + | Ett ''vektorfält'' '''F(r)''' är en vektorvärd funktion av en variabel som utgörs av en vektor '''r'''$=(x,y,z)$. Både funktionens definitionsmängd och värdemängd är alltså delmängder av $\mathbb{R}^3$: |
| + | |||
| + | '''F(r)'''$=(F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z))$. | ||
| - | Vi pratade ju innan om att man gärna skulle vilja beräkna det arbete som uträttas då en partikel rör sig i ett fält längs någon rymdkurva $\gamma$, och nu när vi kan parametrisera en sådan kurva ska vi gripa oss an detta problem. | + | Observera att indexeringen här representerar komponenterna i en vektor, inte partiella derivator. Funktionerna $F_1, F_2$ och $F_3$ är reellvärda funktioner av en vektorvariabel och kallas för ''skalärfält''. Många fysikaliska fenomen, som tex gravitationsfält, magnetfält och materia- och energiströmningar, beskrivs matematiskt med hjälp av just vektorfält. En tillämpning av vektorfält i två dimensioner (plana vektorfält) är exempelvis horisontell vätskeströmning eller värmeledning i en tunn platta. |
| + | Vi pratade ju innan om att man gärna skulle vilja beräkna det arbete som uträttas då en partikel rör sig i ett fält längs någon rymdkurva, och nu när vi lärt oss att parametrisera en sådan kurva kan vi gripa oss an detta problem. | ||
| - | '''15.1''' (tom Ex 4) Vektor- och skalärfält | + | '''15.1''' Vektor- och skalärfält. Detta avsnitt är en orientering inför senare studier av linje- och flödesintegraler. Läs Exempel 1-4. |
| - | '''15.2''' (tom sid 884 samt Ex 4) | + | |
| + | '''15.2''' Begreppen konservativt fält och potentialfunktion är viktiga (Def. 1). Kriterierna för att fält ska vara konservativa dyker upp mer naturligt i kap. 16 i samband med Greens och Stokes' formler. Läs fram till och med Exempel 5. | ||
| + | |||
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 15.1: 1 3 5 7 9. | ||
| + | * 15.2: 1 3 5 7 9. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 15.1: 2 4 6 8 10 12. | ||
| + | * 15.2: 2 4 6 8 10 12. | ||
Nuvarande version
[redigera] VEKTOR- OCH SKALÄRFÄLT
Ett vektorfält F(r) är en vektorvärd funktion av en variabel som utgörs av en vektor r$=(x,y,z)$. Både funktionens definitionsmängd och värdemängd är alltså delmängder av $\mathbb{R}^3$:
F(r)$=(F_1(x,y,z), F_2(x,y,z), F_3(x,y,z))$.
Observera att indexeringen här representerar komponenterna i en vektor, inte partiella derivator. Funktionerna $F_1, F_2$ och $F_3$ är reellvärda funktioner av en vektorvariabel och kallas för skalärfält. Många fysikaliska fenomen, som tex gravitationsfält, magnetfält och materia- och energiströmningar, beskrivs matematiskt med hjälp av just vektorfält. En tillämpning av vektorfält i två dimensioner (plana vektorfält) är exempelvis horisontell vätskeströmning eller värmeledning i en tunn platta.
Vi pratade ju innan om att man gärna skulle vilja beräkna det arbete som uträttas då en partikel rör sig i ett fält längs någon rymdkurva, och nu när vi lärt oss att parametrisera en sådan kurva kan vi gripa oss an detta problem.
15.1 Vektor- och skalärfält. Detta avsnitt är en orientering inför senare studier av linje- och flödesintegraler. Läs Exempel 1-4.
15.2 Begreppen konservativt fält och potentialfunktion är viktiga (Def. 1). Kriterierna för att fält ska vara konservativa dyker upp mer naturligt i kap. 16 i samband med Greens och Stokes' formler. Läs fram till och med Exempel 5.
Gör följande övningsuppgifter:
- 15.1: 1 3 5 7 9.
- 15.2: 1 3 5 7 9.
Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:
- 15.1: 2 4 6 8 10 12.
- 15.2: 2 4 6 8 10 12.
