Dag 22
Flervariabelanalys
| Versionen från 1 juni 2007 kl. 14.45 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 1 juni 2007 kl. 14.46 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==DIVERGENSSATSEN I PLANET== | ==DIVERGENSSATSEN I PLANET== | ||
| - | Idag ska vi gradera, divergera och rotera. Detta är hjärnyoga på hög nivå och en av många vägar till en god hälsa och ett långt liv. Begreppen gradient, divergens och rotation (eng. ''curl'') är viktiga. Gradienten av $f$ i en punkt är en vektor bestående av de partiella derivatorna till $f$ i punkten. Minns att gradienten $\nabla f(x_0)$ pekar i den riktning i vilken funktionen $f$ växer snabbast i punkten $x_0$. Divergensen av ett vektorfält $F$ är den formella skalärprodukten $\nabla\cdot F$ och är en skalär funktion. Om vektorfältet $F$ är en stationär (tidsoberoende) strömning så är divergensen av $F$ förknippad med produktionen av den strömmande substansen - tex kan ett positivt nettoflöde ut ur ett givet område bara vidmakthållas om det ''produceras'' materia i området - denna information gömmer sig i divergenssatsen (som är ekvivalent med Greens sats). Rotationen av ett vektorfält är den formella kryssprodukten $\nabla\times F$ och är ett nytt vektorfält. Rotationen av ett vektorfält i en punkt är ''virveltendensen'' av fältet i punkten. | + | Idag ska vi gradera, divergera och rotera. Detta är hjärnyoga på hög nivå och en av många vägar till en god hälsa och ett långt liv. Begreppen gradient, divergens och rotation (eng. ''curl'') är viktiga. '''Gradienten''' av $f$ i en punkt är en vektor bestående av de partiella derivatorna till $f$ i punkten. Minns att gradienten $\nabla f(x_0)$ pekar i den riktning i vilken funktionen $f$ växer snabbast i punkten $x_0$. '''Divergensen''' av ett vektorfält $F$ är den formella skalärprodukten $\nabla\cdot F$ och är en skalär funktion. Om vektorfältet $F$ är en stationär (tidsoberoende) strömning så är divergensen av $F$ förknippad med produktionen av den strömmande substansen - tex kan ett positivt nettoflöde ut ur ett givet område bara vidmakthållas om det ''produceras'' materia i området - denna information gömmer sig i divergenssatsen (som är ekvivalent med Greens sats). '''Rotationen''' av ett vektorfält är den formella kryssprodukten $\nabla\times F$ och är ett nytt vektorfält. Rotationen av ett vektorfält i en punkt är ''virveltendensen'' av fältet i punkten. |
| Rotationen kommer till användning imorgon när vi ska generalisera Greens sats till tre dimensioner. | Rotationen kommer till användning imorgon när vi ska generalisera Greens sats till tre dimensioner. | ||
Versionen från 1 juni 2007 kl. 14.46
DIVERGENSSATSEN I PLANET
Idag ska vi gradera, divergera och rotera. Detta är hjärnyoga på hög nivå och en av många vägar till en god hälsa och ett långt liv. Begreppen gradient, divergens och rotation (eng. curl) är viktiga. Gradienten av $f$ i en punkt är en vektor bestående av de partiella derivatorna till $f$ i punkten. Minns att gradienten $\nabla f(x_0)$ pekar i den riktning i vilken funktionen $f$ växer snabbast i punkten $x_0$. Divergensen av ett vektorfält $F$ är den formella skalärprodukten $\nabla\cdot F$ och är en skalär funktion. Om vektorfältet $F$ är en stationär (tidsoberoende) strömning så är divergensen av $F$ förknippad med produktionen av den strömmande substansen - tex kan ett positivt nettoflöde ut ur ett givet område bara vidmakthållas om det produceras materia i området - denna information gömmer sig i divergenssatsen (som är ekvivalent med Greens sats). Rotationen av ett vektorfält är den formella kryssprodukten $\nabla\times F$ och är ett nytt vektorfält. Rotationen av ett vektorfält i en punkt är virveltendensen av fältet i punkten. Rotationen kommer till användning imorgon när vi ska generalisera Greens sats till tre dimensioner.
- 16.1 Grad, div och rot. Gradienten är definierad för funktioner och ger vektorer, divergensen är definierad för vektorer och ger skalära funktioner, rotationen är definierad för vektorer och ger vektorer. Notera att $\nabla\cdot F$ och $F\cdot\nabla$ inte är samma sak (se texten). Läs igenom fram till och med Exempel 2. "Interpretation of the Divergence" och "Interpretation of the Curl" är frivillig läsning för den intresserade.
- 16.3 Divergenssatsen i planet. Du har redan läst igenom detta innan under Dag 19, men repetera sid 867 i detta avsnitt. Som nämnts tidigare så är divergenssatsen i planet ekvivalent med Greens sats. Skillnaden är att man i Greens sats använder randkurvans tangent medan man i divergessatsen använder normalen till randkurvan. Om $(T_1,T_2)$ är den positivt orienterade tangenten så är $(T_2,-T_1)$ den utåtriktade normalen.
Gör följande övningsuppgifter:
- 16.1: 1 3 5 7 9 11.
- 16.3: 6.
Om du har tid över och vill ha en utmaning kan du göra följande övningsuppgifter också:
- 16.1: 12 13 14.
