Dag 23
Flervariabelanalys
| Versionen från 2 juni 2007 kl. 13.44 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (2 juni 2007 kl. 14.04) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (3 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==DIVERGENSSATSEN I $\mathbb{R}^3$ (GAUSS' SATS)== | ==DIVERGENSSATSEN I $\mathbb{R}^3$ (GAUSS' SATS)== | ||
| - | Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$ (Gauss' sats) är en av två viktiga versioner (den andra är Stokes sats, som inte ingår i denna kurs) av Analysens Huvudsats. Gauss' sats kan betraktas som en generalisering till tre dimensioner av den variant av Greens formel (nämligen divergenssatsen) i planet som kan skrivas: | + | Idag kommer vi att ägna oss åt flöden över en begränsningsyta av ett område i rummet. Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$ (Gauss' sats) är en av två viktiga versioner av Analysens Huvudsats (den andra är Stokes sats, som inte ingår i denna kurs). Gauss' sats kan betraktas som en generalisering till tre dimensioner av den variant av Greens formel (nämligen divergenssatsen) i planet som kan skrivas: |
| $\int\int_R div FdA=\oint_CF\cdot Nds$ (Sats 7 i avsnitt 16.3). | $\int\int_R div FdA=\oint_CF\cdot Nds$ (Sats 7 i avsnitt 16.3). | ||
| Den sats som intresserar oss idag lyder: $\int\int\int_D div FdV | Den sats som intresserar oss idag lyder: $\int\int\int_D div FdV | ||
| - | =\oint\oint_SF\cdot NdS$, där $D$ är ett tredimensionellt (kompakt) område i rummet och $S$ är dess (orienterade) slutna yta med enhetsnormalvektor $N$ som pekar ut från ytan. I satsen formulerad här i dagens svsnitt 16.4 och det efterföljande beviset, kommer vi emellertid att begränsa oss till en speciell typ av områden i rummet som förenklar saker och ting lite. | + | =\oint\oint_SF\cdot NdS$, där $D$ är ett tredimensionellt (kompakt) område i rummet och $S$ är dess (orienterade och slutna) yta med enhetsnormalvektor $N$ som pekar ut från ytan. Gauss' sats säger att flödet $F$ ut ur området $R$ begränsat av ytan $S$ är lika med volymintegralen av $div F$ över $D$. I satsen formulerad i dagens svsnitt 16.4 och det efterföljande beviset, kommer vi emellertid att begränsa oss till en speciell typ av områden i rummet som förenklar saker och ting lite för oss i beviset. |
| - | '''16.4''' Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 5. | + | '''16.4''' Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 5 (Sats 9 ingår alltså inte). |
| Gör följande övningsuppgifter: | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| - | * 16.4: | + | * 16.4: 1 3 5 7 11 13. |
| Om du har tid och energiflöde över kan du öven göra följande uppgifter: | Om du har tid och energiflöde över kan du öven göra följande uppgifter: | ||
| - | * 16.4: | + | * 16.4: 6 9 12 17. |
| Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 16 under rubriken "Chapter Review" sid. 896-898. | Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 16 under rubriken "Chapter Review" sid. 896-898. | ||
Nuvarande version
[redigera] DIVERGENSSATSEN I $\mathbb{R}^3$ (GAUSS' SATS)
Idag kommer vi att ägna oss åt flöden över en begränsningsyta av ett område i rummet. Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$ (Gauss' sats) är en av två viktiga versioner av Analysens Huvudsats (den andra är Stokes sats, som inte ingår i denna kurs). Gauss' sats kan betraktas som en generalisering till tre dimensioner av den variant av Greens formel (nämligen divergenssatsen) i planet som kan skrivas: $\int\int_R div FdA=\oint_CF\cdot Nds$ (Sats 7 i avsnitt 16.3).
Den sats som intresserar oss idag lyder: $\int\int\int_D div FdV =\oint\oint_SF\cdot NdS$, där $D$ är ett tredimensionellt (kompakt) område i rummet och $S$ är dess (orienterade och slutna) yta med enhetsnormalvektor $N$ som pekar ut från ytan. Gauss' sats säger att flödet $F$ ut ur området $R$ begränsat av ytan $S$ är lika med volymintegralen av $div F$ över $D$. I satsen formulerad i dagens svsnitt 16.4 och det efterföljande beviset, kommer vi emellertid att begränsa oss till en speciell typ av områden i rummet som förenklar saker och ting lite för oss i beviset.
16.4 Divergenssatsen i $\mathbb{R}^3$. Läs detta avsnitt fram till och med Exempel 5 (Sats 9 ingår alltså inte).
Gör följande övningsuppgifter:
- 16.4: 1 3 5 7 11 13.
Om du har tid och energiflöde över kan du öven göra följande uppgifter:
- 16.4: 6 9 12 17.
Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 16 under rubriken "Chapter Review" sid. 896-898.
