Dag 6
Flervariabelanalys
| Versionen från 24 maj 2007 kl. 15.05 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (8 juni 2007 kl. 12.20) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1ykqz3s (Diskussion | bidrag) |
||
| (8 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL== | ==IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL== | ||
| - | Om $F(x,y)=xy=1$ vet vi att $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. | + | Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker. |
| - | Ända sedan Vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte ''explicit'' ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ ''implicit'' definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett ''villkor'' som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ | + | |
| - | i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas den ''implicita funktionssatsen'' och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker. | + | |
| - | '''12.8''' I detta avsnitt lär du dig att derivera en implicit funktion. Här ingår texten fram till och med Exempel 1 (och studera Figur 12.29) samt Definition 8 (Jacobi-determinanten). | + | '''12.8''' Implicit derivering. Endast situationen med en yta i rummet ingår. Läs fram till och med Exempel 1 och studera Fig. 12.29 samt läs Definition 8 (Jacobideterminanten). |
| - | '''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Detta pga det sk andraderivatatestet som används vid karakterisering av kritiska punkter i avsnitt 13.1 som kommer snart. Läs igenom hela avsnitt 12.9. | + | '''12.9''' Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9. |
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| * 12.8: 1 3 7 11 13. | * 12.8: 1 3 7 11 13. | ||
| * 12.9: 1 3 5 7 11. | * 12.9: 1 3 5 7 11. | ||
| Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 12 under rubriken "Chapter Review" sid. 704-706. | Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 12 under rubriken "Chapter Review" sid. 704-706. | ||
Nuvarande version
[redigera] IMPLICITA FUNKTIONER OCH TAYLORS FORMEL
Om $F(x,y)=xy=1$ kan vi lösa ut $y=1/x$ och vi kan rita upp en fin graf. Ända sedan vikingatiden har man dock irriterats över det faktum att det i vissa fall inte går att lösa ut $y$ som en funktion av $x$, dvs vi kan inte explicit ange $y$ som en funktion av $x$. Betrakta till exempel den till synes horribla ekvationen (nivåkurvan) $F(x,y)=y^5+xy-4=0$. Men notera att exempelvis $F(3,1)=0,$ varför $(3,1)$ ligger på nivåkurvan, och att gradienten ges av $\nabla F(3,1)=(1,8)$. Eftersom gradienten är normal till nivåkurvan (långt mer normal än en medelmåttig matematiker) så kan vi skissera nivåkurvans ungefärliga utseende i en omgivning av punkten $(3,1)$ och därmed övervinna det tillfälliga tungsinne som överväldigade oss vid en första titt på ekvationen ovan. Vi säger att ekvationen $F(x,y)=y^5+xy-4=0$ implicit definierar en funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(3,1)$. Men detta är inte fallet i varje punkt på nivåkurvan! Se Figur 12.29 i avsnitt 12.8. Det finns ett villkor som måste vara uppfyllt för att $F(x,y)=0$ implicit ska definiera en (deriverbar!) funktion $y=f(x)$ i en omgivning av punkten $(a,b)$ - nämligen att $F_y'(a,b)\neq 0$. Detta kallas implicita funktionssatsen och den dyrkas högaktningsfullt av många matematiker.
12.8 Implicit derivering. Endast situationen med en yta i rummet ingår. Läs fram till och med Exempel 1 och studera Fig. 12.29 samt läs Definition 8 (Jacobideterminanten).
12.9 Liksom i envariabelfallet kan man i flervariabelfallet hitta ett Taylorpolynom (i flera variabler då) som approximerar en given funktion i närheten av viss punkt. Vi är här mest intresserade av Taylors formel av ordning två i två variabler. Geometriskt betyder det att vi approximerar funktionsytan med dess tangentplan i punkten. Läs igenom hela avsnitt 12.9.
Gör följande övningsuppgifter:
- 12.8: 1 3 7 11 13.
- 12.9: 1 3 5 7 11.
Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 12 under rubriken "Chapter Review" sid. 704-706.
