Dag 3
Flervariabelanalys
| Versionen från 23 maj 2007 kl. 15.21 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (24 maj 2007 kl. 10.22) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (9 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
| Idag inleder vi utvidgandet av det klassiska begreppet ''derivata'' från envariabelanalysen till att omfatta våra mer generella flervariabelfunktioner. Vi definierar den ''partiella derivatan''. | Idag inleder vi utvidgandet av det klassiska begreppet ''derivata'' från envariabelanalysen till att omfatta våra mer generella flervariabelfunktioner. Vi definierar den ''partiella derivatan''. | ||
| - | Dess geometriska betydelsen är viktig och framgår av Fig. 12.15 och 12.16 i avsnitt 12.3. Flervariabelfunktioner deriveras alltså "en variabel i taget" medan övriga variabler hålls fixa. Det är viktigt att komma ihåg notationen här så att man inte blandar ihop olika begrepp, eftersom man i ett inledande skede i kursboken indexerar funktionen $f$ med $1$ för den partiella derivatan med avseende på den "första" variabeln $x$, dvs man skriver $f_1(x,y)$ istället för exempelvis $f_x(x,y)$. Man skulle då kunna tro att $f$ är vektorvärd och att $f_1(x,y)$ betecknar den första komponenten osv, men så är ju inte fallet här, och Adams ger någonstans i sitt allomfattande tekniska regelverk en förklaring till varför man valt att indexera med $1$ och inte $x$, närmare bestämt mitt på sidan 652, och det är viktigt att ni tänker igenom detta noga och förstår skillnaden. Så länge ni bara förstår vad ni själva menar och tänker när ni räknar uppgifter så torde detta dock inte vålla er några problem. | + | Dess geometriska betydelsen är viktig och framgår av Fig. 12.15 och 12.16 i avsnitt 12.3. Flervariabelfunktioner deriveras alltså "en variabel i taget" medan övriga variabler hålls fixa. Det är viktigt att komma ihåg notationen här så att man inte blandar ihop olika begrepp, eftersom man i ett inledande skede i kursboken indexerar funktionen $f$ med $1$ för den partiella derivatan med avseende på den "första" variabeln $x$, dvs man skriver $f_1(x,y)$ istället för exempelvis $f_x(x,y)$. Man skulle då kunna tro att $f$ är vektorvärd och att $f_1(x,y)$ betecknar den första komponenten osv, men så är ju inte fallet här, och Adams ger någonstans i sitt allomfattande tekniska regelverk en förklaring till varför man valt att indexera med $1$ och inte $x$, närmare bestämt mitt på sidan 652, och det är viktigt att ni tänker igenom detta noga och förstår skillnaden. Så länge ni bara förstår vad ni själva menar och tänker när ni räknar uppgifter så torde detta dock inte vålla er några problem. Vi går även igenom högre ordningens partiella derivator. Observera att ordningen i vilken man (partial)deriverar spelar roll. |
| - | Vi på nätkurserna vill gärna betona vikten av insikt och förståelse - det är tex bättre att känna till innebörden $\pi$ än att kunna dess 100 första decimaler utantill. Och det är viktigare att du tar med dig kursboken ut på stranden idag och läser dagens avsnitt, än att du försöker mäta badvattnets ytspänning (som för övrigt mäts i dyn), innan du hoppar i och glömmer av dina studier. | + | Vi på nätkurserna vill gärna betona vikten av insikt och förståelse - det är tex bättre att känna till innebörden $\pi$ än att kunna dess 100 första decimaler utantill. Och det är viktigare att du tar med dig kursboken ut på stranden idag och läser dagens avsnitt än att du försöker mäta badvattnets ytspänning (som för övrigt mäts i dyn), innan du hoppar i och glömmer av dina studier. |
| - | '''12.3-12.4''' | + | '''12.3''' Definition och beteckningar av partiella derivator. Som ni minns från igår (dag 2) nämnde vi att volymen av en cirkulär cylinder ges av funktionen $V(r,h)=\pi r^2h$. Här blir tex den partiella derivatan med avseende på den fösta variabeln $r$ lika med $V_1(r,h)=2\pi rh$, och den partiella derivatan med avseende på den andra variabeln $h$ blir $V_2(r,h)=\pi r^2$. Kan det bli bättre? Läs hela detta avsnitt tom Exempel 7. |
| + | |||
| + | '''12.4''' Högre partiella derivator. Observera att ordningen i vilken man utför den partiella deriveringen spelar roll. Du ska känna till och kunna använda resultatet i Sats 1 (''Equality of mixed partials'') och veta vad en ''harmonisk funktion'' är (se texten under Remark direkt efter Ex. 3). Observera att ''Laplaces ekvation'', ''vågekvationen'' och ''värmeledningsekvationen'' (se Ex 3-4 och övningsuppgift 17 till detta avsnitt) är ''mycket viktiga tillämpningar'' som man inte bör lämna jordelivet (eller detta avsnitt) utan att känna till! | ||
| + | |||
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 12.3: 1 3 5 7 11 13 15 19 25. | ||
| + | * 12.4: 1 3 5 11 17. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du även göra följande | ||
| + | övningsuppgifter : | ||
| + | * 12.3: 9 21 23 29 31 39. | ||
| + | * 12.4: 7 9 13 15 19 21. | ||
Nuvarande version
[redigera] PARTIELLA DERIVATOR
Idag inleder vi utvidgandet av det klassiska begreppet derivata från envariabelanalysen till att omfatta våra mer generella flervariabelfunktioner. Vi definierar den partiella derivatan. Dess geometriska betydelsen är viktig och framgår av Fig. 12.15 och 12.16 i avsnitt 12.3. Flervariabelfunktioner deriveras alltså "en variabel i taget" medan övriga variabler hålls fixa. Det är viktigt att komma ihåg notationen här så att man inte blandar ihop olika begrepp, eftersom man i ett inledande skede i kursboken indexerar funktionen $f$ med $1$ för den partiella derivatan med avseende på den "första" variabeln $x$, dvs man skriver $f_1(x,y)$ istället för exempelvis $f_x(x,y)$. Man skulle då kunna tro att $f$ är vektorvärd och att $f_1(x,y)$ betecknar den första komponenten osv, men så är ju inte fallet här, och Adams ger någonstans i sitt allomfattande tekniska regelverk en förklaring till varför man valt att indexera med $1$ och inte $x$, närmare bestämt mitt på sidan 652, och det är viktigt att ni tänker igenom detta noga och förstår skillnaden. Så länge ni bara förstår vad ni själva menar och tänker när ni räknar uppgifter så torde detta dock inte vålla er några problem. Vi går även igenom högre ordningens partiella derivator. Observera att ordningen i vilken man (partial)deriverar spelar roll.
Vi på nätkurserna vill gärna betona vikten av insikt och förståelse - det är tex bättre att känna till innebörden $\pi$ än att kunna dess 100 första decimaler utantill. Och det är viktigare att du tar med dig kursboken ut på stranden idag och läser dagens avsnitt än att du försöker mäta badvattnets ytspänning (som för övrigt mäts i dyn), innan du hoppar i och glömmer av dina studier.
12.3 Definition och beteckningar av partiella derivator. Som ni minns från igår (dag 2) nämnde vi att volymen av en cirkulär cylinder ges av funktionen $V(r,h)=\pi r^2h$. Här blir tex den partiella derivatan med avseende på den fösta variabeln $r$ lika med $V_1(r,h)=2\pi rh$, och den partiella derivatan med avseende på den andra variabeln $h$ blir $V_2(r,h)=\pi r^2$. Kan det bli bättre? Läs hela detta avsnitt tom Exempel 7.
12.4 Högre partiella derivator. Observera att ordningen i vilken man utför den partiella deriveringen spelar roll. Du ska känna till och kunna använda resultatet i Sats 1 (Equality of mixed partials) och veta vad en harmonisk funktion är (se texten under Remark direkt efter Ex. 3). Observera att Laplaces ekvation, vågekvationen och värmeledningsekvationen (se Ex 3-4 och övningsuppgift 17 till detta avsnitt) är mycket viktiga tillämpningar som man inte bör lämna jordelivet (eller detta avsnitt) utan att känna till!
Gör följande övningsuppgifter:
- 12.3: 1 3 5 7 11 13 15 19 25.
- 12.4: 1 3 5 11 17.
Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter :
- 12.3: 9 21 23 29 31 39.
- 12.4: 7 9 13 15 19 21.
