Dag 1
Flervariabelanalys
| Versionen från 23 maj 2007 kl. 11.46 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (24 maj 2007 kl. 09.21) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (30 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Idag inleder du en fantastisk resa! Du kommer nu att lära dig handskas med funktioner av flera variabler och tillhörande differentialkalkyl och integralkalkyl. | + | ==KURVOR PÅ PARAMETERFORM. YTOR I RUMMET== |
| - | Din ambition $A$ att klara av denna kurs kan tex illustreras med en funktion av flera variabler - bla vilka förkunskaper (f) du har, ditt intresse (i), lärarens trevlighet (t), hur soligt det är ute (s) (ska du verkligen sitta inne och plugga?), om du får pengar av CSN osv, och då kan du (utan att här gå in på exakt hur det detaljerade beroendet ser ut för varje variabel, det får du göra själv), skriva ner din individuella ambitionsfunktion $A=A(f, i, t, s, CSN)$, så att din lärare inser vilken komplex människa du faktiskt är - dock inte komplex i den strikt matematiska meningen (såvida du inte är helt eller delvis imaginär, vad nu det ska innebära). | + | Idag inleder du en mycket intressant resa ut i det flerdimensionella rummet! Du kommer att lära dig handskas med funktioner av flera variabler med tillhörande differential- och integralkalkyl, och efter avslutad kurs kommer du att kunna räkna på lika många dimensioner som sommarlovet har dagar. |
| + | Vi kommer även att ägna oss åt den fascinerande vektoranalysen, som utgör det ultimata instrumentet för att förstå och beskriva viktiga fysikaliska processer, även om vi i detta fall håller oss till de vanliga tre dimensionerna. | ||
| - | Och på samma sätt kan kvalitén på doktorsavhandlingen hos en hårt arbetande doktorand vara en funktion av flera saker, som de ovanstående (fast man måste betala tillbaka pengar till CSN istället för att få dem) plus antalet mögelarter (m) bakom ens spis, eftersom det senare är ett direkt avtryck av flera års försummelse av hushållsarbetet (h) till förmån för forskningen. Om man har tur utgör (m) också underlag för en helt ny avhandling i mikrobiologi) så att man blir dubbel doktor. | + | Säkert har du under din uppväxt många gånger undrat vilket arbete som egentligen uträttas när en partikel rör sig längs en kurva i ett kraftfält, men du har varit förhindrad av det faktum att du inte kunnat parametrisera kurvan på ett vettigt sätt - men idag kommer äntligen alla bitarna att falla på plats och din sanna forskarnatur kommer att blomma ut i sin fulla potential när du läst avsnitt 8.2-8.4! Du kommer efter kursens avslutande att förundras över hur du faktiskt klarade av att tolka din omvärld utan den oumbärliga vektoranalys som ingår här. Och hur kunde du fatta några vettiga beslut utan att kunna optimera med bivillkor? |
| - | Säkert har du under din uppväxt många gånger undrat vilket arbete som egentligen uträttas när en partikel rör sig längs en kurva i ett kraftfält, men du har varit förhindrad av det faktum att du inte kunnat parametrisera kurvan på ett vettigt sätt - men idag kommer äntligen alla bitarna att falla på plats och din sanna forskarnatur kommer äntligen att blomma ut i sin fulla potential när du läst avsnitt 8.2-8.4! Du kommer efter kursens avslutande att förundras över hur du faktiskt klarade av att tolka din omvärld utan den oumbärliga vektoranalys som ingår här. Och hur kunde du fatta några vettiga beslut utan att kunna optimera med bivillkor? | + | En funktions beroende av flera variabler är inget märkvärdigt. Din ambition $A$ att klara av denna kurs kan tex illustreras med en funktion av flera variabler - bla vilka förkunskaper $f$ du har, ditt intresse $i$, lärarens kompetens $k$, hur soligt det är ute $s$ (ska du verkligen sitta inne och plugga?), om du får pengar av $CSN$ osv, och då kan du (utan att här gå in på exakt hur det detaljerade beroendet ser ut för varje variabel, det får du göra själv), skriva ner din individuella ambitionsfunktion: $A=A(f, i, k, s, CSN)$. Och på samma sätt kan kvalitén på doktorsavhandlingen hos en hårt arbetande doktorand vara en funktion av flera saker, som de ovanstående (fast man måste betala tillbaka pengar till CSN istället för att få dem) men här även antalet mögelarter $m$ bakom ens spis, vilket är en direkt konsekvens av flera års försummelse av hushållsarbetet till förmån för forskningen. Om man har tur utgör $m$ också underlag för en helt ny avhandling (i mikrobiologi) och då kan man ta dubbel examen! |
| + | |||
| + | *'''8.2-8.4''' Här lär du dig att handskas med kurvor på ''parameterform''. Man kan ange koordinaterna för punkterna på en kurva i planet som funktioner av en parameter. Säkert vet du redan att enhetscirkeln har ekvationen $x^2+y^2=1$, men att man också kan skriva $(x,y)=(\cos t, \sin t)$, där $x$ och $y$ är funktioner av den oberoende variabeln (''parametern'') $t\in [0,360]$. Läs igenom avsnitt 8.2-8.3 samt avsnitt 8.4 fram till och med exempel 1 (om båglängden av en parametriserad kurva i planet, areaberäkningar utför vi senare med hjälp av Greens formel i avsnitt 16.3). | ||
| + | |||
| + | *'''10.1''' och '''10.5''' I 10.1 ges bra exempel på hur ekvationerna ser ut för några typiska tvådimensionella ytor i rummet, och i 10.5 går vi igenom kvadratiska ytor, dvs ytor som representeras av speciella andragradsekvationer i tre variabler, tex sfärer, cylindrar och koner. | ||
| + | |||
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 8.2: 1 5 7. | ||
| + | * 8.3: 1 9. | ||
| + | * 8.4: 1 3 7. | ||
| + | * 10.1: 13 15 17 33. | ||
| + | * 10.5: 1 7 15. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande | ||
| + | övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | * 8.2: 11 13 15. | ||
| + | * 8.3: 17 21 25. | ||
| + | * 8.4: 9. | ||
| + | * 10.1: 27 31. | ||
| + | * 10.5: 17 19 21. | ||
Nuvarande version
[redigera] KURVOR PÅ PARAMETERFORM. YTOR I RUMMET
Idag inleder du en mycket intressant resa ut i det flerdimensionella rummet! Du kommer att lära dig handskas med funktioner av flera variabler med tillhörande differential- och integralkalkyl, och efter avslutad kurs kommer du att kunna räkna på lika många dimensioner som sommarlovet har dagar. Vi kommer även att ägna oss åt den fascinerande vektoranalysen, som utgör det ultimata instrumentet för att förstå och beskriva viktiga fysikaliska processer, även om vi i detta fall håller oss till de vanliga tre dimensionerna.
Säkert har du under din uppväxt många gånger undrat vilket arbete som egentligen uträttas när en partikel rör sig längs en kurva i ett kraftfält, men du har varit förhindrad av det faktum att du inte kunnat parametrisera kurvan på ett vettigt sätt - men idag kommer äntligen alla bitarna att falla på plats och din sanna forskarnatur kommer att blomma ut i sin fulla potential när du läst avsnitt 8.2-8.4! Du kommer efter kursens avslutande att förundras över hur du faktiskt klarade av att tolka din omvärld utan den oumbärliga vektoranalys som ingår här. Och hur kunde du fatta några vettiga beslut utan att kunna optimera med bivillkor?
En funktions beroende av flera variabler är inget märkvärdigt. Din ambition $A$ att klara av denna kurs kan tex illustreras med en funktion av flera variabler - bla vilka förkunskaper $f$ du har, ditt intresse $i$, lärarens kompetens $k$, hur soligt det är ute $s$ (ska du verkligen sitta inne och plugga?), om du får pengar av $CSN$ osv, och då kan du (utan att här gå in på exakt hur det detaljerade beroendet ser ut för varje variabel, det får du göra själv), skriva ner din individuella ambitionsfunktion: $A=A(f, i, k, s, CSN)$. Och på samma sätt kan kvalitén på doktorsavhandlingen hos en hårt arbetande doktorand vara en funktion av flera saker, som de ovanstående (fast man måste betala tillbaka pengar till CSN istället för att få dem) men här även antalet mögelarter $m$ bakom ens spis, vilket är en direkt konsekvens av flera års försummelse av hushållsarbetet till förmån för forskningen. Om man har tur utgör $m$ också underlag för en helt ny avhandling (i mikrobiologi) och då kan man ta dubbel examen!
- 8.2-8.4 Här lär du dig att handskas med kurvor på parameterform. Man kan ange koordinaterna för punkterna på en kurva i planet som funktioner av en parameter. Säkert vet du redan att enhetscirkeln har ekvationen $x^2+y^2=1$, men att man också kan skriva $(x,y)=(\cos t, \sin t)$, där $x$ och $y$ är funktioner av den oberoende variabeln (parametern) $t\in [0,360]$. Läs igenom avsnitt 8.2-8.3 samt avsnitt 8.4 fram till och med exempel 1 (om båglängden av en parametriserad kurva i planet, areaberäkningar utför vi senare med hjälp av Greens formel i avsnitt 16.3).
- 10.1 och 10.5 I 10.1 ges bra exempel på hur ekvationerna ser ut för några typiska tvådimensionella ytor i rummet, och i 10.5 går vi igenom kvadratiska ytor, dvs ytor som representeras av speciella andragradsekvationer i tre variabler, tex sfärer, cylindrar och koner.
Gör följande övningsuppgifter:
- 8.2: 1 5 7.
- 8.3: 1 9.
- 8.4: 1 3 7.
- 10.1: 13 15 17 33.
- 10.5: 1 7 15.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 8.2: 11 13 15.
- 8.3: 17 21 25.
- 8.4: 9.
- 10.1: 27 31.
- 10.5: 17 19 21.
