Dag 20
Flervariabelanalys
| Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.27 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (1 juni 2007 kl. 11.08) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (6 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT== | ==YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT== | ||
| - | Idag ska vi titta på integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet. En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel. | + | Idag ska vi studera integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ''ytintegraler'', och mer precist ytintegraler av skalärfält (minns att ett skalärfält är en reellvärd funktion av en vektorvariabel). En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel. |
| - | '''15.5''' Ytintegraler av skalärfält | + | I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler, och därför måste vi kunna beräkna sådana. |
| + | |||
| + | '''15.5''' Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3. För att erhålla en ytintegral som ett gränsvärde av Riemannsummor behöver vi ta fram ytelementet (areaelementet) $dS$. Observera likheten mellan detta (se blå ruta sid 836) och båglängdselementet $ds$ för en kurva. Läs hela detta avsnitt fram till och med Exempel 9. | ||
| + | |||
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 15.5: 1 3 7 9 13 15. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter: | ||
| + | * 15.5: 2 4 8 10 14. | ||
Nuvarande version
[redigera] YTINTEGRALER AV SKALÄRFÄLT
Idag ska vi studera integraler av funktioner definierade på ytor i det tredimensionella rummet - sk ytintegraler, och mer precist ytintegraler av skalärfält (minns att ett skalärfält är en reellvärd funktion av en vektorvariabel). En yta i $\mathbb{R}^3$ är ett tvådimensionellt objekt då varje punkt på ytan är bestämd genom att man anger två koordinater och den kan därför definieras som värdemängden (eller grafen) till en vektorvärd funktion av två reella variabler: $z=f(x,y)$. Jämför situationen för en kurva där varje punkt på detta endimensionella objekt specificeras av en koordinat, exempelvis avståndet från en fix punkt i rummet, och därför kan en kurva definieras som värdemängden till en vektorvärd funktion av en reell variabel.
I vår iver att förstå den fysikaliska världen upptäcker vi att det ofta uppträder frågeställningar som ger upphov till ytintegraler, och därför måste vi kunna beräkna sådana.
15.5 Ytintegraler av skalärfält. Vi börjar med att gå igenom parametrisering av ytor - läs Exempel 1-3. För att erhålla en ytintegral som ett gränsvärde av Riemannsummor behöver vi ta fram ytelementet (areaelementet) $dS$. Observera likheten mellan detta (se blå ruta sid 836) och båglängdselementet $ds$ för en kurva. Läs hela detta avsnitt fram till och med Exempel 9.
Gör följande övningsuppgifter:
- 15.5: 1 3 7 9 13 15.
Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter:
- 15.5: 2 4 8 10 14.
